Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
2. Паралелограм. Властивості паралелограма

36. Див. рис.

37. Утвориться три паралелограми.

38.

а) Неправильні довжини сторін, бо в паралелограма протилежні сторони рівні; неправильні величини кутів, бо при паралельних прямих і січній внутрішні різносторонні кути мають бути рівними;

в) неправильні величини протилежних кутів, вони мають бути рівними;

г) неправильні довжини частин діагоналей, бо діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл;

ґ) неправильні довжини сторін, бо у паралелограма протилежні сторони рівні, а зображений трикутник є рівнобедреним, хоча довжини його бічних сторін позначено як 6 і 7.

39.

1) Р = 2(а + b); Р = 2(14 + 8) = 2 • 22 = 44 (см); 44 см > 40 см — не вистачить;

2) Р = 2(а + b); Р = 2(16 + 4) = 2 • 20 = 40 (см); 40 см = 40 см — вистачить;

3) Р = 2(а + b); Р = 2(12 + 6) = 2 • 18 = 36 (см); 36 см < 40 см — вистачить.

40.

1) Нехай одна сторона паралелограма дорівнює х см, тоді інша — (х + 12) см. Периметр паралелограма дорівнює 2(х + х + 12) = (4х + 24) (см), що за умовою задачі дорівнює 112 см. Рівняння: 4х + 24 = 112; 4х = 88; х = 22. Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 22 см, а інша — 22 + 12 = 34 (см);

2) нехай одна сторона паралелограма дорівнює 5х см, тоді інша — 9х см. Периметр паралелограма дорівнює 2(5х + 9х) = 28х (см), що за умовою задачі дорівнює 112 см. Рівняння: 28х = 112; х = 4. Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 5 • 4 = 20 (см), а інша — 9 • 4 = 36 (см).

Відповідь. 1) 22 см; 34 см; 2) 20 см; 36 см.

41. Нехай одна сторона паралелограма дорівнює х см, тоді інша — 5х см. Периметр паралелограма дорівнює 2(х + 5х) = 12х (см), що за умовою задачі дорівнює 96 см. Рівняння: 12х = 96; х = 8. Отже, одна сторона паралелограма дорівнює 8 (см), а інша — 5 • 8 = 40 (см).

Відповідь. 8 см; 40 см.

42. Нехай дано паралелограм ABCD, у якому АС = 10 см і BD = 8 см — діагоналі, які перетинаються в точці О, АВ = 6 см. Якщо ABCD — паралелограм, то у нього протилежні сторони рівні: АВ = CD = 6 см. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, томуТоді P_COD = ОС + CD + OD = 5 + 6 + 4 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

43. Нехай дано паралелограм ABCD, А і В— сусідні. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD (як прямі, на яких лежать сторони паралелограма) та січну АВ. Тоді СВА і DAB — внутрішні односторонні, тому СВА + DAB = 180°.

44.

1) Нехай дано паралелограм ABCD, А = 70°. Тоді А = С = 70° як протилежні кути паралелограма. А + В = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки В = 180° - А; В = 180° - 70° = 110°. Тоді В = D = 110° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. 70°, 110°, 70°, 110°;

2) нехай дано паралелограм ABCD, у якому сума двох кутів дорівнює 100°. Ці кути не можуть бути сусідніми, оскільки їх сума дорівнює 180°. Тому ці кути є протилежними кутами паралелограма: А + С = 100°; А = С = 100° : 2 = 50°. А і В — сусідні кути, тому їх сума дорівнює 180°: А + В = 180°; В = 180° - А; В = 180° - 50° = 130°. Тоді В = AD = 130°.

Відповідь. 50°, 130°, 50°, 130°;

3) нехай дано паралелограм ABCD, у якому різниця двох кутів дорівнює 20°. Ці кути не можуть бути протилежними, оскільки вони мають бути рівні. Тому ці кути є сусідніми кутами паралелограма: В - А = 20°; В = 20° + А. Оскільки А і В— сусідні кути, тому їх сума дорівнює 180°: А + В = 180°; А + 20° + А = 180°; 2 А = 160°; А = 80°, звідки А = С = 80° як протилежні. Тоді В = 20° + 80° = 100°; В = D = 100° як протилежні.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°;

4) нехай дано паралелограм ABCD, у якому два кути відносяться як 3 : 7. Ці кути не можуть бути протилежними, оскільки вони повинні бути рівні. Тому ці кути є і сусідніми кутами паралелограма: Нехай А = 3х, В = 7х. Рівняння: 3х + 7х = 180°; 10 = 180°; х = 18°. Тоді А = 3 • 18° = 54°; В = 7 • 18°= 126°. Тоді А = C = 54°, В = D = 126° як протилежні.

Відповідь. 54°, 126°, 54°, 126°.

45.

1) Нехай дано паралелограм ABCD, один кут у 2 рази більший за другий. Ці кути не можуть бути протилежними, оскільки вони мають бути рівні. Тому ці кути є сусідніми кутами паралелограма: Нехай А = х, В = 2х. Рівняння: х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°. Тоді А = 60°; В = 2 • 60° = 120°. Тоді А = С = 60°, В = D = 120° як протилежні.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°;

2) нехай дано паралелограм ABCD, у якому один кут на 24° менший за інший. Ці кути не можуть бути протилежними, оскільки вони мають бути рівні. Тому ці кути є сусідніми кутами паралелограма: Нехай А = x, В = х + 24°. Рівняння: х + х + 24° = 180°; 2х = 156°; х = 78°. Тоді 4 = 78°; В = 78° + 24° = 102°. Тоді А = С = 78°, В = D = 102° як протилежні.

Відповідь. 78°, 102°, 78°, 102°.

46. Нехай дано паралелограм ABCD, А = 35°, K ∈ВС, KМ||АС, KN||АВ. Розглянемо чотирикутник AMKN. Оскільки KM||АС, KN||АВ, то за означенням цей чотирикутник є паралелограмом. Тоді A = AMKN= 35° як протилежні кути паралелограма. АА + ANK = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки А - NK = 180° - А = 180° - 35° = 145°. Тоді ANK = АМK = 145° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. Паралелограм; 35°, 145°, 35°, 145°.

47. Нехай дано паралелограм ABCD, ABD = 68°, ADB = 47°. Розглянемо трикутник ABD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: А + ABD + ADB = 180°, звідки = 180° - (ABD + ADB) = 180° - (68° + 47°) = 180° - 115° = 65°. Тоді А = С= 65° як протилежні кути паралелограма. A+ В = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки В = 180° - - А = 180° - 65° = 115°. Тоді В = D = 115° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. 65°, 115°, 65°, 115°.

48. Нехай дано паралелограм ABCD, АС— діагональ, BAC =32°, BCD = 56°. А = С= 56° як протилежні кути паралелограма. BAD = BAC + CAD; CAD = BAD - BAC, CAD = 56° - 32° = 24°. C + D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки D = 180° - С= 180° - 56° = 124°.

Відповідь. 24°, 124°.

49. Нехай дано паралелограм ABCD, AM і ВМ— бісектриси відповідно кутів А і В. Оскільки AM— бісектриса А, то за означенням бісектриси А + В = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма. Розглянемо трикутник АВМ. За теоремою про суму кутів трикутника ABM + BAM + ВМА = 180°; ВМА = 180° - АВМ - ВАМ;

Відповідь. 90°.

50. Нехай дано паралелограм ABCD, АВ = 6 см, ВС = 10 см, АС — діагональ. Розглянемо трикутник ABC. У ньому не виконується нерівність трикутника АС < АВ + ВС; 16 < 6 + 10; 16 < 16. У паралелограма АВ = CD = 6 см, BC = AD = = 10 см, тому аналогічно можна показати, що й діагональ BD не може дорівнювати 16 см.

Відповідь. Не може.

51. Нехай дано паралелограм ABCD, ВK — висота, АK = 4 см, KD = 6 см, ВK = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (K = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Томузвідки АВ = 2АK = 2 • 4 = 8 (см). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника А + АВК = 90°; А = 90° - АВK = 90° - 30° = 60°. А = С = 60° як протилежні кути паралелограма. А + D = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки D = 180° - А = 180° - 60° = 120°. B = D = 120° як протилежні кути паралелограма. AD = AK + KD = 4 + 6 = 10(см). Оскільки ABCD— паралелограм, то АВ = DC = 8 см, AD = BC = 10 см. Тоді P_ABCD = 2(АВ + BC) = 2(8 + 10) = 2 • 18 = 36 (см).

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°; 36 см.

52. Нехай дано паралелограм A BCD, A = 45°, ВK — висота, ВK = 3 см, AK = KD, BD — діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ (K = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + ABK = 90°; ABK = 90° - A = 90° - 45° = 45°. Тому трикутник АKВ — рівнобедрений, ВK = АK = 3 см. AD = 2АK = 2 • 3 = 6 (см). Розглянемо рівнобедрений трикутник ABD, бо в ньому висота ВK є й медіаною. Тоді A = BDA = 45°. Оскільки в рівнобедреному трикутнику, висота, проведена до основи, є його бісектрисою, то ABD = 2ABK = 2 • 45° = 90°. Розглянемо паралельні прямі AB і DC та січну BD. Маємо: ABD = BDC = 90° як внутрішні різносторонні кути.

Відповідь. 6 см; 45°, 90°.

53. Нехай дано паралелограм ABCD, C = 45°, ВН— висота, ВН = 7 см, P_ABCD = 46 см. Розглянемо прямокутний трикутник ВНС (H = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Томузвідки ВС = 2ВН = 2 • 7= 14 (см). AD = BC = 14 см як протилежні сторони паралелограма. P_ABCD = 2(АВ + ВС); АВ + ВС = P_ABCD : 2; АВ + ВС = 46 : 2 = 23 (см). АВ = 23 - ВС = 23 - 14 = 9 (см). DC= АВ = 9 см як протилежні сторони паралелограма.

Відповідь. AD = ВС = 14 см, DC = АВ = 9 см.

54. Одночасно рівності A = M, B = K, C = N не можуть, бо сума A + B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, тому сума кутів трикутника має бути більшою за 180°, що неможливо.

55. Нехай дано паралелограм ABCD, АС — діагональ, ВМАС, DNAC. Розглянемо прямокутні трикутники А MB і CND (AMB = CND = 90°). У них: 1) АВ = СВ як протилежні сторони паралелограма; 2) BAM= DCN як внутрішні різносторонні при паралельних прямих АВ і CD та січній АС. Отже, за ознакою рівності прямокутних трикутників АМВ = CND за гіпотенузою і гострим кутом. Тому ВМ = DN як відповідні елементи рівних трикутників.

56. Нехай дано паралелограм ABCD, АС і BD— діагоналі, О — точка їх перетину. Розглянемо трикутники МОС і NOA. У них: 1) АО = ОС за властивістю діагоналей паралелограма; 2) AON = COM як вертикальні; 3) OCM = OANяк внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Отже, МОС = NOA за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому MO = ON як відповідні елементи рівних трикутників.

57. Нехай дано паралелограм ABCD, ABC = 160°, АС — діагональ, CAD= 10°, P_ABCD = 24 см. CAD = BCA = 10° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника маємо, що BAC + B + BCA = 180°, звідки BAC - 180° - (B + BC.A) = 180° - (160° + 10°) = 10°. Оскільки BAC = BCA = 10°, то трикутник ABC— рівнобедрений, тому АВ = ВС. Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то АВ = ВС = CD = DA = 24 : 4 = 6 (см).

Відповідь. AB = ВС = CD = DA = 6 см.

58. Нехай дано 'паралелограм ABCD, C = 50°, AВ = 8 см, BD— діагональ, ABD = 65°. A = C- 50° як протилежні кути паралелограма. Розглянемо трикутник ABD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо, що A + ABD+ BDA = 180°, звідки BDA = 180° - (А + ABD) = 180° - (50° + 65°) = 65°. Оскільки ABD = BDA, то трикутник ABD рівнобедрений, звідки AB =AD = 8 cm. P_ABCD = 2(AB + AD) = 2(8 + 8) = 2 • 16 = 32 (см).

Відповідь. 32 см.

59. Нехай дано паралелограм ABCD, BD — діагональ, BDAB, BD = AB. Розглянемо прямокутний рівнобедрений трикутник ABD (ABD = 90°, AB = BD). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: BAD = BDA; BAD + BDA = 90°, звідки BAD = BDA = 90° : 2 = 45°. A = C = 45° як протилежні кути паралелограма. A + B = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки B = 180° -A = 180°- 45°= 135°. Тоді B = D - 135° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. 45*, 135°, 45°, 135°.

60. Нехай дано паралелограм ABCD, BD — діагональ, ADB = 30°, ABD = 90°, P_ABCD = 36 см. BDC = ABD = 90° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і DC та січній BD. Розглянемо прямокутний трикутник ABD (ABD = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. ТомуНехай АВ = х см, тоді AD = 2х см. Рівняння: P_ABCD = 2(x+ 2х); 36 = 6x; х = 6. Отже, АВ = 6 см, D = 2 • 6 = 12 (см). CD = АВ = 6 см і ВС = AD = 12 см як протилежні сторони паралелограма.

Відповідь. CD = АВ = 6 см; ВС = AD =12 см.

61. Нехай дано паралелограм ABCD, BD— діагональ, BD||EK. Чотирикутник BEFD— паралелограм, бо BE||DF, EF||BD. Тоді BD = EF як протилежні сторони паралелограма. Чотирикутник BMKD — паралелограм, бо BD||MK, BM||DK. Тоді BD = МK як протилежні сторони паралелограма. Оскільки BD = EF і BD = МК, то МК = EF.

62. Нехай дано паралелограм ABCD, BD— діагональ, РK||АС. Чотирикутник АМKС— паралелограм, бо АM||CK, МK||АС. Тоді МK = АС як протилежні сторони паралелограма. Чотирикутник APNC — паралелограм, бо AP||CN, РN||АС. Тоді PN = AC як протилежні сторони паралелограма. Звідси МK = PN. Оскільки PN = PM + MN, МK = MN + NK, то PM = NK.

63. Нехай дано паралелограм ABCD, AN— бісектриса, BNA = 24°. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD та січну AN. Тоді BNА = NAD = 24° як внутрішні різносторонні. Якщо AN — бісектриса ABAD, то за означенням бісектриси , звідки А = 2NAD = 2 • 24° = 48°. Тоді А = С = 48° як протилежні кути паралелограма. А + В = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки В = 180° - А; АВ = 180°- 48° = 132°. Тоді B = D = 132° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. 48°, 132°, 48°, 132°.

64. Нехай дано паралелограм ABCD, AM — бісектриса, АВ = 12 см, МС = 16 см. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD та січну AM. Тоді ВМА = MAD як внутрішні різносторонні. Якщо AM— бісектриса ABAD, то за означенням бісектриси Тоді ВАМ = ВМА, звідси слідує, що трикутник АВМ — рівнобедрений, тому АВ = ВМ = 12 см. ВС = ВМ + МО, ВС = 12+16 = 28 (см). P_ABCD = 2(АВ + ВС); Р_ABCD = 2(12 + 28) = 2 • 40 = 80 (см).

Відповідь. 80 см.

65. Нехай дано паралелограм ABCD, AM— бісектриса, ВМ : МС = 3 : 5, Р_ABCD = 66 см. Розглянемо паралельні прямі ВС і AD та січну AM. Тоді ВМА = MAD як внутрішні різносторонні. Якщо AM— бісектриса BAD, то за означенням бісектрисиТоді ВАМ = ВМА, звідси слідує, що трикутник АВМ— рівнобедрений (АВ = ВМ). Нехай ВМ = 3х см, тоді МС = 5х см. ВС = ВМ + МС; ВС = 3х + 5х = 8х (см). АВ = ВМ = 3х см. Рівняння: 2(3x + 8х) = 66; 22х = 66; х = 3. Тому АВ = 3 • 3 = 9 (см), ВС = 8 • 3 = 24 (см). Отже, АВ = CD = 9 см, ВС = AD = 24 см.

Відповідь. АВ = CD = 9 см, ВС = AD = 24 см.

66. Нехай дано паралелограм ABCD, ВK — бісектриса, СK = 5KD, Р_ABCD = 88 см. Розглянемо паралельні прямі АВ і CD та січну ВК. Тоді АВK = ВKС як внутрішні різносторонні. Якщо ВK— бісектриса АВС, то за означенням бісектриси Тоді СВK = ВKС, звідси слідує, що трикутник ВСK — рівнобедрений (ВС = СK). Нехай KD = х см, тоді СK = 5х см. CD = CK + KD; CD = x + 5x = 6x (см). CK = BC = 5x см. Рівняння: 2(5x + 6x) = 88; 22x = 88; x = 4. Тому BC = 5 • 4 = 20 (см), CD = 6 • 4 = 24 (см). Отже, AB = CD = 24 см, BC = AD = 20 см.

Відповідь. AB = CD - 24 cm, BC = AD = 20 см.

67. Нехай дано паралелограм ABCD, BE i CF — бісектриси відповідно кутів В і С, AD = 12 см, АВ = 3 см. Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну BE. Тоді CBE = BEA як внутрішні різносторонні. Якщо BE — бісектриса ABC, то за означенням бісектрисиТоді BEA = ABE, звідси слідує, що трикутник АВЕ — рівнобедрений (АВ = АЕ = 3 см). Розглянемо паралельні прямі BC і AD та січну CF. Тоді BCF = DFC як внутрішні різносторонні. Якщо CF — бісектриса BCD, то за означенням бісектриси Тоді DFC= FCD, звідси слідує, що трикутник FCD— рівнобедрений (FD = DC = 3 см). AD = AE + EF + FD; EF = AD - (AE + FD); EF = 12 - (3 + 3) = 12 - 6 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

68. Нехай дано паралелограм ABCD, ВН— висота, ВМ — бісектриса ABC, HBM = 24°. Розглянемо прямокутний трикутник ВНМ (BHM = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: BMH + HBM= 90°, звідки BMH = 90° - HBM) BMH = 90° - 24° = 66°. Розглянемо паралельні прямі BC \AD та січну ВМ. Тоді CBM - AMB = 66° як внутрішні різносторонні. Якщо ВМ — бісектриса ABC, то за означенням бісектрисизвідки ABC = 2ABM= 2 • 66° = 132°. 8 = D = 132° як протилежні кути паралелограма. A + B — 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки A = 180° - B; A = 180° - 132° = 48°. Тоді A = C = 48° як протилежні кути паралелограма.

Відповідь. A = C = 48°, B = D = 132°.

69. Нехай дано паралелограм ABCD, BN і ВМ— висоти. Нехай A = C = x. Розглянемо прямокутний трикутник ANB (N = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ABN + BAN = 90°, звідки ABN = 90° - BAN; ABN = 90° - x. Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: CBM+ BCM = 90°, звідки CBM = 90° - BCM; CBM = 90° - х. Далі маємо: ABC = ABN + NBM + MBC; ABC = 90° - х + NBM + 90° -х; ABC = 180° - 2x + NBM. A + ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки х + 180° - 2x + NBM = 180°; NBM = x. Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його гострому куту.

70. Нехай дано паралелограм ABCD, AN і AM— висоти. Нехай ABC = ADC = х як протилежні кути паралелограма. Тоді NBA + ABC = 180° як суміжні, звідки NBA = 180° - ABO, NBA = 180° - х. Розглянемо прямокутний трикутник ANВ (N = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: NBA + BAN = 90°, звідки BAN = 90° - NBA; NBA = 90° - (180° - х) = х - 90°. ADC + ADM = 180° як суміжні, звідки ADM = 180° - ADC; ADM = 180°- х. Розглянемо прямокутний трикутник AMD (M = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: MAD + ADM = 90°, звідки MAD = 90° - ADM; MAD = 90° - (180° - x) = x - 90°. BAD + ABC = 180° як сума сусідніх кутів паралелограма, звідки BAD = 180° - х. NAM = NAB + BAD + DAM; NAM = x - 90° + 180° - х + х -90°; N — AM = х. Отже, кут між висотами паралелограма дорівнює його тупому куту.

71. Нехай дано паралелограм ABCD, BN і ВМ— висоти, NBM = 30°, BN = 4 см, ВМ = 6 см. Кут між висотами, опущеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює його гострому куту (див. № 69). Тому BAN = BCM = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник ANB (N = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Тому звідки AB = 2BN; АВ = 2 • 4 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник BMC (M = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Томузвідки ВС = 2ВМ; ВС = 2 • 6 = 12 (см). Тоді P_ABCD = 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 2 • 20 = = 40 (см).

Відповідь. 40 см.

72. Нехай дано паралелограм ABCD, AN і AM-— висоти, NAM = 150°, АВ = 10 см, AD = 18 см. Кут між висотами, опущеними з вершини гострого кута паралелограма, дорівнює його тупому куту (див. № 70). Тому NAM = ABC = 150°. Тоді NBA + ABC = 180° як суміжні, звідки NBA = 180° - ABC; NBA = 180° - 150° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник ANВ (N = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Томузвідки AN = 10 : 2 = 5 (см). ABC = ADC = 150° як протилежні кути паралелограма. ADC + ADM = 180° як суміжні, звідки ADM = 180° - ADC : ADM = 180° - 150° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник AMD (M = 90°). За властивістю прямокутного трикутника катет, який лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи. Тому звідки AM = 18 : 2 = 9 (см).

Відповідь. 5 см, 9 см.

73. Нехай дано рівнобедрений трикутник ABC (АВ = ВС), DM||AB, DN||BC. Оскільки DM||AB, DN||BC, то чотирикутник BMDN— паралелограм, звідки ND = BM, DM = NB як протилежні сторони паралелограма. Тоді P_BMDN = ВМ + MD + DN + BN = 2(BN + ND). Розглянемо паралельні прямі ВС і ND та січну АС. Маємо: NDA = BCA як відповідні. BAC = BCA як кути при основі рівнобедреного трикутника. Тому NDA = BAC, звідки слідує, що трикутник NDA — рівнобедрений (NA = ND). BN + ND = BN + NA = ВА. Тоді Р_BMDN = 2(BN + ND) = 2АВ.

74. Нехай дано трикутник АВС, МN||АС, МР||ВС, РN||АВ. У результаті такої побудови утворилося три паралелограми: АМВС, BNCA і АВСР. Р_AMBC = 2(АС + ВС), Р_Bnca = 2(АВ + АС), Р_ABCP = 2(АВ + ВС). Тоді Р_AMBC + Р_BNCA + Р_ABCP = 2 (АС + BC) + 2(AB + AC) + 2(AB + BC) = 4(AB + BC + AC). Р_АВС = AВ + ВС + АС. Тоді Р_ABc = 100 : 4 = 25 (см).

Відповідь. 25 см.

75.

1) Дано: AB = a, AD = b — сторони паралелограма ABCD, — кут паралелограма. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. У заданому куті проводжу коло з центром у вершині А і так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму m у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь АР. PAK = P₁A₁K₁. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. З точки А проводжу коло радіуса AD = b, яке перетне промінь АР у точці D. Використаю властивість рівності протилежних сторін паралелограма: DC = AB, BC = AD. Тоді будую коло радіуса ВС = b з центром у точці В і коло радіуса DC = а з центром у точці D. Будую коло радіуса АВ = а з центром у точці D і коло радіуса AD = b з центром у точці В. Кола перетнуться у точці С, яка є вершиною паралелограма. Сполучаю відрізками точки D і С та точки В і С. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому AB = a, AD = b,за побудовою.

2) Дано: АВ = а — сторона паралелограма A BCD, АС = b, BD = с — діагоналі паралелограма. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. Використаю властивість паралелограма про те, що діагоналі паралелограма точкою перетну діляться навпіл: Тоді будую коло радіусаз центром у точці А і коло радіусаз центром у точці В. Кола перетнуться у точці О, яка є точкою перетину діагоналей. Сполучаю відрізками точки А і О та точки В і О. Продовжую промінь АО та на його продовженні відкладаю ОС = АО, одержую вершину С паралелограма. Аналогічно продовжую промінь ВО та на його продовженні відкладаю OD = BO, одержую вершину D паралелограма. Сполучаю відрізками точки В і С, точки А і D та точки D і С. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, АС = b, BD = с за побудовою.

3) Дано: АВ = а — сторона паралелограма ABCD, АС = b — діагональ паралелограма ABCD, — кут між стороною АВ і діагоналлю АС паралелограма. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. У заданому куті а проводжу коло з центром у вершині А і так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму т у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь АР. РАК = Р₁А₁K₁. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. З точки А проводжу коло радіуса АС = b, яке перетне промінь АР у точці С. Сполучаю відрізком точки В і С. Аналогічно описаному вище будую SCM = РАK (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АВ і DC та січній АС). Будую коло радіуса АВ = CD = а з центром у точці С. У перетині з променем CM одержую вершину D. Сполучаю відрізками точки D і А. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, АС = b за побудовою.

76.

1) Дано: AB = a, AD = b — сторони паралелограма ABCD, BD = c — його діагональ. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. З точки А проводжу коло радіуса AD = b, а з точки В — коло радіуса BD = с, які перетнуться у точці D. Сполучаю відрізком точки А і D. Використаю властивість паралелограма про те, що протилежні сторони паралелограма рівні: АВ = DC = а, AD = ВС = b. З точки D проводжу коло радіуса DC = а, а з точки В — коло радіуса ВС = b, які перетнуться у точці С. Сполучаю відрізками точки D і С та точки В і С. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = a, AD = b,BD = с за побудовою.

2) Дано: АС = a, BD = b — діагоналі паралелограма,— кут між діагоналями. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму mі позначаю на ній точку О. У заданому куті а проводжу коло з центром у вершиніO₁ так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад, у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці О. Нехай воно перетне пряму т у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь OP. POK = P₁O₁K₁. Використаю властивість паралелограма про те, що діагоналі паралелограма точкою перетну діляться навпіл:Тоді будую коло радіусаз центром у точці О і коло радіусаз центром у точці О. Кола перетнуть сторони кута відповідно в точках А та В. Сполучаю відрізками точки А і О та точки В і О. Продовжую промінь АО та на його продовженні відкладаю ОС = АО, одержую вершину С паралелограма. Аналогічно продовжую промінь ВО та на його продовженні відкладаю OD = ВО, одержую вершину D паралелограма. Сполучаю відрізками точки А і В, В і С, А і D та D і С. Отже, побудований паралелограм ABCD— шуканий, бо в ньому АС = a, BD = b, за побудовою.

77. Сполучаю точки А і С. Побудую серединний перпендикуляр до відрізка АС. Для цього будую дугу довільного радіуса, але більшого за половину відрізка АС, з центром у точці А. Аналогічно будую дугу такого ж радіуса з центром у точці С. Дуги перетнуться у точках S і Т. Будую пряму ST — серединний перпендикуляр до відрізка АС. Точка О як середина відрізка АС є точкою перетину діагоналей. Проводжу промінь ВО і на його продовженні відкладаю ОР = ВО. Чотирикутник АВСР — шуканий паралелограм. Аналогічно можна побудувати паралелограми ABNC і АМВС.

78. Нехай дано паралелограм ABCD, AM і DM— бісектриси сусідніх кутів А та D. Розглянемо паралельні прямі AD і ВС та січну AM. Тоді BMA = MAD як внутрішні різносторонні. Якщо AM — бісектриса BAD, то за означенням бісектриси , звідки BMA = BAM, тому трикутник АВМ — рівнобедрений (АВ = ВМ). Розглянемо паралельні прямі AD і ВС та січну DM. Тоді CMD = MDA як внутрішні різносторонні. Якщо DM— бісектриса CDA, то за означенням бісектриси .звідки CDM= CMD, тому трикутник CMD— рівнобедрений (CD = СМ). Так як AB = CD, ВС = AD, то CM = АВ, ВС = AD = 2АВ. Отже, AB : AD = AB : 2AB = 1 : 2.

Відповідь. 1 : 2.

79. Нехай дано паралелограм ABCD, BM = MD = CD, AD = BD. Нехай C = x, MBD = y. Тоді A =C = x як протилежні кути паралелограма. Оскільки DB = DA, то трикутник BDA— рівнобедрений, тому ABD = A = x. Так як DM = DC, то трикутник DMC — рівнобедрений, тому CMD = C = х. Оскільки MB-MD, то трикутник BMD— рівнобедрений, тому MDB = MBD = y. Розглянемо паралельні прямі AD і ВС та січну BD. Маємо: MBD = BDA = у як внутрішні різносторонні. Розглянемо паралельні прямі AD і ВС та січну MD. Маємо: CMD = MDA = х як внутрішні різносторонні. За теоремою про суму кутів трикутника BAD + BDA + ABD = 180°; х + у + х=180°; 2х + у = 180°; ABC = ABD + CBD, ABC = x + y; ADC = ADB + BDM + MDC; ADC = у + у + 180° - 2х = 3у. Оскільки ABC = ADC як протилежні кути паралелограма, то х + у = 3у; х = 2у; звідки 2 • 2у + у = 180°; 5у = 180°; у = 36°; х = 2 • 36° = 72°. Отже, A = C =72°; B = D = 180° - 72° = 108°, бо сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180°.

Відповідь. A = C = 72°; B = D= 108°.

80.

1) Дано: AD-a— сторона паралелограма ABCD, ВР = b — його висота, BD = с — діагональ. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m. Будую пряму n таку, що nm. Для цього з будь-якої точки прямої m проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — M\N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т. Проводжу пряму ST1MN, які в перетині дають точку Р. З точки Р проводжу коло радіуса BP = b й у перетині з прямою ST одержую точку В. З точки В проводжу коло радіуса BD = с, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізком точки В і D. З точки D проводжу коло радіуса AD = а, яке в перетині з прямою m дає точку А. Сполучаю відрізком точки А і D. Аналогічно описаному вище будую пряму ln, яка проходить через точку В. Використаю властивість паралелограма про те, що протилежні сторони паралелограма рівні; AD = ВС = а. З точки В проводжу коло радіуса AD = а, яке в перетині з прямою l дає точку С. Сполучаю відрізками точки В і С та С і D. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому AD = а, ВР = b, BD = с за побудовою.

2) Дано: ВР = а — висота паралелограма ABCD, BD = b і АС = с — діагоналі. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m. Будую пряму n таку, що nm. Для цього з будь-якої точки прямої m проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т. Проводжу пряму ST1MN, які в перетині дають точку Р. З точки Р проводжу коло радіуса ВР = а й у перетині з прямою ST одержую точку В. З точки В проводжу коло радіуса BD = b, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізком точки В і D. Аналогічно описаному вище будую пряму ln, яка проходить через точку В. Знаходжу середину відрізка BD, побудувавши серединний перпендикуляр до цього відрізка. З точки О проводжу коло діаметра АС = с, яке в перетині з прямою l дає точку С, а в перетині з прямою m — точку А. Сполучаю відрізками точки А і В та С і D. Отже, побудований паралелограм ABCD— шуканий, бо в ньому BP = а, BD = b, АС = с за побудовою.

3) Дано: BE = a, BR = b — висоти паралелограма ABCD, — гострий кут паралелограма. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m. Будую пряму n таку, що nm. Для цього з будь-якої точки прямої m проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках M і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т. Проводжу пряму STMN, які в перетині дають точку Е. З точки Е проводжу коло радіуса BE = а й у перетині з прямою ST одержую точку В. Сполучаю відрізком точки В і Е. Аналогічно описаному вище будую пряму ln, яка проходить через точку В. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює його гострому куту (див. задачу № 69). Будую кут, який дорівнює куту Р₁А₁K₁, вершина якого міститься у точці В, а одна зі сторін кута збігається з прямою n. У заданому куті проводжу коло з центром у вершині А₁ так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад у точках K₁ і P₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці В. Нехай воно перетне пряму n у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь ВР. КВР = P₁A₁K₁. З точки В проводжу коло діаметра BR = b, яке в перетині з прямою ВР дає точку R. Аналогічно описаному вище проводжу пряму г, перпендикулярну прямій BR. Тоді. З точки D проводжу коло радіуса ВС й у перетині з прямою т одержую точку А. Сполучаю відрізками точки А і В. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому BE = a, BR = b, зaпобудовою.

81.

1) Дано: АВ = а, AD = b — сторони паралелограма ABCD, ВР = с — його висота. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m. Будую пряму n таку, що nm. Для цього з будь-якої точки прямої m проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — M і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т. Проводжу пряму STMN, які в перетині дають точку Р. З точки Р проводжу коло радіуса ВР = с й у перетині з прямою ST одержую точку В. З точки В проводжу коло радіуса ВА = а, яке в перетині з прямою m дає точку А. Сполучаю відрізком точки А і В. З точки А проводжу коло радіуса AD = b, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізком точки А і D. Аналогічно описаному вище будую пряму nm, яка проходить через точку В. Використаю властивість паралелограма про те, що протилежні сторони паралелограма рівні: АВ = DC = а. З точки D проводжу коло радіуса АВ = а, яке в перетині з прямою l дає точку С. Сполучаю відрізками точки В і С та С і D. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, ВР = с, AD = b за побудовою.

2) Дано: BP = a, BF = b— висоти паралелограма ABCD, BD = c — його діагональ. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m. Будую пряму n таку, що nm. Для цього з будь-якої точки прямої m проводжу коло довільного радіуса, яке перетне пряму m у двох точках — М і N. Проводжу кола з центрами в точках М і N радіуса, більшого за половину MN. У результаті перетину цих кіл одержую точки S і Т. Проводжу пряму STMN, які в перетині дають точку Р. З точки Р проводжу коло радіуса РВ = а й у перетині з прямою ST одержую точку В. З точки В проводжу коло радіуса BD = с, яке в перетині з прямою m дає точку D. Сполучаю відрізком точки В і D. Через точку В аналогічно описаному вище будую пряму ln, тоді l||m. Виконую допоміжну побудову. Будую дві перпендикулярні прямі k і r, які перетинаються в точці F. Будую коло з центром у точці F радіуса b, яке в перетині з прямою r дасть точку В. Будую коло з центром у точці В радіуса с, яке в перетині з прямою k дасть точку D. Сполучаю відрізком точки F і D. Переходжу до основної побудови. Будую коло з центром у точці В радіуса b. Будую коло з центром у точці D радіуса FD, яке в перетині з колом (B; b) дасть точки F і Е. Через точки D і F проводжу пряму, яка в перетині з прямою lдасть точку С. Будую коло з центром у точці D радіуса ВС, яке в перетині з прямою m дасть точку А. Сполучаю відрізком точки А і В. В і С, С і D та А і D. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому BP = a, BF = b, BD = с за побудовою.

82. Нехай дано паралелограм ABCD, АС— діагональ, ВЕАС, mAD, nCD, . Оскільки AD||BC як протилежні сторони паралелограма, mAD за умовою, то mВС. Так як AB||CD як протилежні сторони паралелограма, nCD за умовою, то nАВ. Отже, АK — висота трикутника , СЕ— висота трикутника ВЕ — висота трикутника ABC за умовою. Висоти трикутника перетинаються в одній точці, тому точка F належить прямій BE.

83. Дано: АВ = а — сторона паралелограма ABCD, АС + BD = b — сума діагоналей, — кут між діагоналями паралелограма. Побудувати: паралелограм ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку Е. Будую кут, який дорівнює половині кута Р₁Е₁K₁, вершина якого міститься у точці Е, а одна зі сторін кута збігається з прямою m. Щоб побудувати кут, який дорівнює половині кута Р₁Е₁K₁, необхідно побудувати бісектрису заданого кута. У заданому куті проводжу коло з центром у вершині Е₁ так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад, у точках K₁ і Р₁. Проводжу два кола довільного радіуса, але більшого за Е₁K₁, з центрами в точках K₁ і Р₁, які перетнуться в точці М₁. Проводжу промінь Е₁М₁, який є бісектрисою кута Р₁Е₁K₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці Е. Нехай воно перетне пряму m у точці K. Проводжу коло радіуса K₁R₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці R. Проводжу промінь ER. З точки Е проводжу коло радіусаяке в перетині з прямою ER дає точку В. Щоб знайти BE, достатньо побудувати серединний перпендикуляр до відрізка b. З точки В проводжу коло радіуса АВ й у перетині з прямою m одержую точку А. Аналогічно описаному вище будую до того ж точка О належить променю BE. На продовженні променя АО будую ОС = АО, а на промені BE відкладаю OD = DO. Сполучаю відрізками точки В і С, С і D та А і D. Отже, побудований паралелограм ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, АС + BD = b, BOA = за побудовою.

84. Нехай дано паралелограм ABCD, на сторонах АВ і ВС якого добудовано рівно- сторонні трикутники АВМ і ВСK. Оскільки трикутники АВМ і ВСK — рівносторонні, то усі їхні кути дорівнюють по 60°. Розглянемо паралельні прямі AD і ВС та січну АВ. Тоді KBC = BAD = 60° як відповідні. BAC = BCD = 60° як протилежні кути паралелограма. Тоді ABC = ADC = (360° - 2 • 60°) : 2 = 240° : 2 = 120°. Звідси слідує, що KBC + CBA = 60° + 120° = 180°, тобто ABK — розгорнутий. Тому ABC = MBK = 120° як вертикальні. MAD = MAB + BAD = 60° + 60° = 120°; DCK = DCB + BCK = 60° + 60° = 120°. Розглянемо трикутники MAD, DCK і МВK. У них: 1) MB = МА = CD як сторони рівностороннього трикутника і протилежні сторони паралелограма; 2) AD = KС = ВK як як сторони рівностороннього трикутника і протилежні сторони паралелограма; 3) MAD = DCK = KBM = 120° за доведеним вище. Отже, MAD = DCK = МВK за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому MD = KD = МK як відповідні елементи рівних трикутників, звідки слідує, що трикутник MKD — рівносторонній.

85. Нехай задано ABC, всередині якого міститься точка О. Через вершину кута точку В й точку О проводжу промінь, на якому відкладаю OD = ВО. Через точку D проводжу MD||BC і DK||BA. З точки М проводжу промінь через точку О й одержую, що MO = ОL, бо BMDC — паралелограм, BD і МK — діагоналі, які точкою перетину діляться навпіл.

86.

1) Нехай дано відрізок АВ = 24 см, С∈(АВ), ВС = 5АС, AB = 4BD. Нехай точка С лежить між точками А та В (див. рис.). Якщо AB = 4BD, 4BD = 24; BD = 6 (см). АВ = АС + СВ; АВ = АС + 5АС; АВ = 6АС; 6AС = 24; АС = 4(см). CD = АВ - (AC + DB); CD = 24 - (4 + 6) = 24 - 10 = 14 (см);

2) нехай точка С не належить відрізку АВ, тоді вона повинна міститися ліворуч від точки А (див. рис.). Якщо AB = 4BD, 4BD = 24; BD = 6 (см). АВ = ВС - АС; АВ = 5АС - АС; АВ = 4AС; 4АС = 24; АС = 6 (см). AD = АВ - DB; AD = 24 - 6 = 18 (см). CD = CA + AD; CD = 6 + 18 = 24 (см).

Відповідь. 14 см або 24 см.

87. Див. рис.

88. Нехай задано чотирикутник ABCD, АС і BD — діагоналі, які є діаметрами кола. Оскільки АС і BD— діаметри кола, то АС = BD. Нехай діаметри перетнуться в точці О — центрі кола, тоді АО = ОС = BO = OD як радіуси цього кола. Розглянемо трикутники АОВ і COD. У них: 1) АО = ОС як радіуси; 2) BO = OD як радіуси; 3) .BOA = .COD як вертикальні. Отже, АОВ = CODза двома сторонами і кутом між ними (за I ознакою рівності трикутників). Тому OCD = OAB як відповідні елементи рівних трикутників. Але ці кути є внутрішніми різносторонніми при перетині прямих АВ і CD січною АС. З рівності цих кутів за ознакою паралельності прямих слідує, що AB||CD.

89. Розфарбуємо квадрат 10 х 10 почергово білим і чорним кольором, як зображено на рисунку. Усього у квадраті буде 50 білих і 50 чорних клітинок. Заповнити квадрат спробуємо фігурами, які складаються з чотирьох клітинок. Таких фігур може бути лише два види (див. рис.). Але немає жодного набору фігур, при якому кількість білих і чорних квадратиків була б по 50. Отже, квадрат 10 х 10 не можна розрізати на 25 фігур, кожна з яких складається з чотирьох клітинок і мають Т-подібний вигляд.