Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників
12. Подібні трикутники

423. ABC ~ DEF, тоді

424. Щоб трикутники ABC і MNK були подібними, їхні відповідні кути мають бути рівними, а сторони — пропорційними. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: А + В + С = 180°; С = 180° - (А + В); АС = 180° - (40 + 82°) = 58°; M + N + K = 180°; N = 180° - (M + K); N = 180° - (40° + 58°) = 82°. Отже, А = M = 40°; В = N = 82°; С = K = 58°. . Отже, ABС ~МNK.

425. Нехай DEF ~ МСР, МС = 12 см, МР = 8 см, EF = 4,5 см. Тоді одержимо: ДаліDE = 0,3МС; DE = 0,3 • 12 = 3,6 (см); DF = 0,3МР; DF = 0,3 • 8 = 2,4 (см);

Відповідь. 3,6 см; 15 см; 2,4 см.

426. Нехай АВС ~ А₁В₁С₁, А = А₁, В = АВ₁, АВ = 6 см. ВС = 7 см. АС = 10 см, A₁B₁ = 9см. ТодіТому

Відповідь. 10,5 см; 15 см.

427. Нехай AВС ~ А₁В₁С₁, А = 25°, В = 70°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: А + В + С = 180°; АС = 180° - (А + В); С = 180° - (25 + 70°) = 85°. Тоді А ₁ = А = 25°, В ₁ = В = 70°; С ₁ = С = 85°.

Відповідь. 25°, 70°, 85°.

428. Нехай MKT ~ DEF, МK = 18 см. KТ= 16 см. МТ = 28 см. МK : DE = 4 : 5. Тоді Маємо:

Відповідь. 22,5 см, 20 см, 35 см.

429. ABE ~ CDE. 1)2)3)

430. Нехай АВС— заданий трикутник, D∈AB, Е∈ВС, DE||AC. АВС ~ DBE. Тоді 1)2)За аксіомою вимірювання відрізків AB = AD + DB; AD = AB — DB; AD = 28 - 12= 16 (см).

Відповідь. 1) 12 см; 2) 16 см.

431. Нехай ABC — заданий трикутник, M ∈AB, K ∈АС, МK||ВС, АВ = 6 см, AM = 4 см, МK = 8 см, АK = 9 см. АВС ~ АМK. Тоді

Відповідь. 12 см; 13,5 см.

432. Нехай AF = 1,5 м, АС = 39 м, NE = 3 м, МА = 1,8 м. EN AC, ВK АС, тому ЕF||ВС, звідки AFE ~ АСВ. МА = NF = KС. ТодіЗа аксіомою вимірювання відрізків NE = NF + FE; FE = NE - NF; FE = 3 - 1,8 = 1,2 (м). Тоді BK = BC + CK; BK = 31,2 + 1,8 = 33 (m).

Відповідь. 33 м.

433. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), AB CD-E, DE = 40 cm, BC : AD = A : 5. AED ~ BEC.Нехай BC = 4x cм, AD = 5x cм. Тоді

Відповідь. 32 см.

434. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), AB CD = M, AD = 42 см, AB = 9 см, BM = 54 см. AMD ~ ВМС.За аксіомою вимірювання відрізків AM = AB + BM; AM = 9 + 54 = 63 (см). Тоді

Відповідь. 36 см.

435. Нехай дано рівносторонні трикутники ABC і А₁В₁С₁. Тоді АВ = ВС = АС; А ₁В₁ = В₁С₁ =A ₁С₁; A = B = C = 60°; A₁ = B₁ = C₁ = 60°, звідки одержимо: тому АВС ~ А₁B₁C₁ за означенням.

436. Нехай ABCD — квадрат, М i K— середини сторін CD і AD. У трикутнику KDM D = 90°, DKM = DMK = 45°, бо це кути при основі прямокутного рівнобедреного трикутника (KD = MD). У трикутнику BCD C = 90°, CBD = CDB = 45° як кути утворені діагоналлю. ТодіОтже, в даних трикутниках відповідні кути рівні, а сторони пропорційні, тому MDK ~ BCD.

437.

1) Оскільки трикутники подібні, то сторони в обох трикутниках відносяться як 5 : 4 : 7. Нехай сторони подібного трикутника дорівнюють 5х см, 4x см і 7х см, а його периметр — 64 см. Рівняння: 5x + 4х + 7х - 64; 16х = 64; х = 4. Отже, сторони подібного трикутника дорівнюють 5 • 4 = 20 (см), 4 • 4 = 16 (см), 7 • 4 = 28 (см);

2) найменшою є сторона завдовжки 4х см, тому 4x = 24; х = 6. Отже, сторони подібного трикутника дорівнюють 5 • 6 = 30 (см), 7 • 6 = 42 (см).

Відповідь. 1) 20 см, 16 см, 28 см; 2) 30 см, 24 см, 42 см.

438. Нехай АВС ~ А₁В₁С₁, АВ = 15 см, ВС = 25 см, AС = 35 см.

1) Р_АВС = АВ + ВС + АС; P_ABC = 15 + 25 + 35 = 75 (см). Оскільки АВС ~ А₁В₁С₁ то ТодіТому

2) нехай А₁С₁ - А₁В₁ = 16 см. Знайдемо різницю між найбільшою і найменшою сторонами трикутника ABC: АС - АВ = 35 - 15 = 20 (см).Тоді Тому

Відповідь. 1) 9 см, 15 см, 21 см; 2) 12 см, 20 см, 28 см.

439. Нехай АВС— трикутник, BDEK— вписаний у нього ромб, АВ = 10 см, ВС = 15 см. Якщо BDEK— ромб, то KE||BD. Тоді АKЕ ~ АВС, звідки слідує, щоНехай KB = BD = DE = KЕ = x см. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків АB = АK + KВ; АK = АВ - KВ; АK = (10 - х) см. 10x = 15(10 - x); 2х = 30 — 3x; 5х = 30; х = 6. Отже, KB = BD = DE = KЕ =6 см.

Відповідь. 6 см.

440. Нехай ABC — трикутник, BMKN— вписаний у нього квадрат, ВМ = 6 см, АВ = 10 см. Якщо BMKN— квадрат, то KN||АВ. Тоді KNC ~ АВС, звідки слідує, щоНехай NC = х см. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків ВС = BN + NC; ВС = (6 + x) см. 10х = 6(х + 6); 5х = 3х + 18; 2х = 18; х = 9. Отже, NC = 6 см.

Відповідь. 9 см.

441. Нехай M I N — точки дотику спільної дотичної до кіл (О₁; R₁) і (O₂; R₂), R₁ = 8 см, R₂ = 12 см. За властивістю радіусів, проведених у точку дотику, O₁M MN, O₂N MN, тому O₁M||O₂N. Тоді ВМО₁ ~ BNO₂,За аксіомою про вимірювання відрізків ВO₂ = ВО₁ + O₁А + АO₂; ВO₂ = ВО₁ + 8 + 12 = BO₁ + 20 (см). Нехай ВО₁= х см, тоді ВO₂ = (х + 20) см. 12х = 8(х + 20); 12х = 8х + 160; 4х = 160; x = 40. Отже, ВО₁ = 40 см, тоді ВO₂ = 40 + 20 = 60 (см).

Відповідь. 40 см, 60 см.

442. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), Р_ABC = 48 см, BD AC, О — середина BD, МN||ВС. Висота BD рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його бісектрисою і медіаною, тому AD = DC. Оскільки МN||ВС, то ODN ~ ABDC. ТодіТак як BD = 2OD, то Нехай DN = x см, тоді DC = AD = 2х см. За аксіомою вимірювання відрізків AN = AD + DN; AN = 2x + x - 3x (см); АС = AD + DC; АС = 2х +2х = 4х (см). Оскільки МN||ВС, то AMN ~ АВС. Тоді ^:

Відповідь. 36 см.

443. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АС = 12 см, АВ = ВС = 18 см. Центр вписаного в трикутник кола міститься у точці перетину бісектрис трикутника, тому BD — бісектриса, проведена до основи. Тоді відрізок BD є висотою і медіаною трикутника АВС, звідки AD = DC = 12 : 2 = 6 ( см). ВМ = BN як відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки. Тому трикутник MBN— рівнобедрений. ВK — бісектриса, проведена до його основи. Тоді відрізок ВКK є висотою і медіаною трикутника MBN. Із того, що BK MN, BD AC слідує, що МN||АС. Тоді MBN ААВС, звідкиAD = AM = 6 cм як відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AM + МВ; МВ = AB - AM; MB = 18 — 6 = 12 (см).

Відповідь, 8 см.

444. Нехай ABC — трикутник, BD — бісектриса, АВ = 8 см, ВС = 12 см, ABC = 120°. Оскільки BD — бісектриса, то ABD = DBC = 60°. Через вершину А проведемо пряму AM||DB. MBA+ ABC = 180° як суміжні, звідки MBA = 180⁰ - ABC; MBA = 180° - 120° = 60°. AMB = DBC = 60° як відповідні кути при паралельних прямих AM і DB і січній МС. За теоремою про суму кутів трикутника AMB + MBA + MAB = 180°; MAB = 180° - (AMB + MBA); MAB = 180° - (60° + 60°) = 60°. Отже, трикутник МАВ — рівносторонній, тому МА = АВ = MB = 8 см. За аксіомою про вимірювання відрізків МС = МВ + ВС; МС = 8 + 12 = 20(см). Так як AM||DB, то МAС ~ BDC, звідки

Відповідь. 4,8 см.

445. Нехай ABCD— паралелограм, ВС = 2АВ, ВK і AM — бісектриси, МK = 18 см. Оскільки ВK і AM— бісектриси, то BAM = MAD і ABK = KBC. BAM = AMD як внутрішні рівносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС (як сторони паралелограма) та січній AM. Тоді трикутник ADM— рівнобедрений (AD = MD) з основою AM за рівністю кутів при основі. Нехай АВ = х см, тоді ВС = 2х см, звідки AD = MD = 2х см. За аксіомою вимірювання відрізків DM = DC + CM; CM = DM - DC; CM = 2x - x = x(cм). ABK = BKС як внутрішні рівносторонні кути при паралельних прямих CD і АВ (як сторони паралелограма) та січній ВK. Тоді трикутник ВKС— рівнобедрений (СK = ВС) з основою ВK за рівністю кутів при основі. ВС = СK = 2х см. За аксіомою вимірювання відрізків СK = CD + DK; DK = CK -CD; DK = 2x — x = x (см). МK = МС + CD + DK; MK = х + х + х = 3х (см). Рівняння: 3x - 18; х = 6. Отже, АВ = CD = 6 см, AD = ВС = 2 • 6 = 12 (см).

Відповідь. АВ = CD = 6 см, AD = ВС = 12 см.

446. Нехай ABCD — прямокутник, АС і BD — діагоналі, AOD на 60° більший за AOB. АС = 24 см. Нехай AOB = х, тоді AOD = x + 60°. AOB + AOD = 180° як суміжну кути; х + x + 60° = 180°; 2х = 120°; х = 60°. Отже, AOB = 60°, AOD = 60° + 60° = 120°. Тоді AOB = COD = 60°, AOD = BOC = 120° як вертикальні. За властивістю діагоналей прямокутника Оскільки трикутник COD— рівнобедрений з COD = 60° при вершині, то він рівносторонній. Тому P_COD = 3CO; P_COd = 3 • 12 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

447. Нехай (О; ВО) — коло, АС — дотична, AD : BD = 1 : 2.

1) Нехай OB = ОС = OD = x cm. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків BD = ВО + OD; BD = x + x = 2x (cм). ОскількиtoРадіус, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, тому ОС АС. Розглянемо прямокутний трикутник ACO (ACO = 90°). Так як ОС = х см, АО = AD + DO; АО = х + х = 2х (см), то у ньому катет дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить проти кута 30°, CAO = 30°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника CAO + COA = 90°; COA = 90° - CAO; COA = 90° - 30° = 60°. Тоді за властивістю вписаного і центрального кутів, які спираються на ту саму дугу. Розглянемо трикутника ABC. За теоремою про суму кутів трикутника CBA+ CAB + ACB = 180°; ACB = 180°- (CBA + CAB); ACB = 180° - (30° + 30°)= 120°;

2) у трикутнику BCD CBD = 30° (див. 1)), BCD = 90° як вписаний кут, що спирається на діаметр. Тому за теоремою про суму кутів трикутника CBD + BCD + CDB = 180°; CDB =180°- (CBD + BCD); CDB = 180° - (30° + 90°) = 60°.

Відповідь. 1) 30°, 30°, 120°; 2) 30°, 60°, 90°.

448. Виберемо деяку точку і позначимо її А. Якщо всі інші точки містяться всередині кола K₁ радіуса 1 з центром у точці А, то задача розв’язана. Нехай В — одна з точок, що лежать поза колом K₁. Розглянемо коло K₂ радіуса l з центром у точці В. Нехай С — довільна із решти заданих точок. Тоді серед точок А, В і С існують дві, відстань між якими менше 1. Більше того, цими точками не можуть бути точки А та В. Таким чином, кола K₁ і K₂ містять усі задані точки, звідки випливає, що одне з цих кіл містить не менше 13 точок.