Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
1. Чотирикутники та його елементи

1. Див. рис.

2. Сусідні сторони: МK і KЕ, KЕ і EF, EF і FM, FM і МK. Протилежні сторони: МK і FE, KЕ і MF.

Протилежні вершини: M i E,K i F.

Позначення чотирикутника: MKEF, KEFM, EFMK.

3. Див. рис.

4. Чотирикутниками є фігури а), ґ), д), е).

5. Позначення чотирикутника: МKСА, KСАМ, САМK.

1) М, K, С, А;

2) МK, KС, СА, AM;

3) М i K, K i С, С i А, А і М;

4) М і С, K і А;

5) МK і KС, KС і СА, СА і AM, AM і МK;

6) МK і АС, МА і KС;

7) МС і KА.

6. Опуклими є чотирикутники MKEF, STOP, QLNR.

7. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 360°, то четвертий його кут становить 360° - (78° + 89° + 93°) = 360° - 260° = 100°.

Відповідь. 100°.

8. Якщо кути чотирикутника рівні між собою, а сума кутів чотирикутника — 360°, то кожен з кутів дорівнює 360° : 4 = 90°.

Відповідь. 90°, 90°, 90°, 90°.

9. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо, що A + B + C + D = 360°, звідки А + C + D = 360° - B. Оскільки за умовою B = 150°, то A + C + D = 360° - 150° = 210°. Тоді A = C = D = 210° : 3 = 70°.

Відповідь. 70°, 70°, 70°.

10. Нехай A = x, тоді B = 2х, C = х + 20°, D = x - 40°. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: х + 2х + х + 20° + х - 40° = 360°; 5х - 20° = 360°; 5х = 380°; х = 76°. Отже, A = 76°, тоді B = 2 • 76° = 152°, C = 76° + 20° = 96°, D = 76°- 40° = 36°.

Відповідь. 76°; 152°; 96°; 36°.

11. Нехай ABCD— чотирикутник, A : B : C : D = 10 : 21 : 2 : 3. Нехай A = 10, тоді B = 21x, C = 2х, D = 3х. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо рівняння: 10х + 21х + 2х + 3х = 360°; 36х = 360°; х = 10°. Тоді A= 10 •10° = 100°, B = 21 • 10° = 210°, C = 2 • 10° = 20°, D = 3 • 10° = 30°. Оскільки у даному чотирикутнику B = 210° > 180°, то він не є опуклим. Відповідь. 100°; 210°; 20°; 30°; не є опуклим.

12. Нехай ABCD — чотирикутник, A : B : C = 4 : 5 : 7, D = (A + B + C) : 2. Нехай A = 4х, тоді B = 5х, C = 7x, D = (4х + 5х + 7х) : 2 = 8х. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо рівняння: 4х + 5х + 7х + 8х = 360°; 24х = 360°; х = 15°. Тоді A = 4 • 15° = 60°, B = 5 • 15° = 75°, C = 7 • 15° = 105°, D = 8 • 15° = 120°. Оскільки у даному чотирикутнику всі кути менші від розгорнутого, то він є опуклим.

Відповідь. 60°; 75°; 105°; 120°; є опуклим.

13.

1) Не може, бо сума його кутів буде меншою від 360°;

2) не може, бо сума його кутів буде більшою від 360°;

3) може, бо сума його кутів дорівнюватиме 360°;

4) не може, бо сума його кутів буде меншою від 360°;

5) не може, бо сума його кутів буде більшою від 360°;

6) може, якщо сума гострого і тупого кутів дорівнює 180°.

14. Нехай перша сторона дорівнює х см, тоді друга сторона—третя —четверта — Рівняння: 3,5х = 63; х = 18. Отже, перша сторона чотирикутника дорівнює 18 см, друга — ,третя —четверта —

Відповідь. 18 см; 12 см; 6 см; 27 см.

15. Нехай перша сторона дорівнює х см, тоді друга сторона — (х - 2) см, третя — (х + 6) см, четверта — 3х см. Рівняння: х + (х - 2) + (х + 6) + 3х = 64; 6х + 4 = 64; 6х = 60; х = 10. Отже, перша сторона чотирикутника дорівнює 10 см, друга — 10 - 2 = 8 (см), третя — 10 + 6 = 16 (см), четверта — 3 • 10 = 30 (см).

Відповідь. 10 см; 8 см; 16 см; 30 см.

16. Нехай у чотирикутнику ABCD АВ = ВС, ABD = CBD, BD— діагональ. Розглянемо трикутники ABD і CBD. У них: 1) АВ = ВС за умовою; 2) ABD = CBD за умовою; 3) BD — спільна сторона. Отже, ABD = CBD за двома сторонами і кутом між ними (за 1 ознакою рівності трикутників). Тому AD = CD як відповідні елементи рівних трикутників.

17. Нехай у чотирикутнику ABCD АО = ОС, BO = OD, ВС = 6 см. Розглянемо трикутники AOD і COD. У них: 1) АО = ОС за умовою; 2) BO = OD за умовою; 3) AOD = СОВ як вертикальні. Отже, AOD = СОВ за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому AD = ВС = 6 см як відповідні елементи рівних трикутників.

Відповідь. 6 см.

18. Нехай у чотирикутнику MNKP MN = NK, МР = РK, M = 100°. Добудуємо діагональ PN. Розглянемо трикутники NMP і NKP. У них: 1) MN = NK за умовою; 2) МР = РK за умовою; 3) PN— спільна сторона. Отже, NMP = NMP за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників). Тому K = M = 100° як відповідні елементи рівних трикутників.

Відповідь. 100°.

19. Нехай у чотирикутнику ABCD BAC = CAD, BCA = ACD, АВ = 8 см, ВС = 10 см. Розглянемо трикутники ABC і ADC. У них: 1) ВАС = CAD за умовою; 2) BCA = ACD за умовою; 3) АС— спільна сторона. Отже, АВС = ADC за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому АВ = CD = 8 см, ВС = AD = 10 см як відповідні елементи рівних трикутників. Тоді P_ABCD = AB + ВС + CD + AD = 8 + 10 + 8 + 10 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

20.

1) Нехай у трикутнику ABC А = 44°, В = 56°, АK і ВМ— бісектриси відповідно САВ і АВС, які перетинаються в точці О. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°; АС = 180° - (А + В); АС = 180°- (44° + 56°) = 180° - 100° = 80°. Оскільки АK — бісектриса САВ, то за властивістю бісектриси МАО = ОАВ = 44° : 2 = 22°. Аналогічно КВО = ОВА = 56° : 2 = 28°. Розглянемо трикутник АОВ. У ньому ОАВ + АОВ + ОВА = 180°; AОВ = 180° - (ОАВ + ОВА); АОВ = 180° - (22° + 28°) = 180° - 50° = 130°. АОВ і MOK— вертикальні, тому АОВ = MOK = 130°. Розглянемо трикутник АKС. У ньому САK + АKС + KСА = 180°; АKС = 180° - (САK + KСА); АKС = 180° - (22° + 80°) = 180° - 102° = 78°. Розглянемо чотирикутник МОKС. За теоремою про суму кутів чотирикутника ОМС + МСK + СKО + KОМ = 360°; ОМС = 360° - (МСK + СKО + КОМ); ОМС = 360° - (80° + 78° + 130°) = 360° - 288° = 72°.

Відповідь. 72°, 80°, 78°, 130°;

2) розглянемо чотирикутник АОВС. За теоремою про суму кутів чотирикутника САО + AОВ + ОВС + ВСА = 360°; АОВ = 360° - (САО + ОВС + ВСА); АОВ = 360° - (22° + 28° + 80°) = 360° - 130° = 230°.

Відповідь. 22°, 230°, 28°, 80°.

21.

1) Нехай у трикутнику ABC А = 36°, В = 72°, АЕ i BF — висоти, проведені відповідно до сторін ВС і АС, які перетинаються в точці Н. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°; С = 180° - (А + В); С = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°. Оскільки АЕ— висота, то СЕА = ВЕА = 90°. Аналогічно CFB = BFA = 90°. Розглянемо чотирикутник CFHE. За теоремою про суму кутів чотирикутника CFH + FHE + НЕС + ECF = 360°; FHE = 360°- (CFH + НЕС + ECF); FHE = 360° - (90° + 90° + 72°) = 360°-252° = 108°.

Відповідь. 90°, 108°, 90°, 72°;

2) розглянемо прямокутний трикутник СЕА (СЕА = 90°). Тоді маємо: САЕ + ЕСА = 90°; САЕ = 90° - ЕСА; САЕ = 90° - 72° = 18°. Розглянемо прямокутний трикутник CFB (CFB = 90°). Тоді маємо: FBC + FCB = 90°; F- ВС = 90° - FCB; FBC = 90° - 72° = 18°. Розглянемо чотирикутник АСВН. За теоремою про суму кутів чотирикутника САН + АНВ + НВС + ВСА = 360°; АНВ = 360°- (САН + НВС + ВСА); АНВ = 360°- (18° + 18° + 72°) = 360° - 108° = 252°.

Відповідь. 18°, 72°, 18°, 252°.

22. Нехай ABCD— заданий чотирикутник, АС — його діагональ, Р_ABC = 36 см, P_ADC = 64 см, P_ABCD = 80 см. P_ABCD = AB + ВС + CD + AD, Р_ABC = AB + ВС + АС, Р_ABC = AD + DC + AC, звідки Р_АBC + P_ADC = (AB + ВС + АС) + (AD + DC + АС) = (AB + ВС + CD + AD) +AC+ АС = P_ABCD + 2AC; 36 + 64 = 80 + 2AC; 2AC = 20; AC = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

23.

1) Проведемо у чотирикутнику ABCD діагональ AC. Розглянемо трикутник ABC. За нерівністю трикутника маємо: АВ < АС + СВ. Аналогічно для трикутника ADC маємо: AC<AD + DC. Тоді АВ < АС + СВ < (AD + DC) + СВ < AD + DC + CB. Отже, для сторін чотирикутника ABCD маємо, що будь-яка сторона чотирикутника має бути меншою за суму решти трьох сторін цього чотирикутника. Перевіримо одержану нерівність для найбільшої сторони чотирикутника: 9 < 2 + 3 + 4; 9 < 9 — нерівність хибна, тому чотирикутника з такими сторонами не існує;

2) перевіримо одержану нерівність для найбільшої сторони чотирикутника: 10 < 2 + 3 + 4; 10 < 9 — нерівність хибна, тому чотирикутника з такими сторонами не існує.

24.

1) Нехай ABCD — заданий чотирикутник, A = 90°, C = 90°, BN і DK— бісектриси кутів В і D. Якщо BN— бісектриса ABC, то за означенням бісектриси Нехай ABN = x, тоді NBC = x, ABC = 2х. Розглянемо прямокутний трикутник BAN (A = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ANB + ABN= 90°, звідки ANB- 90° - ABN = 90° - х. Розглянемо чотирикутник ABCD. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: A + B + C + D = 360°; D = 360° - (A + B + C) = 360° - (90° + 2х + 90°) = 180° - 2х. Оскільки DK— бісектриса ADC, то за означенням бісектрисиТак як D = ADC = 180° - 2х, тоРозглянемо прямокутний трикутник KCD (C = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: KDC+ DKC- 90°, звідки KDC = 90° - DKC - 90° - (90° - х) = х. Розглянемо прямі BN і KD і пряму AD як січну. Оскільки ANB = 90°- х, ADK = NDK = 90° - х, то ANB = NDK, то за ознакою паралельних прямих BN||KD;

2) нехай діагональ BD є бісектрисою чотирикутника ABCD. Тоді за означенням бісектриси маємо:Розглянемо прямокутні трикутники BAD (A = 90°) і BCD (C = 90°). У них ABD = CBD. BD — спільна сторона (гіпотенуза), тому за ознакою рівності прямокутних трикутників BAD = BCD за гіпотенузою і гострим кутом. Тому ADB = CDB як відповідні елементи рівних трикутників. Звідси маємо, що BD — бісектриса ADC.

25.

1) Нехай у чотирикутнику ABCD BN і DK — бісектриси кутів В і D, BN||DK. Розглянемо паралельні прямі BN і DK та січну ВС. За ознакою паралельних прямих маємо, що NBK =DKC як відповідні. Якщо BN— бісектриса ABC, то за означенням бісектрисиНехай ABN = DKC = x. Розглянемо паралельні прямі BN і DK та січну AD. За ознакою паралельних прямих маємо, що NDK = ANB як відповідні. Тоді LANВ = KDC. Нехай ANB = KDC = у. Розглянемо трикутник ANВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + ANB + ABN = 180°; A = 180° - (ABN + ANB) = 180° - (х + у). Розглянемо трикутник DKC. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: C + KDC + DKC = 180°; C =180° - (DKC + KDC) = 180° - (х + у). Отже, A = C = 180° - (x + у), тобто кути А і С рівні;

2) нехай діагональ BD є бісектрисою чотирикутника ABCD. Тоді за означенням бісектриси кута В маємо:Аналогічно за означенням бісектриси кута D маємо:Розглянемо трикутники BAD і BCD. У них ABD = CBD, ADB = CDB за доведеним, BD — спільна сторона. Отже, BAD = BCD за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому A = C як відповідні елементи рівних трикутників.

26. Дано: АВ = а, ВС = b, CD = с і AD = d— сторони чотирикутника ABCD, P₁A₁K₁ = — кут чотирикутника. Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. У заданому куті а проводжу коло з центром у вершині А і так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад у точках K₁ і Р₁. Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці А. Нехай воно перетне пряму m у точці K. Проводжу коло радіуса K₁Р₁ з центром у точці K, кола перетнуться у точці Р. Проводжу промінь АР. PAK = P₁A₁K₁. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. З точки А проводжу коло радіуса AD = d, яке перетне промінь АР у точці D. Будую коло радіуса ВС = b з центром у точці В і коло радіуса DC = d з центром у точці D. Кола перетнуться у точці С, яка є вершиною чотирикутника. Сполучаю відрізками точки В і С та точки D і С. Отже, побудований чотирикутник ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, ВС = b, CD = с, AD = d, DAB = а за побудовою.

27. Дано: АВ = а, ВС = b, AD = с — сторони чотирикутника ABCD, АС = d, BD = e — діагоналі чотирикутника. Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму т і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ-а, яке перетне пряму т у точці В. З точки А проводжу коло радіуса AD = с, а з точки В — коло радіуса BD = е, які перетнуться у точці D. Сполучаю відрізком точки А і D. З точки В проводжу коло радіуса ВС = b, а з точки А — коло радіуса АС = d, які перетнуться у точці С. Сполучаю відрізком точки В і С. Проводжу відрізок DC. Отже, побудований чотирикутник ABCD — шуканий, бо в ньому АВ = а, ВС = b, AD = c, AC = d, BD = е за побудовою.

28. Дано: АВ = а, BС = A, CD = с і AD = d — сторони чотирикутника ABCD, ВО — діагональ чотирикутника. Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму т у точці В. З точки А проводжу коло радіуса AD = d, а з точки В — коло радіуса BD = е, які перетнуться у точці D. Сполучаю відрізком точки А і D. З точки В проводжу коло радіуса ВС = b, а з точки D — коло радіуса DC — с, які перетнуться у точці С. Сполучаю відрізками точки В і С та D і С. Отже, побудований чотирикутник ABCD— шуканий, бо в ньому АВ = а, ВС = b, CD = с і AD = d, BD = e за побудовою.

29. Дано: AB = a,BC = b, AD + CD = c,— кути чотирикутника. Побудувати: чотирикутник ABCD.

Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку В. З точки В проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці А. У заданому куті проводжу коло з центром у вершині В₁ так, щоб воно перетнуло сторони кута, наприклад у точках М₁ і N₁ Проводжу коло того самого радіуса з центром у точці В. Нехай воно перетне пряму m у точці М. Проводжу коло радіуса M₁N₁ з центром у точці М, кола перетнуться у точці N. Проводжу промінь BN. NBM = N₁B₁M₁. З точки В проводжу коло радіуса ВС = b, яке перетне промінь BN у точці С. З’єдную відрізком точки А і С. Аналогічно описаному вище будую3 точки А проводжу коло радіуса AD + CD = с, яке перетне промінь АK у точці S. З’єдную відрізком точки S і С. Побудую серединний перпендикуляр до відрізка SC. Для цього будую дугу довільного радіуса, але більшого за половину відрізка SC, з центром у точці С. Аналогічно будую дугу такого ж радіуса з центром у точці S. Дуги перетнуться у точках E і Т. Будую пряму ЕТ — серединний перпендикуляр до відрізка SC. Серединний перпендикуляр ЕТ перетинає відрізок AS у точці D — четвертій вершині чотирикутника. Отже, побудований чотирикутник ABCD— шуканий, бо в ньому АВ = а, ВС = b, AD + CD = с,за побудовою.

30. 1 і 4, 2 і 3 — внутрішні різносторонні; 1 і 3, 2 і 4 — внутрішні односторонні.

1) Якщо 1 = 4, то оскільки ці кути є внутрішніми різносторонніми, за ознакою паралельності прямих маємо, що а||b, с — січна;

2) 1 = 20°, 3 = 170°, то оскільки 1 і 3 є внутрішніми односторонніми, то за ознакою паралельності прямих маємо, що 1 + 3 = 20° + 170° = 190° ≠ 180°, тому прямі а і b не паралельні.

31. Нехай ABCD — чотирикутник, C = 110°, D = 70°. Розглянемо прямі ВС і AD та січну CD. C і D є внутрішніми односторонніми кутами. За ознакою паралельності прямих маємо, що C + D = 110° + 70° = 180°, тому прямі ВС і CD паралельні.

32.

1) Нехай ABCD— чотирикутник, A = B = 90°, C = 100°. Розглянемо прямі ВС і AD та січну AB. A і B є внутрішніми односторонніми кутами. За ознакою паралельності прямих маємо, що A + B = 90° + 90° = 180°, тому прямі ВС і AD паралельні;

2) нехай ABCD— чотирикутник, A = B = 90°, C = 100°. Розглянемо прямі AB і CD та січну ВС. B і C є внутрішніми односторонніми кутами. За ознакою паралельності прямих маємо, що B + C = 90° + 100° = 190° ≠ 180°, тому прямі AB і CD не паралельні.

33. Нехай ABCD —- чотирикутник, AD = ВС, ADB = CBD. Розглянемо трикутники ADB і CBD. У них 1) AD = BC — за умовою; 2) ADB = CBD — за умовою;

3) BD — спільна сторона. Отже, ADB = CBD за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому AB = CD і ABD = CDB як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямі AB і CD та січну BD. ABD і CDB є внутрішніми різносторонніми кутами і ABD = CDB. За ознакою паралельності прямих маємо, що прямі AB і CD паралельні.

34. Нехай ABC — заданий трикутник, ВK— бісектриса ABC, KD||AB, D∈BC, BDK = 116°. Розглянемо паралельні прямі AB і KD та січну BD. За ознакою паралельних прямих маємо, що ABD + BDK = 180° як внутрішні односторонні, звідки ABD = 180° - BDK = 180° - 116° = 64°. Оскільки ВK — бісектриса ABC, то за означенням бісектриси KBC = 64° : 2 = 32°. Розглянемо трикутник KBD. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: KBD + BDK + BKD =180°; BKD = 180°- (KBD + BDK) = 180°- (32° + 116°) = 180° - 148° = 32°.

Відповідь. 32°.

35. Візьмемо на площині точку деякого кольору, наприклад чорного, і проведемо коло, радіус якого дорівнює 1 м. Якщо на цьому колі є хоча б одна точка чорного кольору, то шуканим відрізком буде діаметр кола. Якщо ж усі точки кола білого кольору, то на колі обов’язково знайдеться хорда завдовжки 1 м, кінці якої білого кольору.