Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІІІ. Розв’язування прямокутних трикутників
17. Тригонометричні функції гострого кута прямокутного трикутника

579.

1) Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку В. Будую відрізок х довільної величини. Відкладаю від точки В на прямій m відрізок завдовжки х 5 разів. У результаті одержую точку С. Будую пряму n, яка проходить через точку В і таку, що літи. Відкладаю від точки В на прямій n відрізок завдовжки х 4 рази. У результаті одержую точку А. Сполучаю відрізком точки А і С. Тоді кут АСВ — шуканий, тому що

2) Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку В. Будую відрізок х довільної величини. Відкладаю від точки В на прямій m відрізок завдовжки х 2 рази. У результаті одержую точку С. Будую пряму n, яка проходить через точку В і таку, що літи. Проводжу коло з центром у точці С радіуса Зх. Нехай воно перетне пряму n у точці А. Сполучаю відрізком точки А і С. Тоді кут ВАС — шуканий, тому що

580.

1) Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку В. Будую відрізок x довільної величини. Відкладаю від точки В на прямій m відрізок завдовжки х. У результаті одержую точку С. Будую пряму ь, яка проходить через точку В і таку, що nm. Проводжу коло з центром у точці С радіуса 4х. Нехай воно перетне пряму n у точці А. Сполучаю відрізком точки А і С. Тоді кут ВСА — шуканий, тому що

2) Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку В. Будую відрізок х довільної величини. Відкладаю від точки В на прямій m відрізок завдовжки х. У результаті одержую точку С. Будую пряму m, яка проходить через точку В і таку, що nm. Відкладаю від точки В на прямій m відрізок завдовжки х 2 рази. У результаті одержую точку А. Сполучаю відрізком точки А і С. Тоді кут АСВ — шуканий, тому що

581. Нехай ABC— прямокутний трикутник, B = 90°, ВС = 8 см, АС = 10 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС², звідки АВ² = АС² - ВС²; Отже, АВ — менший катет, ВС — більший катет, АС — гіпотенуза.

1)

2)

3)

4)

582. Нехай ABC — прямокутний трикутник, B = 90°, АВ = 2 см, ВС = 3 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²;Отже, АВ — менший катет, ВС — більший катет, АС — гіпотенуза.

1)

2)

3)

4)

583.

1)

2)

584.

1)

2)

585. Нехай ABC— прямокутний трикутник, АС = 90°, ВС = 77 см, АВ =125см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС², звідки АС² = АВ² - ВС²; Тоді

586. Нехай ABC— прямокутний трикутник, АС = 90°, ВС = 41 см, АС = 20 см. За теоремою Піфагора АВ² = АС² + ВС²;Тоді

587.

588.

589. Нехай ABC — прямокутний трикутник,За означенням синуса гострого кута прямокутного трикутникаНехайтоді АС = 3х см. За теоремою Піфагора маємо: АС²= АВ² + ВС², звідки АB² = АС² + ВС²;Тоді

590. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АВ = ВС = 13 см, АС = 24 см, BD — висота. Оскільки BD — висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, то вона є також медіаною. Тому AD = DC = 24 : 2 = 12 (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD2 + BD², звідки BD²= AB² - AD²-, Тоді

591. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АВ = ВС = 17 см, BD — висота, BD = 8 см. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD², звідки AD² = АВ² - BD²;Тоді

592. Нехай ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі,BD = 4 см. За властивістю діагоналей ромба ACBD і Розглянемо прямокутний трикутник COD (COD = 90°). За означення тангенса гострого кута прямокутного трикутника звідки OCD 30°,звідки ODC = 60°. Оскільки діагоналі ромба є бісектрисами його кутів, то BCD = 2OCD; BCD = 2 • 30° = 60°; ADC = 2CDO; ADC = 2 • 60° = 120°. Так як протилежні кути ромба рівні, то BAD = BCD = 60°, ABC = ADC = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°.

°

593. Нехай ABCD— прямокутник, АС — діагональ, , ВС = 3 см. Розглянемо прямокутний трикутник ADC (ADC = 90°). За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутниказвідки BAC = 60°;звідки BCA = 30°.

Відповідь. 60°, 30°.

594. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), АВ = CD = 9 см, ВС = 10 см, AD = 14 см. Проведемо висоту BF трапеції. За властивістю рівнобічної трапеціїРозглянемо прямокутний трикутник AFB (AFB = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AF² + BF², звідки BF² = AB² — AF²;

595. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, A = 90°), АВ = 4 см, ВС = 8 см, AD = 12 см. Оскільки трапеція прямокутна, то A = B = 90°. Проведемо висоту CF трапеції. Чотирикутник ABCF — прямокутник. За властивістю протилежних сторін прямокутника CF = АВ = 4 см, AF = ВС = 8 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD= AF+ FD; FD = AD — AF; FD = 12 - 8 = 4(см). Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутниказвідки D = 45°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника D + FCD = 90°; FCD = 90 ° - D; FCD = 90 °- 45° = 45°. За аксіомою вимірювання кутів BCD = BCF + FCD; BCD = 90° + 45° = 135°.

Відповідь. 90°, 90°, 45°, 135°.

596. За означенням тангенса гострого кута прямокутного трикутника маємо, що звідки слідує, що tgA і tgB є взаємно оберненими числами.

597.

1)

2)

598.

1) sin²18° + sin²72° = sin²(90° - 72°) + sin²72° = cos²72° + sin²72° = 1;

2) cos³36° - sin³54° = cos³(90° - 54°) - sin³54° = sin³54° - sin³54° = 0.

599. Нехай ABC— прямокутний трикутник (ABC = 90°), AB = 30 cm, BC = 40 cm, BD— висота, BF— медіана. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора АС² = AB² + ВС²;За метричним співвідношенням для прямокутного трикутника ABC маємо: АВ² = АС • AD; За аксіомою вимірювання відрізків AC = AD + DC; DC = AC - AD; DС = 50 - 18 = 32 (см). За метричним співвідношенням для прямокутного трикутника ABC маємо: BD² = AD • DC;Оскільки BF— медіана, то, За аксіомою вимірювання відрізків AF = AD + DF; DF = AF - AD; DF = 25 - 18 = 7 (см). Розглянемо прямокутний трикутник BDF (BDF = 90°). За теоремою Піфагора BF² = BD² + DF²;=Тоді маємо:

600. Нехай ABC — трикутник, AB = ВС, BD і AM— висоти, BD : AM = 3 : 1. Оскільки АВ = ВС, то трикутник ABC — рівнобедрений, тоді висота BD, проведена до основи, є його медіаною:Розглянемо трикутники BDC і АМС. У них: 1) C — спільний; 2) BDC = A МС = 90°. Отже, BDC ~ АМС за двома рівними кутами (за І ознакою подібності трикутників). Тодіза умовою, тому. Далі маємо: Розглянемо прямокутний трикутник АМС (AMC = 90°). За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутника

Відповідь.

601. Нехай ABC— трикутник, АВ = ВС, BD і СK— висоти,Оскільки АВ = ВС, то трикутник ABC — рівнобедрений, тоді висота BD, проведена до основи, є його медіаною:АС = 2AD. Розглянемо трикутники ADB і АKС. У них: I) A — спільний; 2) ADB = АKС = 90°. Отже, ADB ~ АKС за двома рівними кутами (за І ознакою подібності трикутників). Тоді Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За означенням косинуса гострого кута прямокутного трикутникаТодізвідки CK : BD = 7 : 6.

Відповідь. 7 : 6.

°

602. Сполучимо точки А та С й одержимо прямокутний трикутник (ВАС = 90°). Тоді Опустимо перпендикуляр з точки F на DE, нехай одержимо точку М. Розглянемо одиничний квадрат. Його діагональ за теоремою Піфагора дорівнюєа половина —За властивістю діагоналей квадрата вони перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. ТомуЗа аксіомою вимірювання відрізківТоді Оскільки тангенси гострих кутів В і Е рівні, то рівними є й самі кути.

603. Нехай ABCD— паралелограм, AM і ВМ— бісектриси, АВ = 6 см. Оскільки AM — бісектриса кута А, тоBAD = 2ВАМ. Аналогічно так як ВМ— бісектриса кута В, то АВС = 2АВМ. За властивістю кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, маємо: BAD + ABC = 180°; 2ВАМ + 2АВМ = 180°; ВАМ + АВМ = 90°, тому АМВ = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник АMB. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині його гіпотенузи, тому r = АВ : 2; r = 6 : 2 = 3 (см).

Відповідь. 3 см.

604. Нехай (О; R) — коло, AB і СВ — хорди, АВСВ, М і N— середини хорд, MN = 12 см. Оскільки ABCD, то ABC = 90°. Тоді ABC є вписаним кутом, який спирається на діаметр описаного навколо трикутника ABC кола Так як М і N— середини хорд AB і CD відповідно, то MN — середня лінія трикутника ABC. За властивістю середньої лінії маємо:AC = 2MN; АС = 2 • 12 = 24 (см). Оскільки АВ — діаметр, то радіус r = АС : 2; r = 24 : 2 = 12 (см).

Відповідь. 12 см.

605. Нехай ABC — трикутник, ВK — висота, AM— бісектриса ВK = 26 см, АВ : АС = 6 : 7, MDAC. Оскільки AM — бісектриса то за властивістю бісектриси звідкиНехай ВМ = 6х см, тоді MС = 7х см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 6х + 7х = 13x (см). Розглянемо трикутники ВKС і MDC. У них: 1) С— спільний; 2) ВKС = MDC = 90°. Отже, ВKС ~ MDC за двома рівними кутами (за І ознакою подібності трикутників). Тоді

Відповідь. 14 см.

606. Нехай (О₁; R₁) і (O₂; R₂) — два круги. Проведемо їхні спільні дотичні — зовнішню А₁В₁ і внутрішню A₂B₂. Точка M їх перетину буде шуканою точкою.