Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІІІ. Розв’язування прямокутних трикутників
16. Теорема Піфагора

529. За теоремою Піфагора маємо: с² = а² + b²;Тоді: І)2)

Відповідь. 1) 5 см; 2)

530. За наслідком з теореми Піфагора маємо:Тоді: 1) 2)

Відповідь. 1) 9 см; 2) 6 см.

531.

1) 3а теоремою Піфагора маємо: с² = а² + b²;

2) за наслідком з теореми Піфагора маємо:

3) за наслідком з теореми Піфагора маємо:

Відповідь. 1) 13 см; 2)3) 9 см.

532. Нехай ABCD — прямокутник, АВ = CD = 9 см, AD = ВС = 40 см, АС — діагональ. За теоремою Піфагора з прямокутного трикутника ADC маємо: АС² = AD² + CD²;

Відповідь. 41 см.

533. Нехай ABCD — прямокутник, АВ = CD = 9 см, АС = 25 см. За наслідком з теоремою Піфагора з прямокутного трикутника ADC маємо: AD² = АС² - CD²;

Відповідь. 24 см.

534. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник, АВ = ВС = 29 см, BD— висота, BD = 21 см. Якщо BD — висота, проведена до основи, то BDAC і вона с бісектрисою і медіаною, томуРозглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За наслідком з теоремою Піфагора маємо: AD² =АВ² - ВD²; Тоді АС = 2AD; АС = 2 • 20 = 40 (см).

Відповідь. 40 см.

535. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник, BD — висота, BD = 35 см, АС = 24 см. Якщо BD — висота, проведена до основи, то BDAC і вона є бісектрисою і медіаною, тому AD = DC - АС; AD = 24 : 2 =12 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD²;

Відповідь. 37 см.

536. Нехай (О; R) — коло, АВ — хорда, А В = 16 см, AO = BO = R = 10 см. Розглянемо трикутник АОВ. Він рівнобедрений. Проведемо ОС1АВ, це буде відстань від центра кола до хорди. Оскільки відрізок ОС є висотою рівнобедреного трикутника, проведеною до основи, то він є медіаною і бісектрисою. Тому АС = ВС = 16 : 2 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ACO (ACO = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АO² = AС² + СО², звідки одержимо: СО²= АО² - АС²;

Відповідь. 6 см.

537. Нехай ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, АС = 32 см, BD = 24 см. За властивістю діагоналей ромба, вони є перпендикулярними і точкою перетину діляться навпіл, звідкиРозглянемо прямокутний трикутник COD (COD = 90°). За теоремою Піфагора маємо: CD² = ОС² + OD², звідки одержимо: Р_ABCD = ACD; P_ABCD = 4 • 20 = 80 (см).

Відповідь. 80 см.

538. Нехай ABCD — ромб, АС— діагональ, АС = 48 cm, CD = 26 см. За властивістю I діагоналей ромба, вони є перпендикулярними і точкою перетину діляться навпіл, звідки Розглянемо прямокутний трикутник : COD (COD = 90°). За теоремою Піфагора маємо: CD² = ОС² + OD², звідки одержимо: OD² = CD² - ОС², Тоді BD = 2OD; BD = 2 • 10 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

539. Нехай ABC — прямокутний трикутник (В = 90°), АВ = 21 см. Нехай ВС = х см, і тоді AС = (х + 7) см. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС². Рівняння: (x + 7)² = 21²+ x²; х²+ 14x + 49 = 441 + х²; 14x = 392; х = 28. Отже, AС = 28(см), тоді АС = 28 + 7 = 35 (см). Тоді Р_АВС = АВ + ВС + АС; Р_АВС = 21 + 28 + 35 = 84 (см).

Відповідь. 84 см.

540. Нехай ABC — прямокутний трикутник (В = 90°), АС = 26 см, ВС : АВ = 5 : 12. Нехай ВС = 5х см, тоді АВ = 12х см. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС². Рівняння: 26² = (12х)²+ (5х)²; 676 = 144x² + 25х²; 169x² = 676; х² = 4; х = 2. Отже, ВС = 5 • 2 = 10 (см), тоді АВ = 12 • 2 = 24 (см).

Відповідь. 10 см, 24 см.

541. Нехай ABC— прямокутний трикутник (В = 90°), ВС = 6 см, AD— медіана, AD = 5 см. Оскільки AD — медіана, тоРозглянемо прямокутний трикутник ABD. За теоремою Піфагора AD² = АВ² + BD², звідки АВ² = AD² - ВD²;Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ²+ ВС²;

Відповідь.

542. Нехай ABC— прямокутний трикутник (В = 90°), ВС = 20 см, BD — висота, AD = 5 см, CD = 16 см. Оскільки BD — висота, то BDAC, BDC = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник BDC. За теоремою Піфагора ВС² = BD² + DC²; звідки ВD² = ВС² - DC²;Розглянемо прямокутний трикутник BDA. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD²;

Відповідь. 13 см.

543. Нехай ABC — трикутник, AB = 17 см, ВС = 9 см, AD — висота, AD = 8 см. Оскільки AD — висота, то AD BC, ADB = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора AB2 = AD2 + DB2. звідки DB2 = AB2 - AD2; За аксіомою вимірювання відрізків DB = DC + СВ; DC = DB - СВ; DC =15-9 = 6 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADC. За теоремою Піфагора одержимо: АС² = AD² + DC²;

Відповідь. 10 см.

544. Нехай ABC — рівносторонній трикутник, АВ = ВС = АС = а. Проведемо висоту BD, BDAC, BDC = 90°. Вона є медіаною, тому Розглянемо прямокутний трикутник BDC. За теоремою Піфагора ВС² = BD² + DC², звідки BD² = ВС² - DC²;

Відповідь.

545. Нехай ABCD— квадрат, АС— діагональ, AB = ВС = CD = AD = а. Розглянемо прямокутний трикутник ADC (ADC = 90°). За теоремою Піфагора АC² = AD² + CD²:

Відповідь.

546. Нехай ABC— рівносторонній трикутник, BD — висота, BD = h. Нехай АВ = ВС = АС = х. Висоти рівностороннього трикутника є медіаною, тому Розглянемо прямокутний трикутник ВDC, За теоремою Піфагора ВС² = BD² + DC², звідкиОтже,

Відповідь.

547. Нехай ABC — прямокутний рівнобедрений трикутник (ABC = 90°. АВ =ВО. АС = с. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; АС² = 2АВ²;

Відповідь.

548.

1) Нехай АВ = 2 см, ВС = CD = 1 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90°). За теоремою Піфагора AD² = AC² + CD²;

2) нехай АВ = 2 см, ВС = 3 см, DC = 4 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС² Розглянемо прямокутний трикутник DAC (DAC = 90°). За теоремою Піфагора DC² = AD² + АС², звідки AD² = DC² - АС²;

3) нехай AD = 2 см, BD = 3 см, DC = 4 см. Розглянемо прямокутний трикутник DBC (DBC = 90°). За теоремою Піфагора DC² = DB² + ВС², звідки ВС² = DC^{2 -} DB²; За аксіомою про вимірювання відрізків АВ = AD + DB; АВ = 2 + 3 = 5 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC =90°). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²;

Відповідь. 1)2)3)

549.

1) Нехай AB = 1 см, ВС = 1 см, CD = 2 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС²= AB² + ВС²; Розглянемо прямокутний трикутник DAC (DAC = 90°). За теоремою Піфагора DC² = AD² + АС², звідки AD² = DC² - АС²,

2) нехай АВ = 3 см, CD = 1 см. Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90°). За теоремою Піфагора AD² = AD² + CD², звідки АС² = АD² - CD²;Розглянемо прямокутний трикутник АСВ (АСВ = 90°). За аксіомою про вимірювання відрізків ВС = BD + DC; ВС = BD + 1 (см). За теоремою Піфагора А В² = ВС² + АС², звідки ВС² = АВ² - АС². Нехай BD = х см. Тодіх² + 2х + 1 = 9 - 5; х² + 2х - 3 = 0; x₁ = -3 — не задовольняє умову задачі, х₂ = 1. Отже, BD = 1 см.

Відповідь. 1)2) 1 см.

550. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AD— висота, AD = 8 см, BD = 6 см. Розглянемо прямокутний трикутникADB. За теоремою Піфагора AB² = AD² + BD²;За аксіомою вимірювання відрізків ВС = BD + DC; DC = ВС - BD; DC = 10 - 6 = = 4 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADC (ADB = 90°). За теоремою Піфагора АС²= AD² + DC²;

Відповідь.

551. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AD— висота, BD = 16 см, DC = 4 см. За аксіомою вимірювання відрізків BC = BD + DC; ВС = 16 + 4 = 20 (см). Тоді АВ = ВС = 20 см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора АВ² = AD² + BD², звідки AD²= АВ² - BD²;Розглянемо прямокутний трикутник ADC (ADC = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АС² = AD² + DC²;

Відповідь.

552. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), B— тупий, (О; R) — описане навколо нього коло, АС = 24 см, ОА = ОВ = ОС = R = 13 см. Оскільки кут В — тупий, то центр кола не належить трикутнику. Центр кола, описаного навколо трикутника, розміщений в точці перетину серединних перпендикулярів, тому точка О належить прямій BD, яка для рівнобедреного трикутника містить його висоту та медіану, звідки Розглянемо прямокутний трикутник ADO (ADO= 90°). За теоремою Піфагора AO² = AD² + DO², DO² = АО²- AD²; За аксіомою вимірювання відрізків ВО = BD + DO; BD = BO - DO; BD = 13 - 5 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB= 90°). За теоремою Піфагора AB²=AD² + DB²;

Відповідь.

553. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), (О; R) — описане навколо нього коло, BD — висота, BD = 8 см, ОА = ОВ = ОС = R = 5 см. Центр кола, описаного навколо трикутника, розміщений в точці перетину серединних перпендикулярів, тому точка О належить BD, який для рівнобедреного трикутника є його висотою та медіаною, звідки За аксіомою вимірювання відрізків BD = BO + OD; OD = BD - BO; OD = 8 - 5 = 3 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADO (ADO = 90°). За теоремою Піфагора AO² =AD² + OD², АD² = AO² — OD²;Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора AB² = AD² + DB²;

Відповідь.

554. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), BD — висота, BD = 8 см. Висота BD, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є його медіаною, звідкиНехай AD = х см, тоді АС = 2х см, АВ = (2х - 2) см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора AB²=AD² + BD²; (2х - 2)² = х² + 8²; 4х² - 8х + 4 = х² + 64; 3х² - 8х - 60 = 0;D = (-8)² - 4 • 3 • (-60) = 64 + 720 = 784.— не задовольняє умову задачі. Отже, AD = 6 см, тоді АС = 2 • 6 = 12 (см), АВ = ВС = 12 - 2 = 10 (см).

Відповідь. 12 см, 10 см, 10 см.

555. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), BD— висота, BD = 15 см, Р_ABC = 90 см. Висота BD, проведена до основи рівнобедреного трикутника, є його медіаною, звідкиНехай AD = х см, тоді АС = 2х см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB - 90°). За теоремою Піфагора AB² = AD² + BD²; Р_авс = AB + ВС + АС = 2АВ + АС. Рівняння: x² + 225 = (45 - х)²; х² + 225 = 45² — 90x + х²; 90x = 1800; х = 20. Отже, АС = 2 • 20 = 40 (см),

Відповідь. 20 см, 25 см, 25 см.

556. Нехай ABC — трикутник, C— тупий, АВ = 29 см, АС = 25 см, ВС = 6 см. Нехай CD = x см. За аксіомою вимірювання відрізків BD = BC + CD; BD = (6 + х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора AB²= AD² + BD², звідки AD²= А В² - BD²; AD²= 29² - (6 + х)². Розглянемо прямокутний трикутник CDB (CDB = 90°). За теоремою Піфагора АС² = CD² + AD², звідки AD² = AC²- CD²; AD² = 25² - х². Рівняння: 29² - (6 + x)² = 25² - х²; 841 - 36 — 12x - х² = 625 -х²; 12х = 180; х = 15. Тоді AD² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400 (см²); AD = 20 см.

Відповідь. 20 см.

557. Нехай ABC — трикутник, АВ = 29 см, АС = 36 см, ВС = 25 см, BD — висота. Нехай DC = x см, тоді AD = (36 - х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = AD² + BD², звідки BD²= АВ² - AD²; BD² = 29² - (36 - х)². Розглянемо прямокутний трикутник CDB (CDB = 90°). За теоремою Піфагора ВС² = DC² + BD², звідки BD² = ВС² - DC², BD² = 25² -x². Рівняння: 29² - (36 - x)² = 25² - x²; 841 - 1296 + 72x - x² = 625 - x²; 72x = 1080; x = 15. Тоді BD² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400 (cм²); BD = 20 (cм).

Відповідь. 20 cм.

558. Нехай AB і АС — похилі, AB : АС = 5 : 6, BD = 7 см, DC = 18 см. Проведемо з точки А перпендикуляр до прямої, який і буде шуканою відстанню. Нехай АВ = 5х см, тоді АС = 6х см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора АВ¹² = AD² + BD², звідки AD² = АВ² - BD²; AD² = 25x² - 7². Розглянемо прямокутний трикут ник CDA (CDA = 90°). За теоремою Піфагора АС² = AD² + DC², звідки AD² =АС² - DC² : AD² = З6х² - 18². Рівняння: 25х² - 7² = З6х² - 18²; 25х² - 49 = 36х² - 324; 11х² = 275; х² = 25; х = 5. Отже, АВ = 5 • 5 = 25 (см), тоді AС = 6 • 5 = 30 (см). AD² = AC² - DC²;

Відповідь. 24 см.

559. Нехай AВ і AС— похилі, AВ = 15 см, АС = 27 см, BD і DC — проекції похилих, BD + DC = ВС = 24 см. Проведемо з точки A перпендикуляр до прямої, який буде відстанню від точки до прямої. Нехай BD = х см, тоді DC = (24 - х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = AD² + BD², звідки AD² = AB² - BD²; AD² = 15² - х². Розглянемо прямокутний трикутник CDA (CDA = 90°). За теоремою Піфагора АС² = AD² + DC², звідки AD² = АС² - DC²; AD² = 27² - (24 - х)². Рівняння: 15² - х² = 27² - (24 - х)²; 225 - х² = 729 - 576 + 48х - х²; 48х = 72; х = 1,5. Отже, BD = 1,5 (см), тоді DC = 24 - 1,5 = 22,5 (см).

Відповідь. 1,5 см; 22,5 см.

560. Нехай ABC — прямокутний трикутник, (O; R)— вписане в нього коло, М, N і K — точки дотику, ВМ = 2 см, AM = 6 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, ВМ = ВK = 2 см, AM = AN = 6 см, CK = CN. Нехай СК = CN = х см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + MB : 46 = 6 + 2 = 8 (см); АС = AN + NC, АС = (6 + х)см; ВС = ВK + KС, ВС = (2 + х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС² ; (6 + х)² = 8² + (2 + х)²; 36 + 12х + х² = 64 + 4 + 4х + х²; 8х = 32; х = 4. Отже, АВ = 8 см; АС = 6 + 4 = 10 (см); ВС = 2 + 4 = 6 (см).

Відповідь. 8 см, 6 см, 10 см.

561. Нехай ABCD — паралелограм, АС і BD — діагоналі, BDAB, АС = 20 см, BD = 16 см. За властивістю діагоналей паралелограма маємо,що діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Тоді Розглянемо прямокутний трикутник АВО (ABO = 90°). За теоремою Піфагора АО²= АВ² + ВО², звідки АВ¹² = АО²- ВО²: Розглянемо прямокутний трикутник ABD (ABD = 90°). За теоремою Піфагора AD² = АВ² + BD²; Тоді маємо: CD = АВ = 6 см,за властивістю протилежних сторін паралелограма.

Відповідь. CD = AB = 6 см,

562. Нехай ABC — прямокутний трикутник (ABC = 90°), BD — бісектриса, AD = 30 см, DC = 40 см. Оскільки BD — бісектриса, то за властивістю бісектриси Нехай АВ = 3х см, тоді ВС = 4х см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = AD + DC; АС = 30 + 40 = 70 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС²= АВ² + ВС²; 70² = 9х² + 16х²; 4900 = 25x²; х² = 196; х = 14. Отже, АВ = 3 • 14 = 42 (см), ВС = 4 • 14 = 56 (см). Р_АВС = АВ + ВС + АС; Р_АВС = 42 + 56 + 70 = 168 (см).

Відповідь. 168 см.

563. Нехай ABC— прямокутний трикутник (ABC =90°), AD— бісектриса, BD = 24 см, DC = 51 см. Оскільки AD — бісектриса, то за властивістю бісектриси Нехай АВ = 8х см, тоді АС = 17х см. За аксіомою вимірювання відрізків BC = BD + DC; ВС = 24 + 51 = 75 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора AС² = AВ² + ВС²; 289х² = 64х² + 75²; 5625 = 225х²; х² = 25; х = 5. Отже, АВ = 8 • 5 = 40 (см), АС = 17 • 5 = 85 (см). Р_АВС = АВ + ВС + АС; Р_АВС = 40 + 75 + 85 = 200 (см).

Відповідь. 200 см.

564. Нехай ABBF, DFBF, АВ = 30 лік., DF = 20 лік., BF = 50 лік. Нехай ВС = х лік., тоді CF= (50 - х) лік. Птахи побачили рибу в точці С. Розглянемо прямокутний трикутник ABC (ABC = 90°). За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; АС² = 30² + х². Розглянемо прямокутний трикутник DFC (DFC = 90°). За теоремою Піфагора DC² = DF² + CF²; DC² = 20² + (50 - х)². Оскільки птахи одночасно схопили рибу, то AC = DC, а отже, й AC² = DC². Рівняння: 30² + х² = 20² + (50 - х)²; 900 + х² = 400 +2500 - 100х + х²; 100х = 2000; х = 20. Тоді CF = 50 - 20 = 30 (лік.).

Відповідь. 30 ліктів.

565. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, AB = CD), ВС = 12 см, AD = 20 см, АС — діагональ і бісектриса BCD. За означення бісектриси BCA = ACD. Далі BCA = CAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній АС. Тоді ACD = CAD, звідки слідує, що трикутник ACD — рівнобедрений з основою АС (CD = AD). Проведемо висоту трапеції CF. За властивістю рівнобічної трапеції Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). CD = AD = 20 см. За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD²; CF² = CD² - FD²; CF² = 20² - 4² = 400 - 16 = 384. Розглянемо прямокутний трикутник AFC (AFC = 90°). За теоремою Піфагора АС²= CF² + AF²,

Відповідь.

566. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, A = 90°), ВС = 12 см, AD = 18 см, BD — діагональ і бісектриса ADC. За означення бісектриси ADB = BDC. Далі ADB = CBD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AD і ВС та січній BD. Тоді BDC = CBD, звідки слідує, що трикутник BCD — рів- нобедрений з основою BD (ВС = CD). Проведемо висоту трапеції CF. Чотирикутник ABCF— прямокутник, тому BC = AF. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AF + FD, звідки FD = AD - AF; FD = 18 - 12 = 6 (см). Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). CD = CB= 12 см. За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD², звідки CF² = CD² - FD²; CF² = 12² - 6² = 144 — 36 = 108. Розглянемо прямокутний трикутник BAD (BAD= 90°). За теоремою Піфагора BD² = АВ² + AD², AB = CF як протилежні сторони прямокутника ABCF, тому

Відповідь.

567. Нехай (O;R)— коло, AB і CD— хорди, AB||CD, AB = 16см, CD = 32см, MN = 16 см. Проведемо радіуси ОА і ОС.Нехай МО =х см, тоді NO = (16 - х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ANO (ANO = 90°). За теоремою Піфагора ОА² = AN² + NO²; ОА² = 8² + (16 - х)². Розглянемо прямокутний трикутник СМО (CMO = 90°). За теоремою Піфагора ОС² = СМ²+ МО², ОС² = 16² + х². Оскільки ОА = ОС як радіуси, то ОА² = ОС². Рівняння: 8² + (16 - х)² = 16² + x²; 64 + 256 - 32х + х² = 256 + х²; 32x = 64; х = 2. МО = 2 см;

Відповідь.

568. Нехай (О; R) — коло, AB і CD — хорди, AB||CD, АВ = 24 см, CD = 48 см, MN = 12 см. Проведемо радіуси ОА і ОС. Нехай МО = х см, тоді NO = (12 + х) см. Розглянемо прямокутний трикутник ANO ( ANО = 90°). За теоремою Піфагора ОА²-AN² + NO²; ОА² = 12² + (12 +х)². Розглянемо прямокутний трикутник СМО (CMO = 90°). За теоремою Піфагора ОС² = СМ² + МО²; ОС² = 24² + х². Оскільки ОА = ОС як радіуси, то ОА² = ОС². Рівняння: 12² + (12 + х)² = 24² + x²; 144 + 144 + 24х + х² = 576 + х²; 24х = 288; х = 12. МО = 12см;

Відповідь.

569. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), (О; R) — вписане в нього коло, R = 12 см, ВО = 20 см. Центр вписаного в трикутник кола розмішений в точці перетину бісектрис його кутів. Проведемо АО — бісектрису кута А. За властивістю бісектриси з прямокутного трикутника ADB маємо: Нехай АВ = 5х см, тоді AD - Зх см. За аксіомою вимірювання відрізків BD = BO + OD; BD = 20 + 12 = 32 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADB (ADB = 90°). За теоремою Піфагора А В² = AD²+ BD²; 25х² = 9х² + 32²; 16х² = 1024; х²= 64; х = 8. АВ = 5 • 8 = 40 (см), тоді AD = 3 • 8 = 24 (см), ВС = АВ = 40 см. Оскільки BD— бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена у куті при вершині, то вона є й медіаною. Томузвідки AC = 2AD; АС = 2 • 24 = 48 (см). Р_АВС = АВ + ВС + АС; P_ABC = 40 + 48 + 40 = = 128 (см).

Відповідь. 128 см.

570. Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, ABAD), (О; R) — вписане в неї коло, АK = 20 cm, KD = 25 см. Нехай M, N, P i K — точки дотику кола до трапеції, годі ОМ = ON = OP = OK— радіуси вписаного кола. Оскільки радіуси проведені в точки дотику, то ОМАВ, ONBC, OPCD, OKAD. Чотирикутники AMOK і MBNO — квадрати. Нехай CN = х см. АМ = АK = 20 см, ВМ = BN = 20 см, CN = СР = х см, DK = DP = 25 см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + MB; АВ = 20 + 20 = 40 (см), BC = BN + NC; ВС = (20 + х) см; CD = CP + PD; CD = (25 + х) см; AD = AK + KD; AD = 20 + 25 = 45 (см). Проведемо з вершини С висоту CF. Оскільки чотирикутник ABCF— прямокутник, то CF = AB = 40 см, ВС = AF = (20 + х) см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AF + FD; FD = AD - AF; FD = 45 - (20 + х) = (25 - х) см. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD²; (25 + x)²= 40² + (25 - х)²; 625 + 50х + х² = 1600 + 625 - 50х + х²; 100х = 1600; х = 16. Отже, AС = 20 + 16 = 36 (см); CD = 25 + 16 = 41 (см). Тоді P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD; P_ABCD = 40 + 36 + 41 + 45 = 162 (см).

Відповідь. 162 см.

571. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, ABAD), (О; R)— вписане в неї коло, BN = 6 см, NC = 3 см. Нехай М, N, Р і K— точки дотику кола до трапеції, тоді ОМ = ON = OP = OK — радіуси вписаного кола. Оскільки радіуси проведені в точки дотику, то ОМАВ, ONBC, OPCD, OKAD. Чотирикутники AMOK і MBNO — квадрати. Нехай DK = х см. AM = АK = 6 см, ВМ = BN = 6 см, СN = СР = 3 см, DK = DP = х см як відрізки дотичних, проведених з точки до кола. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + МВ; АВ = 6 + 6 = 12 (см), ВС = BN + NC; ВС = 6 + 3 = 9 (см); CD = CP + PD; CD = (3 + х) см; AD = АK + KD; AD = (6 + х) (см). Проведемо з вершини С висоту CF. Оскільки чотирикутник ABCF— прямокутник, то CF = AB = 12 см, BC = AF = 9 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = AK + KD; FD = AD - AF; FD = (6 + х) - 9 = (х - 3) см. Розглянемо прямокутний трикутник CFD (CFD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = CF² + FD²; (3 + х)² = 12² + (х - 3)²; 9 + 6х + х² = 144 + х² - 6х + 9; 12х = 144; х = 12. Отже, CD = 3 + 12 = 15 (см); AD = 6 + 12 = 18 (см). Тоді Pabcd = AВ + ВС + CD + AD; Pabcd = 12 + 9 + 15 + 18 = 54 (см).

Відповідь. 54 см.

572. Нехай ABC— прямокутний трикутник (ABC = 90°), ВС = 18 см, АВ = 24 см, AD — бісектриса. За теоремою Піфагора АС² = А В² + ВС²; За властивістю бісектриси трикутникаНехай BD = 4х см, тоді DC = 5х см. За аксіомою вимірювання відрізків BC = BD + DC; 18 = 4х + 5х; 9х = 18; х = 2. Отже, BD = 4 • 2 = 8 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABD (ABD = 90°). За теоремою Піфагора AD² = AB² + BD²;

Відповідь.

573. Нехай ABC — трикутник, AM і СK — медіани, AMCK, АМ = 9 см, СK = 12 см. За властивістю медіан трикутника маємо: Розглянемо прямокутний трикутник АОС (AOC = 90°). За теоремою Піфагора АС² = АО²+ СО²;Розглянемо прямокутний трикутник СОМ (СОМ = 90°). За теоремою Піфагора СМ² = СО²+ ОМ²; ТодіРозглянемо прямокутний трикутник АОK (AOK = 90°). За теоремою Піфагора АK² = АO² + ОK²;Тоді

Відповідь. 10 см,

574. Нехай ABC — трикутник, ВМ і СK — медіани, BMCK, ВМ = 36 см, СK = 15 см. За властивістю медіан трикутника маємо: Розглянемо прямокутний трикутник ВОС (ВОС = 90°). За теоремою Піфагора ВС²= ВО²+ СО²;Усі медіани трикутника перетинаються в одній точці. Проведемо медіану AN до сторони ВС. Оскільки ON є медіаною, проведеною до гіпотенузи ВС, тому АО = 2ON; АО = 2 • 13 = 26 (см).

Відповідь. 26 см.

575. Нехай АВ — висота квітки, АВ = 0,5 фута, BD — відстань, на яку перемістилася квітка після пориву вітру, BD = 2 фути, ВС — глибина озера. За умовою, АС = DC. Нехай глибина озера дорівнює ВС = х футів. За аксіомою вимірювання відрізків АС = АВ + ВС; АС = (0,5 + х) футів. Розглянемо прямокутний трикутник CBD (CBD = 90°). За теоремою Піфагора CD² = ВС² + BD²; (0,5 + х)² = х² + 2²; 0,25 + х + х² = х² + 4; х = 3,75. Отже, ВС = 3,75 фута.

Відповідь. 3,75 фута.

576. Нехай ABC — трикутник, C = 90°, АВ = 13 см, ВС = 5 см, АС = 12 см. Тоді: 1)2)3)4)

577. Оскільки ВЕАМ, CFAM, DMAM, то BE||CF||DM. За теоремою Фалеса маємо, що АЕ = EF = 4 см, FM = 8 см. Тоді: 1)2) за аксіомою вимірювання відрізків AF = AE + EF; AF = 4 + 4 = 8(см); АС = АВ + ВС; АС = 5 + 5 = 10(см). Тоді3) за аксіомою вимірювання відрізків AM = AF + FM; AF = 8 + 8 = 16 (см); AD = АС + CD; AD = 10 + 10 = 20 (см). Тоді

578. Квадрат зі стороною 1 м можна накрити 25 квадратами зі стороною 20 см. Тоді принаймні під одним квадратом розміру 20 см х 20 см міститиметься 3 точки, бо 51 = 25 • 2 + 1.