Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 7. Вписані кути

207.

а) Якщо дуга менша за півколо, то кут тупий;

б) якщо дуга більша за півколо, то кут гострий;

в) якщо дуга дорівнює півколу, то кут прямий.

208. Нехай (О; R) — коло, кут ABC — вписаний. АО = ВО як радіуси, тому трикутник АBО — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника ABO = BAO. Ці кути можуть бути тільки гострими, оскільки в протилежному випадку не виконуватиметься умова теореми про суму кутів трикутника.

209. Кути обстрілу воріт з точок А, В і С однакові, бо всі задані вписані кути спираються на одну й ту саму дугу.

210. Можуть, якщо вони спираються на різні дуги, але однакової градусної міри. Наприклад, ABC = MNK.

211. Можуть, якщо спираються на дуги різної градусної міри (див. рис.).

212.

а) Може, бо він не є вписаним;

б) ні, бо даний кут є вписаним, що спирається на півколо, тому дорівнює 90°.

213. Нехай ABC— заданий трикутник, АС = 10. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тобтоПроведемо висоту BD трикутника ABC. Розглянемо трикутник ODB. У ньому BD — катет, ВО — гіпотенуза, тому BO > BD, звідки випливає, що висота не може дорівнювати 6.

Відповідь. Не може.

214. Нехай (О; R) — коло, А, В і С — точки кола.

а) Див. рис.;

б) удвічі більшим є кут АОС як центральний кут вписаного кута. ABC;

в) див. рис.

215.

а) AСВ = 90° як вписаний кут, який спирається на діаметр кола;

б) АОС = 2ABC як центральний кут вписаного кута AВС.

216.

а) Нехай (О; R) — коло. НехайУ сумі ці дві дуги утворюють коло, тому2JC = 240°; х = 120°. Отже,

Відповідь. 120°, 240°;

б) нехайУ сумі ці дві дуги утворюють коло, тому2х + 7х = 360°; 9х = 360°; х = 40°. Отже,тоді

Відповідь. 80°, 280°.

217.

а)

б)

в)

218.

а) Вписаний кут дорівнює половині центрального кута, який спирається на ту саму дугу, тому

б) центральний кут дорівнює подвоєному вписаному куту, який спирається на ту саму дугу, тому х = 2 • 20° = 40°;

в) градусна міра дуги дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута, тому х = 360° - 150° = 210°.

Відповідь, а) 70°; б) 40°; в) 210°.

219.

а) Обидва кути спираються на одну й ту саму дугу, але вписаний кут дорівнює половині центрального кута, тому

б) обидва кути є вписаними і спираються на одну й ту саму дугу, тому х = 50°;

в) обидві дуги в сумі дорівнюють 360°, тому градусна міра невиділеної дуги дорівнює 360° - 60° = 300°. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається, тому

Відповідь, а) 40°; б) 50°; в) 150°.

220. Нехай (О; R) — коло, точки A,B,C i D належать колу,

I випадок. як вписані кути, які спираються на одну й ту саму дугу.

II випадок. Градусна міра вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, на яку він спирається. ТомуУ сумі ці дві дуги утворюють коло, тому

Відповідь,

221.

Нехай (О; R) — коло, точки А, В і С належать колу, АС = R.

І випадок. АО = СО як радіуси, АС = R за умовою, тому трикутник АОС — рівносторонній. За властивістю кутів рівностороннього трикутника АОС = 60°. Тоді градусна міра дуги дорівнює градусній мірі відповідного центрального кута: За теоремою про вписаний кут одержимо:

II випадок.;

Відповідь. 30° або 150°.

222.

а) Нехай (О; R) — коло, трикутник ABC вписаний у коло, A = 65°. Якщо центр кола лежить на відрізку АВ, то трикутник ABC— прямокутний (C = 90°) і АВ = d = 2R. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + B = 90°; B = 90° - A; B = 90° - 65° = 25°;

б) нехай (О; R)— коло, трикутник ABC вписаний у коло, АВ = 12 см. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому

Відповідь, а) 25°; б) 6 см.

223.

а) Нехай (О; R)— коло, АС— діаметр, точка В належить колу. Кут ABC— це кут між хордами ВА і ВС, який спирається на діаметр, тому ABC = 90°;

б) нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, точка В належить колу, ВО = 5 см. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, томуАС = 250; АС = 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь, а) 90°; б) 10 см.

224. Нехай (О; R) — коло, ВАС — вписаний кут, AD — бісектриса. За властивістю бісектриси кута BAD = DAC. За властивістю вписаного кута маємо:

225.

а) Нехай (0;R)— коло, АС — діаметр, ABD = 30°, BDC = 25°. ACD = ABD = 30° як кути, що спираються на одну й ту саму дугу AD. Кут BFC — зовнішній кут трикутника DFC, тому він дорівнює сумі двох не суміжних з ним кутів: BFC = FDC + FCD; BFC = 25° + 30° = 55°;

б) нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, ABD = 30°. Оскільки вписаний кут ABC спирається на діаметр кола, то ABC = 90°. За аксіомою вимірювання кутів DBC = DBA + ABC; DBC = 30° + 90° = 120°.

Відповідь, а) 55°; б) 120°.

226.

а) Нехай (О; R) — коло, BAD = 15°, ADC = 45°. ABC = ADC = 45° як кути, що спираються на одну й ту саму дугу АС. Розглянемо трикутник ABF. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: ABC + BFA + BAF = 180°; BFA = 180° - (ABC + BAF); BFA = 180° - (45° + 15°) = 120°;

б) нехай (О; R) — коло, AOB = 70°. ОА = ОВ як радіуси, тому трикутник АОВ— рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BAO = ABO = (180° - AOB) : 2; BAO = ABO = (180° - 70°) : 2 = 55°.

Відповідь, а) 120°; б) 55°.

227. Нехай (О; R) — коло, Нехайтоді Градусна міра всього кола дорівнює 360°.Рівняння: 11х + 7х = 360°; 18х = 360°; х = 20°. Отже,тоді ABC — вписаний у коло кут, що спирається на дугу ADB, тому за теоремою про вписаний кут

Відповідь. 70°.

228. Нехай (О; R) — коло,Нехайтоді Градусна міра всього кола дорівнює 360°. Рівняння: 3х + 4х + 5х = 360°; 12х = 360°; х = 30°. Отже,тоді. BCA — вписаний у коло кут, що спирається на дугу АВ. Тому Аналогічно

Відповідь. 45°, 60°, 75°.

229.

I випадок. Нехай (О; R)— коло, ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BCA = BAC. Тому. BCA— вписаний у коло кут, що спирається на дугу АВ. ТомуАналогічно За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°; B = 180° - (A + C); B = 180° - (50° + 50°) = 80°.

II випадок. Нехай (О; R) — коло, ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), Тоді ABC— вписаний кут, що спирається на дугу 100°, томуЗа властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника А = С. За теоремою про суму кутів трикутника А + В + С = 180°; А = C = (180° - 5) : 2; А = C=(180° - 50°) : 2 = 65°.

Відповідь. 50°, 80°, 50° або 65°, 50°, 65°.

230. Нехай (О; R) — коло, АВ — хорда, а — дотична до кола, проведена в точці В. Проведемо діаметр СВ кола. Оскільки ОВ — радіус, то за властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, CBD = 90°. Діаметр СВ спирається на дугу СМВ, томуТомуКут ABC — вписаний, він спирається на дугу ANC, тому за теоремою про вписаний кутЗа аксіомою вимірювання кутів:

231.

а) Нехай (О; R)— коло, А В і CD— хорди, AB||CD. Розглянемо паралельні прямі AB і CD та січну СВ. Тоді АВС = BCD як внутрішні різносторонні. Кут ABC є вписаним і спирається на дугу АМС, а кут BCD є вписаним і спирається на дугу BND. За теоремою про вписаний кут .Тоді звідки

б) нехай (О; R) — коло, Тоді АОВ = COD як центральні кути, що спираються на рівні дуги. Розглянемо трикутники АО В і COD. У них: 1) АО = СО як радіуси; 2) BO = DO як радіуси; 3) АОВ = COD за доведеним вище. Отже, АОВ = COD за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників). Тому АВ = CD як відповідні елементи рівних трикутників. Обернене твердження. Якщо дві хорди кола рівні, то рівними є й дуги, які вони стягують.

Нехай (О; R)— коло, AB = CD. Розглянемо трикутники АОВ і COD. У них: 1) АО = СО як радіуси; 2) BO = DO як радіуси; З) AB = CD за умовою. Отже, АОВ = COD за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників). Тому АОВ = COD як відповідні елементи рівних трикутників. Оскільки АОВ і COD— рівні центральні кути, що спираються на дуги А MB і CND, то

232. Нехай (О; R)— коло, . Проведемо радіуси ОВ і ОС. Оскільки ОВ і ОС — радіуси, проведені в точки дотику до кола, то ОВАВ, OBA = 90°; ОСАС. OCA = 90°. Так як то BOC = 100° як відповідний центральний кут. Розглянемо прямокутник ОВАС. За теоремою про суму кутів чотирикутника маємо: O + B + A + C = 360°; A = 360° - (O + B + C); A = 360° - (100° + 90° + 90°) = 80°.

Відповідь. 80°.

233. Нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, BCA = 60°, ВС = 4 см. Оскільки кут ABC спирається на діаметр, то ABC = 90°, тому трикутник ABC — прямокутний. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника A + C = 90°; A = 90° - C; A = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить у прямокутному трикутнику проти кута 30°, маємо:АС = 2ВС; АС = 2• 4 = 8 (см). Отже, діаметр кола дорівнює 8 см, тоді його радіус становить ОС = АС : 2; ОС = 8 : 2=4 (см).

Відповідь. 4 см.

234. Нехай (О; R) — коло, BOC = 60°, АО = ОС, ОВ = 9 см. Якщо прямокутний трикутник вписаний в коло, то його гіпотенуза дорівнює діаметру цього кола Медіана прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, тому ОВ = ОС = OA = 9 см. Тоді трикутник ВОС— рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника C = B = (180° - BOC) : 2 = 60°. Отже, трикутник ВОС — рівносторонній, тому ВС = 9 см.

Відповідь. 9 см.

235. Нехай (О; R) — коло, ABC — гострокутний трикутник. Оскільки кут ABC — гострий, то ABC < 90°. Він спирається на дугу ANC і за теоремою про вписаний кутПроведемо через точку С діаметр CD. Тоді маємо, що точки А і В лежать по різні боки від діаметра CD. Аналогічно можна показати, що точки А і С лежать по різні боки від діаметра, який проходить через точку В, і точки В і С — по різні боки від діаметра, який проходить через точку А. Отже, центр кола лежить всередині трикутника ABC. Розглянемо тупокутний трикутник UBC. MBC > 90°. Він спирається на дугу MNC і за теоремою про вписаний кут Проведемо через точку С діаметр CD. Тоді точки М і В лежать з одного боку від прямої CD, а точки О і В — по різні боки від прямої МС. Отже, центр кола лежить зовні трикутника МВС.

236. Нехай (О; R) — коло, А В і CD— хорди. Розглянемо трикутник ACM. За властивістю зовнішнього кута маємо: ACM + CAM = AMD. Але кут САВ — вписаний, томукут ACD — вписаний, томуМаємо:

237.

1) Нехай (О; R) — коло, AB і CD — хорди, Розглянемо трикутник СМВ. За властивістю зовнішнього кута трикутника AMC = MBC + MCB. MBC— вписаний у коло кут, що спирається на дугу АС, MCB — вписаний у коло кут, що спирається на дугу BD. Тодізвідки

2) нехай (О; R) — коло, AB і CD — хорди, Розглянемо трикутник ADM. За властивістю зовнішнього кута трикутника ADC = DAM + AMD; AMD = ADC - DAM. ADC — вписаний у коло кут, що спирається на дугу АС, DAM— вписаний у коло кут, що спирається на дугу BD. Тоді

238. Дано: АС = с — гіпотенуза прямокутного трикутника ABC, BH = h— висота, проведена до гіпотенузи. Побудувати: трикутник ABC.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку H. Будую відрізокБудую пряму l, яка проходить через точку Н і таку, що lm. З точки H проводжу коло радіуса ВH = h, яке перетне пряму l у точці В. Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині. З точки В проводжу коло радіусаяке перетне пряму m у точці D. З точки В проводжу коло радіуса яке перетне пряму m у точках А і С. Сполучаю відрізками точки А і В та В і С. Отже, побудований трикутник ABC — шуканий, бо в ньому АС = с, ВН = h за побудовою.

239. Дано: ВС = а — сторона трикутника ABC, — протилежний до сторони ВС кут, ВК = b— висота, проведена до сторони ВС. Побудувати: трикутник ABC.

Схема побудови. Будую довільну пряму m і позначаю на ній точку М. Будую кут На прямій m позначаю довільну точку В, відмінну від М. Будую коло з центром у точці В радіуса ВС = а. Воно перетне сторону МР кута PMQ у точці С. Сполучаю відрізком точки В і С. Через точки В, С й М будую коло з центром у точці перетину серединних перпендикулярів сторін трикутника ВСМ. Будую пряму kBС у точці В. На прямій k від точки В відкладаю відрізок b. У результаті одержу точку K. Через точку K будую пряму n||ВС, яка перетне коло в точках А і А₁. Сполучаю відрізками точки А і С та А і В, а також точки А₁ і С та А₁ і В. Отже, побудовані трикутники ABC і А1ВС — шукані, бо в них ВС = a, ВK = b за побудовою.

240. Якщо відрізок АВ розглядати як гіпотенузу, то геометричним місцем точок X, для яких трикутник АХВ є прямокутним, буде коло діаметра АВ без точок А і В (див., наприклад, трикутник АХ₁В). Якщо відрізок АВ розглядати як катет, то геометричним місцем точок X, для яких трикутник АХВ є прямокутним, буде дві прямі, які проходять через кінці відрізка АВ і перпендикулярні до нього, без точок А і В (див., наприклад, трикутник АХ₂В).

241. За наслідком теореми про вписані кути, геометричним місцем точок будуть дві дуги, які спираються на хорду АВ.

242. Дано: (О; R) — коло, точка А поза колом. Побудувати: дотичні до кола, які проходять через точку А.

Схема побудови. Будую коло і позначаю точку А. Сполучаю центр кола точку О з точкою А. Будую серединний перпендикуляр ST і знаходжу середину відрізка ОА — точку H. Проводжу коло з центром у точці Н радіуса ОН. Воно перетне задане коло в точках В і С. Будую прямі АВ і АС — дотичні.

243. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), (О; R)— вписане коло, BAC = 40°. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника BAC - BCA = 40°. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C= 180°; B = 180° - (A + C); B = 180° - (40° + 40°) = 100°. Радіуси кола, проведені в точку дотику, перпендикулярні до дотичних, тому BMO = BNO = 90°. Розглянемо чотирикутник MBNO. За теоремою про суму кутів чотирикутника M + B + N + O = 360°; O = 360° - (M + B + N); O = 360° - (90° + 100° + 90°) = 80°.

Відповідь. 80°.

244. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = BC), (О; R) — вписане коло, АМ = 8 см, MB = 9 см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АМ + МВ; АВ = 8 + 9 = 17 (см). Оскільки трикутник рівнобедрений, то ВС = 17 см. За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки, маємо, що відрізки AM і АK рівні, тобто АМ = АK = 8 см. Аналогічно CN = CK = 8 см. Тоді АС = АK + KС; АС = 8 + 8 = 16 (см). Р_ABC = АВ + ВС + АС; Р_ABC = 17 + 17 + 16 = 50 (см).

Відповідь. 50 см.