Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 3. Квадратні рівняння
§ 20. Квадратні рівняння. Неповні квадратні рівняння

775. Квадратними є рівняння 1), 4), 6).

776. Неповні квадратні рівняння: 1), 4), 5); зведені квадратні рівняння: 2), 6).

777.

1) а = 2, 6 = 3, с = -5;  

2) а = 3,6 = 0, с = 9;

3) а = -1, b = 3, с = 7;  

4) a = 3,b = 0, с = 0;

5) а = -1, b = 7, с = 0;  

6) а = -1, b = 4, с = 2.

778.

1) 3х² + 5х - 2 = 0;  

2) -х² + 5х = 0;

3) -4x² = 0;  

4) 13х² - 39 = 0.

779. Див. таблицю.

780.

1) (5х - 1)(5х + 1) = х(7х -13); 25х² - 1 = 7х² - 13х; 18х² + 13х — 1 = 0;

2) (2х - 3)² = (х + 2)(х - 7); 4х² - 12х + 9 = х² - 7х + 2х - 14; 3x² - 7х + 23 = 0.

781.

1) (2х + 3)(2х - 3) = х(9х - 12); 4x² - 9 = 9x² - 12х; 5x² - 12х + 9 = 0;

2) (4х + 1)² = (х - 3)(х + 2); 16х² + 8х + 1 = х² + 2х - 3х - 6; 15х² + 9х + 7 = 0.

782.

1) Коренем рівняння х² - 5х = 0 є лише число 0, бо 0² - 5 • 0 = 0; 0 = 0;

2) коренем рівняння 3х² = 0 є лише число 0, бо 3 • 0² = 0; 0 = 0;

3) коренем рівняння х² - 3х + 2 = 0 є лише число 2, бо 2² - 3 • 2 + 2 = 0; 0 = 0;

4) коренем рівняння х² - 2х - 3 = 0 є лише число -1, бо (-1)²- 2 • (-1) - 3 = 0; 0 = 0.

783.

1) Коренем рівняння х² + 2х = 0; х(х + 2) = 0 є числа -2 і 0, бо (-2)² + 2 • (-2) = 0; 4 = 4; 0² + 2 • 0 = 0; 0 = 0;

2) коренем рівняння -5x² = 0 є лише число 0, бо -5 • 0² = 0; 0 = 0;

3) коренем рівняння х²-х-6 = 0 є лише число -2, бо (-2)² - (-2) - 6 = 0; 0 = 0;

4) коренями рівняння х² - 25 = 0 є числа -5 і 5, бо (-5)² - 25 = 0; 0 = 0 і 5²- 25 = 0; 0 = 0.

784.

1) 3х² - 27 = 0; 3х² = 27; х² = 9; х = -3 або х = 3;

2) 3,7х² = 0; х² = 0; х = 0;

3) 2х² + 8 = 0; 2х² = -8; x² = -4; рівняння не мас коренів;

4) -5х² + 10 = 0; 5х² = 10; х² = 2; або

5) -5,7х² = 0; х² = 0; х = 0;

6) х² - 7 = 0; х² = 7; або

785.

1) 2x² - 2 = 0; 2x = 2; х² = 1; х = -1 або х = 1;

2) 3x² + 9 = 0; 3x² = -9; х² = -3; рівняння не має коренів;

3)1,4x² = 0; x² = 0; x = 0;

4) -7x² + 21 = 0; 7x² = 21; х² = 3; або

5) -1,8x² = 0; х² = 0; х = 0;

6) x² - 5 = 0; x² = 5; або

786.

1) x² + 6x = 0; x(x + 6) = 0; х = 0 або x + 6 = 0; x = 0 або x = -6;

2) 2x² — 8x = 0; 2x(x -4) = 0; 2x = 0 або x - 4 = 0; x = 0 або x = 4;

3) 4х² - х = 0; x(4x - 1) = 0; x = 0 або 4x - 1 = 0; x = 0 або 4x = 1; x = 0 або x = 0,25;

4) 0,1x² + 2x = 0; x(0,1x + 2) = 0; x = 0 або 0,1x + 2 = 0; x = 0 або 0,1x = -2; x = 0 або x = -20;

5) 2x + x = 0; x(2x + 1) = 0; x = 0 або 2x + 1 = 0; x = 0 або 2x = -1; x = 0 або x = -0,5;

6) 3x² — 7x = 0; x(3x - 7) = 0; x = 0 або 3x - 7 = 0; x = 0 або 3x = 7; x = 0 або x = 0 або

787.

1) x² — 5x = 0; x(x - 5) = 0; x = 0 або x - 5 = 0; x = 0 або x = 5;

2) 3x² + 9x = 0; 3x(x + 3) = 0; 3x = 0 або x + 3 = 0; x = 0 або x = -3;

3) 5x³ + x = 0; x(5x + 1) = 0; x = 0 або 5x + 1 = 0; x = 0 або 5x = -1; x = 0 або x = -0,2;

4) 0,2x² — 10x = 0; x(0,2x - 10) = 0; x = 0 або 0,2x - 10 = 0; x= 0 або 0,2x = 10; x= 0 або x = 50;

5) 3x² - x = 0; x(3x - 1) = 0; x = 0 або 3x - 1 = 0; x = 0 або 3x = 1; x = 0 або

6) 4x + 9x = 0; x(4x + 9) = 0; x = 0 або 4x + 9 = 0; x = 0 або 4x = -9; x = 0 або x = 0 або x = -2,25.

788.

1) Рівняння х² + 9 = 0 не має коренів;

2) рівняння 5х² = 0 має один розв’язок — число 0;

3) рівняння х² — 5x = 0 має два цілі корені — 0 і 5;

4) рівняння 3x² - 9 = 0 має два ірраціональні розв’язки —

789. Якщо х = 3 — корінь рівняння ах² + 2х - 7 = 0, то маємо рівність а • 3² + 2 • 3 - 7 = 0; 9a = 1;

Відповідь.

790. Якщо х = -2 — корінь рівняння х² + 6х - 8 = 0, то маємо рівність (-2)² + b • (-2) - 8 = 0; -2b = 4; b= -2.

Відповідь, b = -2.

791. Якщо числа 1 і 2 — корені рівняння ах² + bх + 4 = 0, то маємо систему рівнянь:

Відповідь, а = 2; b = -6.

792. Якщо числа 1 і 3 — корені рівняння х² + bх + с = 0, то маємо систему рівнянь:

Відповідь, b = -4; с = 3.

793.

1) (х - 2)(х + 3) = -6; x² + 3x - 2х - 6 = -6; х² + х = 0; х(х+ 1) = 0; х = 0 або х + 1 =0; х = 0 або х = -1;

2) 8х(х + 9) = 3х(х - 16); 8х² + 72х = 3х² - 48х; 5х² + 120х = 0; 5х(х + 24) = 0; х = 0 або х + 24 = 0; х = 0 або х = -24;

3) (3х - 1)² = (х - 3)²; 9х² - 6х + 1=х² - 6х + 9; 8х²- 8 = 0; 8(х² - 1) = 0; х² - 1 =0; х² = 1; х = -1 або х = 1;

4) 6х² - 2х + 3х - 1 = х² - 2х + 3х - 1; 5x² = 0; х² = 0; х = 0.

794.

1) (х + 3)(х - 5) = -15; х² + 3х - 5х - 15 =-15; х² - 2х = 0; х(х - 2) = 0; х = 0 або х - 2 = 0; х = 0 або х = 2;

2) 4х(х - 3) = 3х(х + 4); 4x² - 12х = 3х² + 12х; х² - 24х = 0; х(х - 24) = 0; х = 0 або х - 24 = 0; х = 0 або х = 24;

3) (2х - 3)² = (3х - 2)²; 4х² - 12х + 9 = 9х² - 12х + 4; 5х² - 5 = 0; 5(х² - 1) = 0; x² — 1 = 0; x² =1; х = -1 або х = 1;

4) 10x² — 5x + 2х - 1 = х² + 3х - 6х -1; 9x² = 0; х² = 0; х = 0.

795.

x(x + 2) - (3x - 1)(х + 4) = 4; х² + 2х - 3х² - 12х + х + 4 = 4; -2х² - 9х = 0; х(2х + 9) = 0; х = 0 або 2х + 9 = 0; х = 0 або 2х = -9; х = 0 або х = -4,5.

Відповідь, х = 0 або х = -4,5.

796.

(2х+ 1)(x + 3) -х(х - 4) = 3; 2x² + 6х + х + 3 - x² + 4х = 3; х² + 11х = 0; х(х+ 11) = 0; х = 0 або х + 11 = 0; х = 0 або х = -11.

Відповідь, х = 0 або х =—11.

797. Позначимо задані числа х і у.

Відповідь. і або

798. Позначимо задані числа х і у. або

Відповідь. і або i

799.

1) х² - 5|х| = 0. Якщо х ≥ 0, то маємо рівняння х² - 5х = 0; х(х - 5) = 0; х = 0 або х - 5 = 0; х-0 або х = 5. Якщо х<0, то маємо рівняння (-х)²-5 • (-х) = 0; х² + 5х = 0; х(х + 5) = 0; х = 0 або х + 5=0; х = 0 або х = -5. Умову х < 0 задовольняє лише число -5.

Відповідь. -5; 0; 5;

2) Якщо х > 0, то маємо рівняння -х² + 4 = 0; х² = 4; х = -2 або х = 2. Із цих розв’язків тільки число 2 задовольняє умову х > 0. Якщо х < 0, то маємо рівняння х² + 4 = 0 — рівняння розв'язків не має.

Відповідь. 2.

800.

1) -х² + 3|х| = 0. Якщо х > 0, то маємо рівняння -х² + 3х = 0; -х(х - 3) = 0; х = 0 або х — 3 = 0; х = 0 або х = 3. Якщо х < 0, то маємо рівняння -(-х)² + 3 • (-х) = 0; -х² - 3х = 0; -х(х + 3) = 0; х = 0 або х + 3 = 0; х = 0 або х = -3. Умову х < 0 задовольняє лише число -3.

Відповідь. -3; 0: 3;

2) Якщо х > 0, то маємо рівняння х² - 9 = 0; х² = 9; х = -3 або х = 3. Із цих розв’язків тільки число 3 задовольняє умову х > 0. Якщо х < 0, то маємо рівняння -х² -4 = 0; х²+ 4 = 0 — рівняння розв’язків не має.

Відповідь. 3.

801. 3 = 3. Тотожність доведена.

802. Див. рис. Графіком функції якщо х < -2, є частина вітки гіперболи, графіком функції у = х², якщо -2 ≤ х ≤ 2, є частина вітки параболи, графіком функції у = 8 - 2х, якщо х > 2, є пряма, яка проходить, наприклад, через точки (3; 2) і (4; 0).

803.

1) Якщо а = 1, b = 5, с = -6, то b² - 4ас = 5² - 4 • 1 • (-6) = 25 + 24 = 49;

2) якщо а = 1, b = -6, с = 9, то b² - 4ас = (-6)² - 4 • 1 • 9 = 36 - 36 = 0;

3) якщо а = 2, b = -3, с = -5, то b2³ - 4ас = (-3)² - 4 • 2 • (-5) = 9 + 40 = 49;

4) якщо а = 4, b = 5,с = -9, то b² - 4ас = 5² - 4 • 4 • (-9) = 25 + 72 = 97.

804.

1)

2)

3)

4)

805.

1)

2)

3)

4)

806. 3а умовою задачі маємо рівняння: ab = ab + (a + b); 10a + b = ab + a + b; 10a — ab - a = 0; 9а - аb = 0; а(9 - b) = 0. Оскільки а ≠ 0 (бо число двоцифрове), то 9 - b = 0; b = 9. Отже, такими числами є 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, усього 9 чисел.

Відповідь. 9 чисел.