Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників
11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

368. Будую відрізок АВ. Проводжу довільний промінь АС, який не збігається з АВ. За допомогою циркуля відкладаю від точки А на промені АС п’ять рівних відрізків: АС₁, С₁С₂, С₂С₃, С₃С₄, С₄С₅. Сполучаю точки С₅ і В. Через точки С₁, С₂, С₃ і С₄ проводжу прямі, паралельні C₅B: С₁В₁||С₂В₂||С₃В₃||С₄В₄||С₅B. Тоді АВ₁ = В₁В₂= В₂В₃ = B₃B₄ = В₄В.

369. Будую відрізок АВ. Проводжу довільний промінь АС, який не збігається з АВ. За допомогою циркуля відкладаю від точки А на промені АС сім рівних відрізків: АС₁, С₁С₂, С₂С₃, С₃С₄, С₄С₅, С₅С₆, С₆С₇. Сполучаю точки С₇ і В. Через точки С₁ С₂, С₃, С₄, С₅ і С₆ проводжу прямі, паралельні С₇В: С₁B₁||С₂B₂||С₃B₃||С₄B₄||С₅B₅||С₆В₆||С₇В. Тоді АВ₁ = В₁В₂ — В₂В₃ = В₂В₃ = B₄В₅=В₅В₆ = В₆В.

370. Будую відрізок AВ. Проводжу довільний промінь АХ, який не збігається з АВ. За допомогою циркуля відкладаю від точки А на промені АХ дев’ять рівних відрізків, кінець другого позначаю точкою D, кінець дев’ятого — точкою Е. Сполучаю точки F і В. Через точку D проводжу пряму, паралельну FB: DC||FB. За теоремою Фалеса про пропорційні відрізки маємо: якщо AD : DF = 2 : 7, то АС : СВ = 2 : 7.

371. Будую відрізок CD. Проводжу довільний промінь СХ, який не збігається з CD. За допомогою циркуля відкладаю від точки С на промені СХ шість рівних відрізків, кінець другого позначаю точкою А, кінець шостого — точкою В. Сполучаю точки В і D. Через точку А проводжу пряму, паралельну BD: AE||BD. За теоремою Фалеса про пропорційні відрізки маємо: якщо СА : АВ : 5, то СЕ : ED = 1 : 5.

372. 3а теоремою Фалеса ОВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃ = В₂В₄. Тоді В₁В₂ = 3см, OB₃ = 3ОВ₁; ОВ₃ = 3 • 3 = 9 (см); В₁В₄ = 3OB₁; B₁B₄ = 3 • 3 = 9 (см).

Відповідь. 3 см, 9 см, 9 см.

373. Оскільки CFTD, BEFD, ADFD, то CF||BE||AD. Якщо AB = ВС, то за теоремою Фалеса ED = ЕЕ = 5 см.

Відповідь. 5 см.

374. АВ : CD = 12 см : 18 см = 2 : 3. Відношення не зміниться, якщо взяти будь-які інші одиниці вимірювання, але однакові для двох відрізків.

Відповідь. 2 : 3; не зміниться.

375.

1) Оскільки останній запис є тотожністю, то відрізки AB і CD пропорційні відповідно відрізкам EF і МK;

2)Оскільки останній запис не є тотожністю, то відрізки AB і CDне пропорційні відповідно відрізкам EF і МK.

376. Отже, відрізки AB і EF пропорційні відповідно відрізкам PS і МK.

377. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

Відповідь. 3 см.

378. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

Відповідь. 10 см.

379. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:Нехай AD = х см, тоді BD = 2х см. ТодіЗа аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВЕ + ЕС; ВС = 10 + 5 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

380. Нехай ABC — трикутник, МK||ВС, AM = 9 см, ВМ = 6 см, KC = 8 см. За теоремою про пропорційні відрізки маємо:

Відповідь. 12 см.

381. Нехай ABC— трикутник, MN— середня лінія. Оскільки MN — середня лінія, то МN||АС, AM = MB. Тоді за теоремою Фалеса BE = ED.

382. Нехай ABCD— прямокутник, АС і BD— діагоналі, ACSD = О, ОЕВС, ОЕ = 7 см. OE||CD. За властивістю діагоналей прямокутника ВО = OD. Тому за теоремою Фалеса BE = ЕС, звідки маємо, що ОЕ — середня лінія трикутника BCD. ТодіCD = 2OЕ; СD = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

383. Нехай ABC — трикутник, ВРАС, BP = 12 см. Оскільки BP— висота рівностороннього трикутника, то вона є медіаною і бісектрисою. Аналогічно відрізки AN і CM теж є висотами, медіанами і бісектрисами, які перетинаються в точці О, тому AN = BP = CM = 12 см. За властивістю медіан трикутника вони перетинаються в одній точці і поділяються точкою перетину у співвідношенні 2 : 1. Тому

Відповідь. 4 см.

384. Нехай ABC — трикутник, CD — медіана, CD = 9 см. За властивістю медіан трикутника вони перетинаються в одній точці і поділяються точкою перетину у співвідношенні 2 : 1. ТомуТоді CO = 2OD; СО = 2 • 3 = 6 (см).

Відповідь. 6 см, 3 см.

385. Нехай ABC — трикутник, BD — бісектриса, AB = 40 см, AD = 30 см, CD = 12 см. За властивістю бісектриси трикутника маємо:

Відповідь. 16 см.

386. Нехай ABC — трикутник, AM — бісектриса, АВ = 48 см, АС = 32 см, ВМ = 18 см. За властивістю бісектриси трикутника маємо: За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; ВС = 18 + 12 = 30 (см).

Відповідь. 30 см.

387. Нехай відрізок АВ не перетинає пряму а, М — середина АВ. Відстань від точки до прямої дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. Тому ACa, MNa, BDa, АС = 8 см, BD = 14 см. Тоді чотирикутник ABDC — трапеція (AC||BD). Якщо AM = MB, то за теоремою Фалеса CN = ND, тому MN— середня лінія трапеції ABDC. За означенням середньої лінії

Відповідь. 11 см.

388. Нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, ВС — хорда, D — середина ВС, FD = 3 см, BD = DC, BAC = 30°. Проведемо перпендикуляр з вершини В, тоді KB||FD. За теоремою Фалеса маємо, що якщо BD = DC, то KF = FC. Тоді FD — середня лінія трикутника В КС. За властивістю середньої лінії трикутника KB = 2FD; KВ = 2 • 3 = 6 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АKВ. За властивістю катета, який лежить кута 30°, маємо:АВ = 2KB; АВ = 2 • 6 = 12 (см). Відповідь. 12 см.

389. Нехай ABCD— ромб, ВМ— висота, AM =8 см, A =45°. Проведемо ON1AD. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ (AMB = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAM + ABM = 90°; ABM =90° - BAM; ABM = 90° - 45° = 45°. Отже, трикутник АМВ— прямокутний рівнобедрений, тому АМ-ВМ- 8 см. Оскільки BM1AD і ON LAD, то BM||ON. ВО = OD, оскільки О — точка перетину діагоналей ромба; BD = 2OD. Тоді за теоремою про пропорційні відрізки маємо:

Відповідь. 4 см.

390. Нехай ABC— трикутник, АВ = ВС, АС = 8 см, AD— медіана, BE— висота, ВЕ = 12 см. Оскільки АВ = ВС, то трикутник ABC — рівнобедрений з основою АС. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є його медіаною, тому АЕ = ЕС =8:2 = 4 (см). Так як ВЕАС і DFAC, то BE||DF. Оскільки AD — медіана, то BD = DC, тому за теоремою Фалеса DF — середня лінія трикутника ВЕС, томуЗа аксіомою вимірювання відрізків AF = AE + EF; AF = 4 + 2 = 6 (см). Отже, трикутник ADF— рівнобедрений (AF = FD), тоді ADF = DAF = 45°.

Відповідь. 6 см, 45°.

391. Нехай ABC— трикутник, AС = 24см. Оскільки АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃В i AС||A₁С₁||A₂С₂||A₃С₃, то за теоремою Фалеса СС₁ = С₁С₂ = С₂С₃ = С₃В. За аксіомою вимірювання відрізків АА₂= АА₁ + А₁А₂, А₂В = А₂А₃ + А₃В, тому АА₂ = А₂В і А₂— середина АВ. Аналогічно С₂— середина ВС. Тому А₂С₂— середня лінія трикутника ABC.Аналогічно можна показати, що А₃С₃— середня лінія трикутника А₂ВС₂. Тому Аналогічно маємо, що А₁С₁ — середня лінія трапеції АА₂С₂С(АС||А₂С₂). Тому

Відповідь. 18 см, 12 см, 6 см.

392. Нехай ABCD — трапеція, AD = 28 см, ВС = 16 см. Оскільки AA₁ = А₁А₂ = А₂В і AD||A₁D₁||A₂D₂||BC, то за теоремою Фалеса DD₁= D₁D₂ = D₂C. Оскільки A₁A₂ = A₂B, to A₂— середина A₁В. Аналогічно D₂— середина D₁C. Крім того, A₁D₁||BC, тому A₂D₂— середня лінія трапеції A₁BCD₁ Тому A₁D₁ + ВС = 2A₂D₂. Аналогічно можна одержати, що A₁D₁ — середня лінія трапеції AA₂D₂D, звідкиA₂D₂ + AD = 2A₁D₁. Нехай A₁D₁ = х см, A₂D₂ = у см. Маємо систему рівнянь: Отже, A₁D₁ = 24 см, A₂D₂ = 20 см.

Відповідь. 24 см, 20 см.

393. Нехай DEF—трикутник, DF= 15 см. Оскільки DD₁ = D₁D₂ = D₂E і DF||D₁F||D₂F₂, то за теоремою Фалеса FF₁ = F₁F₂ = F₂E. Оскільки D₁D₂ = D₂E, то D₂ — середина D₁E. Аналогічно F₂ — середина F₁E. Крім того, D₂F₂||D₁F₁, тому D₂F₂ — середня одержати, що D₁F₁— середня лінія трапеції DD₂F₂F, звідки D₂F₂ + DF = 2D₁F₁. Тоді D₂F₂ + DF = AD₂F₂; 3D₂F₂ = DF; 3D₂F₂ = 15; D₂F₂- = 5 (см), звідки D₁F₁ = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь. 10 см, 5 см.

394. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), AC i BD— діагоналі, MN— середня лінія. Оскільки MN— середня лінія трапеції, то MN||BC||AD; АМ = MB, CN = ND. Тоді за теоремою Фалеса АР = PC і ВK = KD, тобто середня лінія ділить діагоналі трапеції навпіл.

395. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АС— діагональ, MN — середня лінія, ME = 4 см, ЕK =6 см. Оскільки MN— середня лінія трапеції, то АМ = МВ, CK = KD, MN||BC||AD. За теоремою Фалеса АЕ = ЕС. Тоді ME— середня лінія трикутника ABC, а ЕK — середня лінія трикутника ACD. Тому звідки ВС = 2ME; AD = 2ЕK; ВС = 2 • 4 = 8 (см); AD = 2 • 6 = 12 (см).

Відповідь. 8 см, 12 см.

396. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АС і BD— діагоналі, MN— середня лінія. Оскільки MN — середня лінія трапеції, то AM = MB, СК = KD, MN||BC||AD. За теоремою Фалеса АЕ = ЕС. Тоді ME — середня лінія трикутника ABC, a FN— середня лінія трикутника BCD. Томузвідки ME = FN.

397. Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АС i BD— діагоналі, MN— середня лінія, ВС = 12 см, AD = 22 см. Оскільки MN— середня лінія трапеції, то AM = MB, CN = ND, MN||BC||AD. За теоремою Фалеса АЕ = ЕС. Тоді ME— середня лінія трикутника ABC, a FN — середня лінія трикутника DBC. Томузвідки За властивістю додавання відрізків MN = ME + EF + FN; EF = MN - (ME + FN); EF = 17 - (6 + 6) = 5 (см).

Відповідь. 6 см, 5 см, 6 см.

398. Нехай AE||BF||CM||DK, AB = 25 см, ВС = 20 см, CD = 35 см, ЕK = 48 см. Тоді за теоремою про пропорційні відрізки маємо: якщо AB : ВС: CD = 20 : 25 : 35 = 4 : 5 : 7, то EF : FM : MK = 4 : 5 : 7. Нехай EF = 4х см, тоді FM = 5х см, МK = 7х см. Рівняння: 4х + 5x + 7x = 48; 16х = 48; х = 3. Отже, EF = 4 • 3 = 12 (см), FM = 5 • 3 = 15 (см), МК = 7 • 3 = 21 (см).

Відповідь. 12 см, 15 см, 21 см.

399. Нехай ABC — трикутник, De АС, DE||AB, ВС = 36 см, AD : DC = 5 : 7. За теоремою про пропорційні відрізкиЗа аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВЕ + ЕС. Тоді

Відповідь. 15 см.

400. Нехай ABCD — паралелограм, М і K — середини сторін AB і AD. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому BO = OD. Розглянемо трикутник ABD. У ньому АО, ВK і DM— медіани. За властивістю медіан трикутника маємо, що медіани перетинаються в одній точці, тому F∈AC.

401. Нехай ABC— трикутник, AN і СМ— медіани, AN = CM. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, якою поділяються у відношенні 2 : 1. Тому Якщо AN = CM, то АО = СО, тому трикутник АОС — рівнобедрений, звідки OAC = OCA. Розглянемо трикутники ANC і СМА. У них: 1) AС — спільна сторона; 2) AN = CM за умовою; 3) NAC = MCA за доведеним вище. Отже, ANC = СМА за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому MAC = NCA як відповідні елементи рівних трикутників, звідки слідує, що трикутник ABC — рівнобедрений.

402. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AM — медіана, AM = 45 см, ВН— висота, CAM= 30°. Оскільки трикутник ABC— рівнобедрений, то висота ВН с також його медіаною. Медіани трикутника перетинаються в одній точ- і ці і поділяються нею у відношенні 2 : 1. Нехай АО = 2х см, тоді ОМ = х см. За аксіомою вимірювання відрізків AM = АО + ОМ. Рівняння: 2х + х = 45; 3x = 45; x = 15. Отже, ОМ = 15 см, АО = 2 • 15 = 30 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АНО (АНО = 90°). За властивістю катета прямокутного трикутника, якийлежить проти куга 30°,ВН = ВО + ОН; ВН = 3OН; ВН = 3 • 15 = 45 (см).

Відповідь. 45 см.

403. Дано: АВ = а — сторона трикутника АВС, О— точка перетину медіан, ОАВ. Побудувати: трикутник ABC.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. Проводжу промені АО і ВО. Будую серединні перпендикуляри відрізків АО і ВО, які поділять їх на рівні частини: AR = RO і ВР = РО. За точку на промені АО відкладаю відрізок OY = AR. Аналогічно відкладаю на промені БО відрізок ОХ = ВР. Проводжу промені АХ і BY, які в перетині дають точку С. Отже, побудований трикутник ABC — шуканий, бо в ньому АВ = а, О — точка перетину медіан за побудовою.

404. Нехай ABC — трикутник, BD — бісектриса, АВ = 28 см, ВС = 20 см, АС = 36 см. За властивістю бісектриси трикутникаЗа аксіомою вимірювання відрізківAC = AD + DC; DC = АС - AD. Нехай AD = x см, тоді DC = (36 - х) см. 28(36 - х) = 20х; 7(36 - х) = 5x; 252 — 7x = 5х; 12x = 252; х = 21. Отже, AD = 21 см, тоді DC = 36 - 21 = 15 (см).

Відповідь. 21 см, 15 см.

405. Нехай ABC — трикутник, CDEF— ромб, АЕ = 30 см, BE = 12 см, Р_ABC = 105 см. Діагональ ромба є бісектрисою його кута, тому СЕ — бісектриса кута DCF, а значить, і кута АСВ. За властивістю бісектриси трикутника маємо: Нехай ВС = 2х см, тоді АС = 5x см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АЕ + ВЕ, АВ = 30 + 12 =42 (см). Р_ABC = АВ + ВС + АС. Рівняння: 42 + 2х + 5x = 105; 7x = 63; х =9. Отже, ВС = 2 • 9 = 18 (см), тоді АС = 5 • 9 = 45 (см).

Відповідь. 45 см, 18 см.

406. Нехай ABC — трикутник, АВ = 65 см, ВС = 39 см, АС = 80 см, О∈АС. Розглянемо прямокутні трикутники ОМВ і ON В (OMB = ONВ = 90°). У них: 1) ОВ — спільна сторона; 2) ОМ = ON як радіуси. Отже, ОМВ = ONB за катетом і гіпотенузою. Тому МВО = NBO як відповідні елементи рівних трикутників, тому ВО — бісектриса. За властивістю бісектриси маємо:Нехай АО = х см, тоді ОС = (80 - x) см. 65(80 - х) = 39x; 5(80 - х) = 3х; 400 - 5х = 3х; 8х = 400; х = 50. Отже, АО = 50 см, тоді ОС = 80 - 50 = 30 (см).

Відповідь. 50 см, 30 см.

407. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AD = DC, М∈АВ, AM : MB = 2 : 7. Оскільки D — середина АС, то BD — медіана. Так як вона проведена до основи рівнобедреного трикутника, то є його бісектрисою та висотою. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = АВ = АМ + МВ. Нехай АМ= 2х см, тоді MB = 7х см, АВ = ВС = 2х + 7х = 9х (см). За властивістю бісектриси трикутника

Відповідь. 7: 9.

408. Нехай DEF — рівнобедрений трикутник (DE = EF), ECDF, A∈EF, AO : OD = 3 : 8. Висота BD рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його бісектрисою та медіаною. За аксіомою вимірювання відрізків DE = EF = EA + AF; AF = EF - EA. Нехай АО = 3х см, тоді DO = 8х см, AF = 8x - 3х = 5x (см). За властивістю бісектриси трикутника

Відповідь. 3 : 5.

409. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), BDAC, BD = 42 см, АС : АВ = 6 : 11. Центр вписаного в трикутник кола лежить у точці перетину бісектрис трикутника. Оскільки BD — висота, проведена до основи рівнобедреного трикутника, то вона є також бісектрисою і медіаною.Нехай АС = 6x см, тоді АВ = 11x см. За властивістю бісектриси Нехай OD =y см, тоді ВО = (42 - у) см. 11у = 3(42 - у); 11у = 126 - 3у; 14у = 126; у = 9. Отже, OD = 9см.

Відповідь. 9 см.

410. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник, АВ = ВС= 60 см, BO : OD = 12 : 5. Центр вписаного в трикутник кола лежить у точці перетину бісектрис трикутника. Оскільки BD — медіана, проведена до основи рівнобедреного трикутника, то вона є також бісектрисою і висотою.Нехай BO = 12x см, тоді OD = 5x см. За властивістю бісектриси маємо: Тоді АС = 2AD; АС = 2 • 25 = 50 (см).

Відповідь. 50 см.

411. Нехай ABC— трикутник, М∈ВС, ВМ : МС = 3 : 10. Проведемо через точку K пряму KN таку, що KN||АМ. Оскільки ВK — медіана, то АK = KС, звідки за теоремою Фалеса MN = NC. За аксіомою вимірювання відрізків MC = MN + NC; Нехай ВМ = 3x см, тоді МС = 10x см. За теоремою про пропорційні відрізки

Відповідь. 3:5.

412.

1) Нехай ABC — трикутник, M∈АВ, AM : MB = 4 : 3, АK = KС. Проведемо через точку М пряму МР таку, що МР||ВK. Нехай AM = 4х см, тоді MB = 3x см. За теоремою про пропорційні відрізкиЗа аксіомою вимірювання відрізків АK = KС = АР + РK; АK = 4x + 3x = 7x (см). Тоді За теоремою про пропорційні відрізки

2) проведемо через точку K пряму NK таку, що NK||MC. Нехай AM = 4х см, тоді МВ = 3х см. Оскільки АK = KС, то за теоремою Фалеса AN = NM = 2х см За теоремою про пропорційні відрізки

Відповідь. 1) 3 : 7; 2) 2 : 3.

413. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), АС і BD — діагоналі, АР = PC, DK = KВ. Нехай М — середина сторони А В, N— середина сторони CD. Розглянемо трикутник ACD. У ньому АР = PC і CN = ND, тому PN— середня лінія, звідки PN||AD. Розглянемо трикутник BDC. У ньому BK = KD і CN = ND, тому KN— середня лінія, звідки KN||ВС. Оскільки AD||BC як основи, то PN і KNлежать на одній прямій. Отже, PK||AD, РK||ВС.За аксіомою вимірювання відрізків PN = РK + KN; PK = PN - KN;

414. Дано: АВ = а, АС = b, BD = с — відрізки. Побудувати: відрізок х, що а : х = b : с. Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку А. З точки А проводжу коло радіуса АВ = а, яке перетне пряму m у точці В. Через точку А проводжу довільний промінь АХ. З точки В проводжу коло радіуса BD = с, яке перетне пряму m у точці D. Через точки В і С проводжу пряму ВС. Через точку D проводжу пряму, паралельну СВ, яка в перетині з променем АХ дасть точку F. Отже, побудований відрізок CF— шуканий, бо в ньому а : х = b : с за побудовою.

415.

1) Дано: точка О. Побудувати: EF, такий що ЕО = OF.

Схема побудови. Проводжу через точку О пряму k, паралельну стороні кута ВС. Вона перетне сторону кута АВ в точці K. За точкою K відкладаю відрізок KЕ = ВK. Проводжу пряму ЕО, яка перетне сторону кута ВС у точці F. Отже, побудований відрізок EF— шуканий, бо за теоремою про пропорційні відрізки

2) Дано:точка О. Побудувати: EF, такий що ЕО : OF = 2 : 3.

Схема побудови. Проводжу через точку О пряму k, паралельну стороні кута ВС. Вона перетне сторону кута АВ в точці K. За точкою K відкладаю відрізок KЕ такий, що ВK : KЕ = 3 : 2. Проводжу пряму ЕО, яка перетне сторону кута ВС у точці F. Отже, побудований відрізок EF— шуканий, бо за теоремою про пропорційні відрізки

418. НехайЗа аксіомою вимірювання відрізків АВ₂ = АВ₁ + В₁В₂; В₁В₂= АВ₂ — АВ₁; АС₂ = АС₁ + С₁С₂, С₁С₂= AС₂- АС₁. Тоді Розглянемо трикутники В₁АС₁ і В₂АС₂. Оскільки відрізки, що утворилися на одній стороні кута, пропорційні відрізкам на іншій стороні кута, то прямі, які перетинають сторони кута, паралельні, тобто В₁С₁||В₂С₂.

419. Нехай ABC— трикутник, BD— бісектриса зовнішнього кута при вершині В. MBD = DBC, бо BD — бісектриса. Побудуємо СN||ОВ. Тоді MBD = BNC як відповідні кути при паралельних прямих CN і DB та січній AM. DBC = BCN як внутрішні різносторонні при паралельних прямих CN і DB та січній ВС. Тоді маємо, що BNC = BCN, звідки слідує, що трикутник BCN — рівнобедрений (BN = BC). За теоремою про пропорційні відрізки Оскільки BN = ВС, тоAB : BC = AD : CD.

420. Нехай ABCD — квадрат, АВ = a, BEC = 75°. Розглянемо трикутник ВЕС. Він рівнобедрений, бо BE= ВС = а. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BEC = BCE = 75°. Тоді за теоремою про суму кутів трикутника маємо: BEC + BCE + CBE = 180°; CBE = 180° - (BЕС + BCE); CBE = 180° - (75° + 75°) = 30°. За аксіомою вимірювання кутів ABC = ABE + CBE; ABE = ABC - CBE; ABE = 90° - 30° = 60°. Розглянемо трикутник BEA. Він рівнобедрений, бо BE= ВА= а. Якщо кут при вершині дорівнює 60°, то й кути при основі теж дорівнюють по 60°, тому трикутник ВЕА — рівносторонній, звідки АЕ = а.

Відповідь, а.

421. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), ADC= 120°, AD = 16 см, DC = 12 см. За теоремою про середню лінію трапеції маємо:За аксіомою вимірювання кутів: ADC = ADB + BDC; BDC = ADC - ADB; BDC= 120° - 90° = 30°. Розглянемо прямокутний трикутник DBC (DBC = 90°). За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: Тоді

Відповідь. 11 см.

422. Для цього достатньо використати чотири рівносторонні трикутники, сторона яких дорівнює половині сторони заданого рівностороннього трикутника (див. рис.).