Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Квадратні рівняння
§ 21. Формула коренів квадратного рівняння

807.

1) Два;

2) один;

3) жодного;

4) два.

808.

1) Жодного;

2) два;  

3) два;  

4) один.

809.

1) Ні, D = 3² - 4 • 2 • (-1);

2) так;

3) так;

4) ні,

810.

1) 6x² - 5х - 1 = 0; D = (-5)² - 4 • 6 • (-1) = 25 + 24 = 49 > 0; рівняння має два різні корені;

2) x² — 4x + 4 = 0; D = (-4)² — 4 • 1 • 4 = 16 - 16 = 0; рівняння має один корінь;

3) x² + 2x + 5 = 0; D = 2² — 4 • 1 • 5=4 - 20 = -16 < 0; рівняння не має коренів;

4) 7x² + 2x - 1 =0; D = 2² - 4 • 7 • (-1) = 4 + 28 = 32 > 0; рівняння мас два різні корені.

811.

1) 2x² - 3х -1 = 0; D = (-3)² - 4 • 2 • (-1) = 9 + 8 = 17 > 0; рівняння має два різні корені;

2) x² + x + 7=0; D = 1² - 4 • 1 • 7 = 1 - 28 = -27 < 0; рівняння немає коренів;

3) х² + 6х + 9 = 0; D = 6² - 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0; рівняння має один корінь;

4) 3x² + 4х - 1 = 0; D = 4² - 4 • 3 • (-1) = 16 + 12 = 28 > 0; рівняння має два різні корені.

812.

1) x² - 5x + 6 = 0; D = (-5)² - 4 • 1 • 6 = 25 - 24 = 1; числа 2 і 3 — корені заданого рівняння;

2) 2x² + 5x - 3 = 0; D = 5² - 4 • 2 • (-3) = 25 + 24 = 49; числа -3 і 0,5 — корені заданого рівняння;

3) 3x² + 5х + 2 = 0; D = 5² - 4 • 3 • 2 = 25 - 24 = 1; числа -1 і — корені заданого рівняння;

4) х² + 10x + 25 = 0; D = 10² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0; число -5 — корінь заданого рівняння;

5) x² + x - 90 = 0; D = 1² — 4 • 1 • (-90) = 1+360 = 361; числа -10 і 9 — корені заданого рівняння;

6) x² — 10x - 24 = 0; D = (-10)² -4 • 1 • (-24) = 100 + 96 = 196; числа -2 і 12 — корені заданого рівняння.

813.

1) x² — 4x - 5 = 0; D = (-4)² - 4 • 1 • (-5)= 16 + 20 = 36; числа-1 і 5 — корені заданого рівняння;

2) 2x² + 7x - 4 = 0; D = 7² - 4 • 2 • (-4) = 49 + 32 = 81; числа -4 і 0,5 — корені заданого рівняння;

3) x² — 12x + 36 = 0; D = (-12)² — 4 • 1 • 36=144 - 144 = 0; число 6 — корінь заданого рівняння;

4) х² — х - 56 = 0; D = (-1)²-4 • 1 • (-56) = 1 + 224 = 225; числа -7 і 8 — корені заданого рівняння.

814.

1) 10x² = 5х + 0,6; 10² - 5х - 0,6 = 0; D = (-5)² - 4 • 10 • (-0,6) = 25 + 24 = 49; числа -0,1 і 0,6 — корені заданого рівняння;

2) х² + 3 = 4х; х² - 4х + 3 = 0; D = (-4)² - 4 • 1 • 3 = 16 - 12 = 4; числа 1 і 3 — корені заданого рівняння;

3) х² + 5х = -6; х² + 5х + 6 = 0; D = 5² - 4 • 1 • 6 = 25 - 24 = 1; числа -3 і -2 — корені заданого рівняння;

4) 1 - 4х = 5x²; 5x² + 4х - 1 = 0;D = 4² - 4 • 5 • (-1) = 16 + 20 = 36; числа -1 і 0,2 — корені заданого рівняння;

5) 81y² + 1 = -18у; 81y + 18у + 1 =0; D = 18² - 4 • 1 • 81 = 324 - 324 = 0; число — корінь заданого рівняння;

6) 3p = 5p² — 2; 5p² — 3p - 2 = 0; D = (-3)² - 4 • 5 • (-2) = 9 + 40 = 49; числа 1 і -0,4 — корені заданого рівняння.

815.

1) 10x = 0,4 - 3х; 10х² + 3х — 0,4 = 0; D = 3² - 4 • 10 • (-0,4)-9 + 16 = 25; числа -0,4 і 0,1 — корені заданого рівняння;

2) х² + 7 = -8х; х² + 8х + 7 = 0; D = 8² - 4 • 1 • 7 = 64 - 28 = 36; числа -7 і -1 — корені заданого рівняння;

3) 7х = х² + 12; х² - 7х + 12 = 0; D = (-7)² - 4 • 1 — 12 = 49 — 48 = 1; числа 3 і 4 — корені заданого рівняння;

4) 4у = 4у²+ 1; 4у² - 4у + 1 = 0; D = (-4)² - 4 • 4 • 1 = 16 - 16 = 0; число 0,5 — корінь заданого рівняння.

816.

1) x² - 2^х - 3 = 0; D = (-2)² -4 • 1 • (-3) = 4 + 12 = 16; Отже, якщо х = -1 або х = 3, то значення многочлена х² т 2х - 3 дорівнює нулю;

2) x² + 2х = 0,5х + 2,5; х² + 1,5х - 2,5 = 0; 2х² + 3х - 5 = 0; D = 3² - 4 • 2 • (-5) = 9 + 40 = 49; Отже, якщо х = -2,5 або х = 1, то значення многочленів х² + 2х і 0,5x + 2,5 рівні між собою;

3) 10x² — 8x = 9x² + 2х - 25; x² - 10x + 25 = 0; D = (-10)² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0; (x - 5)² = 0; x - 5 = 0; x = 5. Отже, якщо х = 5, то значення двочлена 10x² - 8x дорівнює значенню тричлена 9х² + 2х - 25.

817.

1) у² + 4у - 5 = 0; D = 4² — 4 • 1 • (-5)= 16 + 20 = 36; Отже, якщо у = -5 або у = 1, то значення многочлена у² + 4у - 5 дорівнює нулю;

2) у² - 3у = 0,5у + 4,5; у² - 3,5у - 4,5 = 0; 2у² - 7у - 9 = 0; D = (-7)²-4 • 2 • (-9) = 49 + 72 = 121; Отже, якщо у = 4,5 або у = -1, то значення многочленів у² - 3у і 0,5у + 4,5 рівні між собою;

3) 4 + 2у - у² = 4у² - 6у, 5y - 8у - 4 = 0; D = (-8)²-4 • 5 • (-4) = 64 + 80 = 144; Отже, якщо у = 2 або у = -0,4, то значення тричлена 4 + 2у - 10у²дорівнює значенню двочлена 4у² - 6у.

818.

1) (х - 3)² = 2х - 3; х² - 6х + 9 = 2х - 3; x² - 8х + 12 = 0; D = (-8)² — 4 • 1 • 12 = 64 - 48 = 16; числа 2 і 6 — корені заданого рівняння;

2) 3(x + 1)² = 2х + 2; 3х² + 6х + 3 = 2х + 2; 3х² + 4х + 1=0; D = 4² — 4 • 3 • 1 = 16 -12 = 4; числа -1 і — корені заданого рівняння;

3) (x + 3)(х - 1) = 2x(x - 2) + 5; x² - x + 3x - 3 = 2x²- 4x + 5; x² — 6x + 8 = 0; D = (-6)² - 4 • 1 • 8 = 36 - 32 = 4; числа 2 і 4 — корені заданого рівняння;

4) x(x - 3) - (x - 5)(x + 5) = (x + 1 )²; x² — 3x - x² + 25 = x² + 2x + 1; x² + 5x - 24 = 0; D = 5² - 4 • 1 • (-24) = 25 + 96 = 121; числа -8 і 3 — корені заданого рівняння.

819.

1) (x + 2)² = 2x + 3; x² + 4x + 4 = 2x + 3; x² + 2x + 1 = 0; D = 2² - 4 • 1 • 1 = 4 - 4 = 0; число -1 — корінь заданого рівняння;

2) 5(x - 2)² = 3x - 6; 5x² — 20x + 20 = 3x - 6; 5x² - 23x + 26 = 0; D = (-23)² — 4 • 5 • 26 = 529 - 520 = 9; числа 2 і 2,6 — корені заданого рівняння;

3) (x + 2)(x - 3) = 2x(x - 4) + 6; x² — 3x + 2x - 6 = 2x² — 8x + 6; x² — 7x + 12 = 0; D = (-7)² - 4 • 1 • 12 = 49 - 48= 1; числа 3 і 4 — корені заданого рівняння;

4) x(x - 1) - (x - 3)(x + 3) = (x + 2)² - 1; x² - x - x² + 9 = x² + 4x + 4 - 1; x² + 5x - 6 = 0; D = 5² - 4 • 1 • (-6) = 25 + 24 = 49; числа -6 і 1 — корені заданого рівняння.

820.

1) 5(x² + 2x) - 3(4x + 1) = 0; 5x² + 10x - 12x - 3 = 0; 5x² — 2x - 3 = 0; D = (-2)² - 4 • 5 • (-3) = 4 + 60 = 64; числа -0,6 і 1 — корені заданого рівняння;

2) 2(x + 2) + 3(x² - 1) - 2 = 0; 2x + 4 + 3x² — 3 - 2 = 0; 3x² + 2x - 1 = 0; D = 2²-4 • 3 • (-1) = 4 + 12 = 16; числа -1 і — корені заданого рівняння.

821.

1) 3(x —3x) - 4(2х + 5) = 0; 3x² - 9х — 8x - 20 = 0; 3x² - 17х - 20 = 0; D = (-17)² - 4 • 3 • (-20) = 289 + 240 = 529; числа -1 і — корені заданого рівняння;

2) 5(х + 1) + 2(х² - 1) - 10 = 0; 5x + 5 + 2x² — 2 - 10 = 0; 2х² + 5x - 7 - 0; D = 5² - 4 • 2 • (-7) = 25 + 56 = 81; числа -3,5 і 1 — корені заданого рівняння.

822.

1) D = (-2)² - 4 • 1 • (-14) = 4 + 56 = 60; числа і — корені заданого рівняння;

2) —x² — 2x + 4 = 0; | • (-1) x² + 2x - 4 = 0; D = 2² — 4 • 1 • (-4) = 4 +16 = 20; числа і — корені заданого рівняння;

3)0,1x² — 3x - 5 = 0; | • 10 х² - 30х - 50 = 0; D = (-30)² — 4 • 1 • (-50) = 900 + 200 =1100; числа і — корені заданого рівняння;

4) 0,5х + 1,5x - 4 = 0; І • 2 x² + 3x - 8 = 0; D = 3² - 4 • 1 • (-8) = 9 + 32 = 41; числа і — корені заданого рівняння.

823.

1) D = 2²— 4 • 1 • (-6) = 4 + 24 = 28; числа і — корені заданого рівняння;

2) -х² + 2x + 11 = 0; І • (-1) х² - 2х - 11 = 0; D = (-2)² — 4 • 1 • (-11) = 4 + 44 = 48; числа і — корені заданого рівняння;

3) 0,2x + 2х - 3 = 0; 1 • 5 x² + 10х - 15 = 0; D = 10² - 4 • 1 • (-15) = 100 + 60=160; числа і — корені заданого рівняння;

4) 0,5x -2,5x - 4 = 0; І • 2 x² +- 5x - 8 = 0; D = 5² - 4 • 1 • (-8) = 25 + 32 = 57; числа — корені заданого рівняння.

824.

1. Вираз має зміст, якщо або 2) х² + х - 2 = 0;

1) х = 4; 2) х² + х - 2 = 0; D - 1² - 4 • 1 • (-2) = 1 + 8 = 9; Коренем рівняння є число 1. Отже, коренями рівняння є числа 1 і 4;

2. Якщо х > 0, то маємо: х² - 3х - 4 = 0; D = (-3)² - 4 • 1 • (-4) = 9 + 16 = 25; Умову х > 0 задовольняє число 4. Якщо х < 0, томаємо: х² + 3х - 4 = 0; D = 3² — 4 • 1 • (-4) = 9 +16 = 25; Умову х < 0 задовольняє число -4. Отже, коренями рівняння є числа -4 і 4;

3. x|x| + 3х - 4 = 0. Якщо х ≥ 0, то маємо: х² + 3х - 4 = 0; D = 3² - 4 • 1 • (-4) = 9 + 16 = 25; Умову х > 0 задовольняє число 1. Якщо х < 0, то маємо: -x² + 3x- 4 = 0; х²- 3х + 4 = 0; D = (-3)² - 4 • 1 • 4 = 9 - 16= -7; рівняння не має коренів. Отже, коренем рівняння x|х| + 3x - 4 = 0 є число 1;

4. Якщо х > 0, то маємо: x² — х - 2 = 0; D = (-1)² - 4 • 1 • (-2) = 1 + 8 = 9; Умову х > 0 задовольняє число 2. Якщо х < 0, то маємо: -х² — х - 2 = 0; х² + х + 2 = 0; D = 1² - 4 • `1 • 2 = 1 -8 =-7; рівняння не має коренів. Отже, коренем рівняння є число 2.

825.

1. Вираз має зміст, якщо

1) або х² — х - 6 = 0; х = 9;

2) х² — х - 6 = 0; D = (-1)² - 4 • 1 • (-6) = 1 + 24 = 25; Коренем рівняння є число 3. Отже, коренями рівняння є числа 3 і 9;

2. Якщо х > 0, то маємо: х² - 2х - 3 = 0; D = (-2)² - 4 • 1 • (-3) = 4 + 12 = 16; Умову х > 0 задовольняє число 3. Якщо х < 0, томаємо: х² + 2х — 3 = 0; D = -2²- 4 • 1 • (-3) = 4 + 12 = 16; Умову х < 0 задовольняє число -3. Отже, коренями рівняння є числа -3 і 3;

3. х|х| - 4х - 5 = 0. Якщо х > 0, то маємо: х² - 4х - 5 = 0; D = 4² - 4 • 1 • (-5) = 16 + 20 = 36; Умову х ≥ 0 задовольняє число 5. Якщо х < 0, то маємо: -х² - 4х - 5 = 0; х² + 4х + 5 = 0; D = 4² - 4 • 1 • 5 = 16 - 20 = -4; рівняння не має коренів. Отже, коренем рівняння x|x| - 4х - 5 = 0 є число 5;

4. Якщо х > 0, то маємо: х² + 4х - 12 = 0; D = 4² - 4 • 1 • (-12) =16 + 48 = 64; Умову х > 0 задовольняє число 2. Якщо х < 0, то маємо: -х² + 4х - 12 = 0; х² - 4х + 12 = 0; D = (-4)² - 4 • 1 • 12 = 16 - 48 = -32; рівняння не має коренів. Отже, коренем рівняння є число 2.

826.

1) 2х² + х - а = 0; D= 1² - 4 • 2 • (-а) = 1 + 8а. Рівняння має один корінь, якщо D = 0 : 1 + 8а = 0; 8а = -1; а = -0,125. Отже, якщо а = -0,125, то рівняння 2х² + х - а = 0 має один корінь;

2) х² - ах + 4 = 0; D = (-a)²— 4 • 1 •4 = а² - 16. Рівняння має один корінь, якщо D = 0 : а² - 16 = 0; а² = 16; а = -4 або а = 4. Отже, якщо а = -4 або а = 4, то рівняння х² - ах + 4 = 0 має один корінь.

827.

1) 4х² — х + 6 = 0; D = (-1)² -4 • 4 • b = 1- 16b. Рівняння має один корінь, якщо D = 0 : 1 — 16b = 0; 16b = 1; Отже, якщо то рівняння 4x² - х + 6 = 0 має один корінь;

2) х² + 6х + 9 = 0; D = b² - 4 • 1 • 9 = b² - 36. Рівняння має один корінь, якщо D = 0 : b² - 36 = 0; b² = 36; b = -6 або b = 6. Отже, якщо b = -6 або b = 6, то рівняння х² + 6х + 9 = 0 має один корінь.

828.

1)

2)

829. Графік функції у = 0,2х - 15 перетинає вісь Ох в точці, ордината якої дорівнює 0, тобто у = 0; 0 = 0,2х - 15; 0,2х = 15; х = 75. Координати точки перетину — (75; 0). Вісь Оу графік перетинає у точці, абсциса якої дорівнює 0, тобто х = 0; у = -15. Координати точки перетину — (0; -15).

830.

1) аb² + а²b = аb(а + b) = -7 • 5 = -35;

2) а² + b² = а² + 2аb + b² - 2аb = (а + b)² - 2аb = 5² - 2 • (-7) = 25 + 14 = 39.

831.

1) x² — x - 6 = 0; D = (-1)² - 4 • 1 • (-6) = 1 + 24 = 25; Коренями рівняння є числа -2 і 3;

2) x² + 6x + 8 = 0; D = 6² — 4 • 1 • 8 = 36 — 32 = 4; Коренями рівняння є числа -4 і -2. Сума коренів рівняння дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком. Справді, 1) -2 + 3 = 1; 2) -4 + (-2) = -6. Добуток коренів дорівнює вільному члену. Так, 1) -2 • 3 = -6; 2) -4 • (-2) = 8.

832.

1) Див. таблицю.

2)

833. Число 10 000 на моніторі може висвітлитися, бо воно містить парну кількість дільників чисел 2 і 5; 10 000 = 5⁴ • 2⁴. Число 20 000 на моніторі не висвітлиться, бо воно містить непарну кількість дільників чисел 2 і 5; 20 000 = 5⁴ • 2⁵.