Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Мерзляк А.Г. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
10. Описане та вписане кола чотирикутника

326. Див. рис.

327. Див. рис.

328. Див. рис.

329. Див. рис.

330.

1) Не можна. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних його кутів дорівнює 180°. А + С = 90° + 80° ≠ 180°; AB +AD = 90° + 100° ≠ 180^o;

2) можна. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних його кутів дорівнює 180°. А + С = 90° + 90° = 180°; В + D = 80° + 100° = 180°;

3) можна. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума протилежних його кутів дорівнює 180°. А + С = 50° + 130° = 180°; В + D = 70° + 110° = 180°.

331.

1) Нехай А = 3х, тоді В = 8х, С = 11 x, D = 6х. 3х + 11 х = 8х + 6х; 14х = 14х. Отже, навколо такого чотирикутника можна описати коло;

2) нехай А = 4х, тоді В = 5х, С = 4х, D = 2х. 4х + 4х ≠ 5х + 2х; 8х ≠ 7х. Отже, навколо такого чотирикутника не можна описати коло.

332.

1) У прямокутнику всі кути дорівнюють по 90°, тому суми протилежних кутів дорівнюють по 180°. Отже, навколо будь-якого прямокутника можна описати коло;

2) у рівнобічній трапеції кути при основі рівні; сума прилеглих до бічної сторони кутів дорівнює 180°, тому суми протилежних кутів трапеції дорівнюють по 180°. Отже, навколо будь-якої рівнобедреної трапеції можна описати коло.

333. Точка перетину серединних перпендикулярів його сторін, яка збігається з точкою перетину діагоналей.

334. Ні. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180°. Протилежні кути ромба, який не є квадратом, або гострі, тоді їх сума менша від 180°, або тупі, тоді їх сума більша від 180°.

335. Нехай ABCD — прямокутник, АВ = 12 см, CAD = 30°. Центр описаного навколо прямокутника кола міститься в точці перетину його діагоналей. Діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тому ОА = ОВ = ОС = OD. Розглянемо прямокутний трикутник CDA. CD = AB = 12 см як протилежні сторони прямокутника. За

властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:АС = 2CD; АС = 2 • 12 = 24 (см). Тоді

Відповідь. 12 см.

336. Щоб можна було в чотирикутник ABCD вписати коло, необхідно виконання умови АВ + CD = ВС + AD.

1) Нехай АВ = 7х см, ВС = 8 хсм, CD = 12х см, AD= 11x см. Тоді 7х + 12х = 8х + 11x; 19х = 19х. Отже, вписати коло можна;

2) нехай АВ = 7хсм, ВС = 12х см, СD = 8х см, AD= 11x см. Тоді 7х + 8х ≠ 12х + 11 х; 15х ≠ 23х. Отже, вписати коло не можна.

337. Нехай ABCD — чотирикутник, який описано навколо кола. Оскільки чотирикутник описано навколо кола, то АВ + CD = ВС + AD = 18 см. Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (АВ + CD) + (ВС + AD), Р_ABCD = 18 + 18 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

338. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, АВ = CD = 7 см. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то АВ + CD = ВС + AD = 7 + 7 = 14 (см). Р_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (АВ + CD) + (ВС + AD); P_ABCD = 14 + 14 = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

339. Нехай CDEF— чотирикутник, у який вписано коло, CD = 6 см, DE = 8 см, EF = 12 см. Оскільки в чотирикутник можна вписати коло, то CD + EF = CF + + DE; CF = CD + EF - DE; CF = 6 + 12 - 8 = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

340. Коло можна вписати в чотирикутник, у якого суми протилежних сторін рівні. У ромба всі сторони рівні, тому і суми протилежних сторін теж є рівними. Центром вписаного в ромб кола є точка перетину його діагоналей.

341. Нехай ABCD — паралелограм, який не є ромбом. Тоді у нього АВ = CD, ВС = AD, АВ ≠ ВС, звідки AB + CD ≠ ВС + AD, тому вписати коло в паралелограм не можна.

342. Нехай ABCD — трапеція, у яку вписано коло. Якщо в трапецію вписано коло, то вона рівнобічна. Центр вписаного в трапецію кола знаходиться у точці перетину бісектрис її кутів. A + B= 180° як кути при бічній стороні рівнобічної трапеції. ТодіРозглянемо трикутник АОВ. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BAO + ABO + BOA = 180°; 90° + BOA = 180°; BOA = 90°.

Відповідь. 90°.

343. Нехай ABCD — ромб, у який вписано коло, BCD = 60°, АС = 24 см. Проведемо радіус у точку дотику, тоді OEEC. За властивостями діагоналей ромба маємо: ОС— бісектриса кута BCD, тому звідкиРозглянемо прямокутний трикутник ОЕС (OEC = 90°). За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:

Відповідь. 6 см.

344. Нехай ABCD — прямокутник, у який вписано коло. Якщо в чотирикутник вписано коло, то АВ + CD = ВС + AD. Оскільки в прямокутнику АВ = CD і ВС = AD як протилежні сторони, то 2АВ = 2ВС; АВ = ВС. Звідси слідує, що в прямокутнику сусідні сторони рівні, тому він є квадратом.

345. Нехай ABCD — ромб, навколо якого описано коло. Якщо навколо чотирикутника описано коло, то A + C=B+D = 180°. Оскільки в ромба A = C і B = D як протилежні кути, то 2A = 2B = 180°; A = B = 90°. Звідси слідує, що в ромбі сусідні кути дорівнюють по 90°, тому він є квадратом.

346. Нехай ABCD — чотирикутник, навколо якого описано коло, AD — діаметр, ABC = 108°, BCD = 132°. Оскільки коло описане навколо чотирикутника, то BAD + BCD = 180°; BAD =180° - BCD; BAD = 180° - 132° = 48°; ABC + ADC = 180°; ADC= 180° - ABC; ADC = 180° - 108° = 72°. Розглянемо прямокутний трикутник ACD (ACD = 90° як вписаний у коло кут, що спирається на діаметр). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: CAD + ADC = 90°; CAD = 90° - ADC; CAD = 90° - 72° = 18°. Розглянемо прямокутний трикутник ABD (ABD = 90° як вписаний у коло кут, що спирається на діаметр). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника маємо: BDA + BAD = 90°; BDA = 90° - BAD; BDA = 90° - 48° = 42°.

Відповідь. 48°, 72°, 18°, 42°.

347. Нехай MNKP — чотирикутник, навколо якого описано коло, MKP = 58°, MPN = 34°, KМР= 16°. MKP = MNP = 58°, MPN = MKN = 34°, KМР = KNP = 16° як вписані в коло кути, що спираються на одну й ту саму дугу. За аксіомою вимірювання кутів MNK = MNP + PNK; MNK = 58° + 16° = 74°; NKP = NKM + MKP; NKP = 34° + 58° = 92°. Оскільки коло описане навколо чотирикутника, то MNK + MPK = 180°; MPK =180° - MNK; МРК = 180° - 74° = 106°; NMP + NKP = 180°; NMK = 180° - NKP; NMK = 180°- 92° = 88°.

Відповідь. 88°, 74°, 92°, 106°.

348. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, навколо якої описано коло (BC||AD, AB = CD), AD— діаметр, CED = 56°. Трикутник ACD— прямокутний (ACD = 90°), бо ACD— вписаний у коло й спирається на діаметр. Розглянемо трикутник CED. За теоремою про суму кутів трикутника CED + ECD + EDC = 180°; EDC = 180° - (CED + ECD); EDC = 180° - (56° + 90°) = 34°. Оскільки трапеція рівнобічна, то EAD = EDA. Кут CED — зовнішній кут трикутника AED, тому CED = EAD + EDA; CED = 2EAD; EAD = CED : 2; EAD = 56° : 2 = 28°. За аксіомою вимірювання кутів CDA = CDE+EDA; CDA = 34° + 28° = 62°. Оскільки трапеція рівнобічна, то CDA = BAD = 62°. .CDA + DCB = 180° як кути, прилеглі до бічної сторони трапеції, звідки DCB = 180° - CDA; DCB = 180° - 62° = 118°. Тоді ABC = DCB = 118° як кути при основі рівнобічної трапеції.

Відповідь. 62°, 118°, 62°, 118°.

349. Нехай ABC — гострокутний трикутник, ВМ і СK — його висоти, ВМСK = Н. Оскільки ВМ і СK — висоти, то СKА = ВМА = 90°. Тоді в чотирикутнику АKНМ АKН + АМН = 90° + 90° = 180°. АKН+ KНМ+ АМН + KАМ = 360°; KНМ + ХАМ = 360° - ( АKН + АМН); KНМ + KАМ = 360° - 180° = 180°. Отже, в чотирикутнику АKНМ й сума інших протилежних кутів дорівнює 180°, а це означає, що навколо чотирикутника можна описати коло, тому точки А, K, Н і М лежать на цьому колі.

350. Нехай ABCD— прямокутна трапеція, CM = 8 см, МD = 50см, ON = OK = OP = ОМ = 20 см. За аксіомою вимірювання відрізків CD = CM + MD; CD = 8 + 50 = 58 (см). NP = AB = 2r = 2 • 20 = 40 (см). AB + CD = 40 + 58 = 98 (см). Оскільки в трапецію вписано коло, то AB + CD = ВС + AD = 98 (см). Тоді P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (AB + CD) + (ВС + AD); P_ABCD = 98 + 98 = 196 (см).

Відповідь. 196 см.

351. Нехай ABCD — прямокутна трапеція, СМ= 3 см, MD = 12 см, P_ABCD = 54 см. За аксіомою вимірювання відрізків CD = CM + MD; CD = 3 + 12 = 15 (см). P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD = (AB + CD) + (ВС + AD). Оскільки в трапецію вписано коло, то АВ + CD = ВС + AD. NP = АВ = 2r. Тоді _ABCD = 2(АВ + CD); звідки r = АВ: 2; r = 12 : 2 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

352. Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло, O∈AD, АВ = ВС. Оскільки навколо трапеції описано коло, то вона є рівнобічною, тому АВ = CD = ВС. Розглянемо трикутники АОВ, ВОС і COD. У них: 1) АВ = ВС = CD за умовою; 2) АО = ВО = СО як радіуси; 3) ВО = СО = DO як радіуси. Отже, АОВ = ВОС = COD за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників). Тому АОВ = ВОС = COD як відповідні елементи рівних трикутників. Але АОВ + ВОС + COD = 180°, звідки АОВ = ВОС = COD = 180° : 3 = 60°. Оскільки трикутники АОВ, ВОС і COD— рівнобедрені з основами АВ, ВС і CD (АО = ВО, ВО = СО, СО = DO) і АОВ = ВОС = COD = 60°, то вони рівносторонні. З аксіомою вимірювання кутів ABC = АBО + ОВС; ABC = 60° + 60° = 120°. Аналогічно BCD= 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 120°, 60°.

353. Нехай ABCD — трапеція, вписана в коло, АС = d, COD = 120°. Оскільки навколо трапеції описано коло, то вона е рівнобічною, тому AC = BD = d, AB = CD. CAD— вписаний кут, що спирається на дугу CD, тому Розглянемо трикутники CAD і BDA. У них: 1) CD = AB за доведеним вище; 2) AD — спільна сторона; 3) CDA = BAD як кути при основі рівнобічної трапеції. Отже, CAD = BAD за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому CAD = BDA як відповідні елементи рівних трикутників. Проведемо висоту ВK. За властивістю висоти рівнобічної трапеціїРозглянемо прямокутний трикутник BKD (BKD = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BDK + KBD = 90°; KBD = 90° - BDK; KBD = 90° - 60° = 30°. Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:Отже,

Відповідь.

354. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція, вписана в коло, АВ = ВС = CD = 6 см. Розглянемо трикутник АОВ. Він рівнобедрений з основою АВ, бо АО = ВО як радіуси. BAO = ABO = 60° як кути при основі рівнобедреного трикутника. Тоді AOB + BAO + ABO = 180°; AOB = 180° - (BAO + ABO); AOB = 180 - (60° + 60°) = 60°. Отже, трикутник АОВ — рівносторонній. Тому r = АО = АВ = 6 см.

Відповідь. 6 см.

355. Нехай ABC— прямокутний трикутник, M∈АС, МKАВ. Розглянемо чотирикутник СМKВ. У ньому MKB + MCB = 90° + 90° = 180°. Тоді MKB + MCB + CMK + CBK = 360°, звідки CMK + CBK =180°. Отже, навколо цього чотирикутника можна описати коло. MKC і MBC— кути, вписані в коло, що спираються на одну й ту саму дугу МС, тому MKC = MBC.

356. Нехай САВ — кут, O∈CAB, ОСАС, ОBAВ. Розглянемо чотирикутник АСОВ. У ньому ACO + OBA = 90° + 90° = 180°. Тоді ACO + COB + OBA + BAC= 360°, звідки COB + BAC = 180°. Отже, навколо цього чотирикутника можна описати коло. OAB і OCB — кути, вписані в коло, що спираються на одну й ту саму дугу ОВ, тому OAB = OCB.

357. Нехай ABC — трикутник, ВK і CM — бісектриси, ВKСМ= О, A = 60°. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника ABC + BCA + BAC = 180°; ABC + BCA = 180° - BAC,Оскільки ВK і CM — бісектриси, то .Розглянемо трикутник ОВС. Кут МОВ — зовнішній кут трикутника BОС, тому MOB = OBC + BCO; MOB = 60°. Кут МОВ суміжний з кутом МОK, тому MOB + MOK = 180°; MOK = 180° - MOB; MOK = 180° - 60° = 120°. Розглянемо чотирикутник AMOK. Оскільки MAK + MOK = 180°, то AMO + AKO = 180°, а це означає, що навколо чотирикутника можна описати коло. Проведемо бісектрису AN. Оскільки бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, то АО — частина бісектриси. Тоді BAN = NAC = 60° : 2 = 30°. OAK— кут, вписаний у коло, що спирається на дугу ОK, тому OK = 2OAK; OK = 2 • 30° = 60°. OMK — кут, вписаний у коло, що спирається на дугу ОK, тому

Відповідь. 30°.

358. Нехай MNK — трикутник, МА і KВ— бісектриси, МАKВ = О. Оскільки МА і KВ — бісектриси, тоРозглянемо трикутник МОK. За теоремою про суму кутів трикутника MOK + MKO + BOM = 180°; MOK = 180° - (MKO + BOM); MOK = 180° - (x + у). Тоді BOA = MOK = 180° - (x +y) як вертикальні. Так як точки A, N, В і О лежать на колі, то N + BOA = 180°; N = 180° - BOA; N = 180° - (180° - (x + у)) = x + у. Розглянемо трикутник MNK. У ньому M = NMA + AMK = x + х = 2х; K = NKB + BKM = y + y = 2y. За теоремою про суму кутів трикутника M+ N+ K = 180°; N = 180° - (M+ K); N = 180° - (2х + 2у), звідки х + у = 180° - (2x + 2у); 180° = 3(х + у); x + у = 60°.

Відповідь. 60°.

359. Нехай ABC— прямокутний трикутник, C = 90°, ABFD — квадрат, AF і BD — його діагоналі, AFBD = О. Розглянемо чотирикутник АОВС. У ньому C = 90° за умовою, AOB = 90° як кут між діагоналями квадрата. Тому C + AOB = 180°. Тоді за теоремою про суму кутів чотирикутника CAO + CBO = 180°. А це означає, що навколо чотирикутника АОВС можна описати коло. AOB і OCB— кути, вписані в коло, що спираються на рівні хорди АО і ВО як половин діагоналей квадрата. Тому AOB = OCB.

360. Нехай ABC — прямокутний трикутник, C = 90°, APB = 90°. Розглянемо чотирикутник АСВР. ACB + LAPB = 90° + 90° = 180°. Тоді PAC + PBC = 180°, тобто навколо чотирикутника можна описати коло. BPC = CAB як вписані в коло кути, що спираються на дугу ВС. Оскільки кут САВ не може змінюватися як кут заданого трикутника, не може змінюватися й величина кута ВРС, а це означає, що точка С переміщається лише по відрізку PC.

361. Нехай A — заданий кут, МРАР, MQAQ, AKPQ. Розглянемо чотирикутник APMQ. Оскільки МРАР і MQAQ, то MPA = MQA = 90°; MPA + MQA = 180°. Тоді PAQ+ PMQ= 180°, тобто навколо чотирикутника можна описати коло. APQ = AMQ як вписані в коло кути, що спираються на дугу AQ. Розглянемо прямокутні трикутники АКР і AQM. Оскільки в них APK = AMQ за доведеним вище, то PAK = MAQ.

362. Нехай ABC— гострокутний трикутник, СС₁АВ, АА₁ВС, MN — серединний перпендикуляр С₁А₁. Розглянемо чотирикутник АС₁А₁С. Оскільки СС₁АВ і AА₁ВС, то AC₁C = AA₁C= 90°. Тоді точки А, С₁, А,₁ і С лежать на одному колі. Оскільки AC₁C= AA₁C = 90° вписані в коло і спираються на одну й ту саму дугу АС, то АС є діаметром цього кола. Серединний перпендикуляр MN перпендикулярний до хорди кола С₁А₁, тому він належить прямій, яка містить радіус, а отже, й діаметр. Два діаметри перетинаються в центрі кола й поділяються навпіл, тому АМ = МС.

363. Нехай (О; R), (М; R₁), (A; R₂)— кола. Оскільки в трапецію можна вписати коло, то для її сторін виконується співвідношення АВ + CD = ВС + AD. За властивістю середньої лінії трапеціїзвідки маємо, що кола дотикаються.

364. Нехай ABCD — паралелограм, АС — діагональ, АО = ОС. Розглянемо трикутники АОМ і СОK. У них: 1) АО = ОС за умовою; 2) AОМ = СОK як вертикальні; 3) МАО = KСО як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній АС. Отже, АОМ = СОK за стороною і двома прилеглими до неї кутами (за II ознакою рівності трикутників). Тому МО = ОK як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо чотирикутник АМСK. У ньому АС і МK — діагоналі, до того ж АО = ОС і МО = ОK. Тоді АМСK — паралелограм.

365. Нехай ABC— трикутник, AD— бісектриса, ED||AC, EF||BC. Оскільки AD— бісектриса, то EAD = DAC. DAC = EDA як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ED і АС та січній AD. Тоді EAD = EDA і трикутник AED — рівнобедрений, звідки AE = DE. Чотирикутник EDCF— паралелограм (ED||AC, ЕF||ВС), звідки DE = CF. Так як АЕ = DE і DE = CF, то АЕ = CF.

366. Нехай ABCD— паралелограм, АС — діагональ, BMAD, ВМAС = K, ВKС = 64°. Розглянемо прямокутний трикутник KВС ( KВС = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника ВKС + ВСK = 90°; ВСK = 90° - ВKС; ВСK = 90° - 64° = 26°. Оскільки діагональ паралелограма є бісектрисою його кутів, то BCD = 2ВСK; BCD = 2 • 26° = 52°. Сума прилеглих до сторони паралелограма кутів дорівнює 180°, тому ABC + BCD = 180°; ABC = 180°- BCD; ABC = 180° - 52° = 128°.

Відповідь. 128°.

367. Знайдемо кількість вершин многокутників, на які ми розріжемо квадрат. У тисячокутнику є 1000 вершин, із яких з вершинами квадрата може збігатися не більше 4. Решту 1000 - 4 = 996 можуть бути вершинами п’ятикутників, але п’ятикутники можуть мати не більше 5 • 199 = 995 (вершин). Отже, розрізування у такий спосіб неможливе.