Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ І. Чотирикутники
§ 6. Теорема Фалеса. Середні лінії трикутника і трапеції

169.

а) Чотирикутник ADEC — трапеція, бо DE||AC,

б) медіаною є відрізок АЕ, бо за означенням середньої лінії трикутника точка Е — середина відрізка ВС.

170.

а) Середня лінія трикутника може бути перпендикулярною до його сторони, якщо це прямокутний трикутник і середня лінія перпендикулярна до катета;

б) середня лінія трикутника не може бути перпендикулярною до двох сторін, оскільки тоді сторони мають бути паралельними, що неможливо.

171. Середні лінії трикутника утворюють трикутник, а для сторін 3 см, 4 см і 10 см не виконується нерівність трикутника 10 > 3 + 4.

172. Нехай ABC — трикутник, DE — середня лінія, DE||AC. Оскільки DE — середня лінія, то AD = DB і DE||AC, тому за теоремою Фалеса BN = NM. Аналогічно можна показати, що ВK = KН.

173. Ні, не є, оскільки за означенням середня лінія трапеції з’єднує середини бічних сторін трапеції.

174. Середньої лінії трапеції дорівнює півсумі основ, які виражені додатними числами, тому вона не може бути меншою за обидві її основи. Вона не може також дорівнювати одній з основ, бо тоді вона має дорівнювати й іншій основі, а така фігура не є трапецією.

175. Середня лінія трапеції не може проходити через точку перетину діагоналей, бо тоді діагоналі мають ділитися навпіл, звідки випливає, що чотирикутник має бути паралелограмом.

176.

а) ВС₃ = С₃С₂ = С₂С₁ = С₁С = 6 мм;

б) середньою лінією трикутника AВС є відрізок А₂С₂;

в) середньою лінією трапеції АА₂С₂С є відрізок A₂С₂.

177.

a) DE||AC і EF||AB як середні лінії, тому чотирикутник ADEF— паралелограм;

б) DE||AC як середня лінія, тому чотирикутник ADEC — трапеція;

в) DEF = FAD = CFE = EDB.

178.

а) Оскільки а||b, то за теоремою Фалеса паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на іншій стороні, тому х = 4;

б) оскільки а||b, то за теоремою Фалеса паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на іншій стороні, тому х = 8.

179. Нехай ABC— трикутник, DE||AC, AD = DB, BE =8 см. Оскільки AD = DB і DE||AC, то за теоремою Фалеса паралельні прямі, які перетинають сторони кута і відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і нй іншій стороні, тому BE = ЕС = 8 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = BE + ЕС; ВС = 8 + 8 = 16(см).

Відповідь. 16 см.

180. Нехай ABC— трикутник, D, E і F— середини відповідно сторін АВ, ВС і АС, АВ = 12 см, ВС = 16 см, АС = 20 см. Тоді EF — середня лінія трикутника ABC, звідки DF— середня лінія трикутника ABC, звідки DE— середня лінія трикутника ABC, звідки

Відповідь. 6 см, 8 см, 10 см.

181. Нехай ABC— рівносторонній трикутник (АВ = ВС = АС), MN— середня лінія, MN = 3,5 см. Оскільки MN— середня лінія трикутника ABC, звідки AC = 2MN; АС = 2 • 3,5 = 1 (см). Р_АВС = 3АС; Р_АВС = 3 • 7 = 21 (см).

Відповідь. 21 см.

182. Нехай ABC — трикутник, DE, DF і EF — середні лінії. За властивістю середньої лінії трикутника маємо:Розглянемо трикутники DEF, FAD, CFE і EDB. У них: 1) DE = FA = CF; 2) EF = AD = DB; 3) DF = СЕ = BE. Отже, DEF = FAD = CFE = EDB за трьома сторонами (за III ознакою рівності трикутників).

183. Нехай ABC — трикутник, DE — середня лінія, AD = 3 м, ЕС = 4 м, DE = 5 м. За властивістю середньої лінії трикутника маємо:AC = 2DE; АС = 2 • 5 = 10 (м). За означенням середньої лінії трикутника AD = DB = 3 м. За аксіомою вимірювання відрізків AB = AD + DB; АВ = 3 + 3 = 6 (м). Аналогічно ВС = 4 + 4 = 8 (м). Тоді Р_ABC = АВ + ВС + АС; Р_АBС = 6 + 8 + 10 = 24 (м).

Відповідь. 24 м.

184. Нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі, АС = 22 см, BD = 18 см, М, N, K, L — середини сторін. Відрізок MN— середня лінія трикутника ABC. Тоді Відрізок NK— середня лінія трикутника BCD. ТодіР_MNKL = 2(MN + NK); Р_MNKL = 2(11 + 9) = 40 (см).

Відповідь. 40 см.

185.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), MN — середня лінія, AD = 12 см, ВС = 8 см. Тоді

Відповідь. 10 см;

б) нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АС — діагональ, MN— середня лінія, MK = 3см, KN = 4 см. Відрізок МK— середня лінія трикутника ABC, тому ВС = 2МK; ВС= 2 • 3 = 6 (см). Відрізок KN— середня лінія трикутника ACD, томуAD = 2KN; AD = 2 • 4 = 8 (см). Тоді одержимо:

Відповідь. 7 см.

186.

а) Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), АВ = CD = 5 см, P_ABCD ⁼ 26 см. P_ABCD = АВ ⁺ BС + CD + AD; AD + ВС = P_ABCD - 2АВ; AD + ВС = 26 - 2 • 5 = 16 (см).

Відповідь. 8 см;

б) нехай ABCD — трапеція (AD||BC), MN — середня лінія, MN = 5 см, AD - BC = 6 см. Нехай ВС = х см. тоді AD = (x + 6) см. За означенням середньої лінії трапеції 2х + 6 = 10; 2х = 4; х = 2. Тоді ВС = 2 см, тоді AD = 2 + 6 = 8 (см).

Відповідь. 2 см, 8 см.

187. Нехай ABCD — ромб, АС і BD — діагоналі, М, N, Р і K — відповідно середини сторін ромба АВ, ВС, CD і AD. MN— середня лінія трикутник АВС, тому МN||АС іАналогічно NP||BD іРK||АС іMK||BD і Отже, з того, що МN||АС, NP||BD, РK||АС і MK||BD, випливає, що МN||РК, NP||MK, тому чотирикутник MNPK— паралелограм. Оскільки ACBD як діагоналі ромба, то MNNP. Отже, у паралелограмі MNPK MNP = 90°, тому він є прямокутником.

188. Нехай ABCD — прямокутник, АС і BD — діагоналі, M,N,P i K — відповідно середини сторін прямокутника AB, ВС, CD і AD. MN— середнялінія трикутник ABC, тому МN||АС і Аналогічно NP||BD іРK||АС і MK||BD іОтже, з того, що МN||АС, NP||BD, РK||АС і MK||BD, випливає, що МN||РK, NP||MK, тому чотирикутник MNPK— паралелограм. Оскільки MN = NP = PK = MK як половини рівних діагоналей прямокутника, то паралелограм MNPK є ромбом.

189. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), МN||АС, АМ = МВ, Р_ABC = = 26 см, АС: АВ = 5 : 4. Відрізок MN є середньою лінією трикутника, тому Нехай АС = 5х см, тоді АВ = 4х см, MN = 2,5x см. Р_АВС = АВ + ВС + АС; 26 = 4х + 4х + 5х; 13х = 26; х = 2. Тоді АС= 5 • 2 = 10(см), АВ = 4 • 2 = 8 (см), MN = 2,5 • 2 = 5 (см). За теоремою Фалеса якщо AM = MB і МN||АС, то CN = NB. Тому АМ = MB = CN = NB = 8 : 2=4(см). Р_MNC = АМ + MN + NC + AC;P_AMNC = 4 + 5 + 4 + 10 = 23 (см).

Відповідь. 23 см.

190. Нехай ABC — трикутник, EF : DF : DE = 4 : 5 : 6. За властивістю середньої лінії трикутника маємо:звідки АС = 2DE; BC = 2DF; AB = 2EF. Нехай FE = 4х (см), DF = 5х (см), DE = 6х (см). Тоді АВ = 8x (см), ВС = 10х (см), АС = 12х(см). Р_АВС = АВ + ВС + АС, 60 = 8х + 10х + 12х; 30х = 60; х = 2. Тоді АВ = 8 • 2 = 16 (см), ВС = 10 • 2 = 20 (см), АС = 12 • 2 = 24 (см).

Відповідь. 16 см, 20 см, 24 см.

191. Нехай ABC — трикутник, АМ = МВ, BN = NC. Тоді MN— середня лінія трикутника ABC. Проведемо перпендикуляри з вершин трикутника на пряму MN: AKMN, BHMN, CLMN. Розглянемо прямокутні трикутники АКМ і ВНМ. У них: 1) АМ = МВ за умовою; 2) AMK = BMH як вертикальні. Отже, АКМ = ВМН за гіпотенузою і гострим кутом. Тому АК = ВН як відповідні елементи рівних трикутників. Розглянемо прямокутні трикутники CLN і ВНМ. У них: 1) NC = BN за умовою; 2) CNL = ВМН як вертикальні. Отже, CLN = ВМН за гіпотенузою і гострим кутом. Тому СL = ВН як відповідні елементи рівних трикутників. Отже, AK = BH = CL, тобто будинки рівновіддалені від траси.

192. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), М, N, K, L — середини сторін трапеції. MN — середня лінія трикутник ABC, тому Аналогічно Оскільки в рівнобічній трапеції AC = BD, то MN = NK = LK = ML, звідки випливає, що чотирикутник MNKL — ромб.

193. Нехай D, E і F— задані точки. Сполучаю задані точки й одержую трикутник DEF. Якщо точки D, E і F— середини сторін трикутника, то відрізки DE, DF і EF— середні лінії трикутника. Проводжу через точку D пряму, паралельну до відрізка FE; через точку Е пряму, паралельні до відрізка DF; через точку F пряму, паралельну до відрізка DE. Побудовані прямі перетнуться в точках А, В і С, які є вершинами шуканого трикутника.

194. Нехай ABC — заданий трикутник. Будую відрізки FE — середню лінію трикутника і відрізаю трикутник FCE. FCE = МВЕ за трьома сторонами. Тоді чотирикутник ABMF — паралелограм за ознакою, бо AF = ВМ, AB = FM.

195. Нехай ABCD— прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), ABC — рівносторонній трикутник, АВ = ВС = АС = a, ACD — прямокутний трикутник (ACD = 90°). Оскільки ABC — рівносторонній трикутник, то А = В = С = 60°. За аксіомою вимірювання кутів BCD = ВСА + ACD; BCD = 60° + 90° = 150°. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому BCD + CDA = 180°; CDA = 180° - BCD; CDA = 180° - 150° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: AD = 2АС; AD = 2a. Тоді

Відповідь. 1,5a.

Задача має ще один розв’язок, коли в якості рівностороннього трикутника взяти трикутник A CD, а прямокутного — ABC.

Нехай ABCD — прямокутна трапеція (AD||BC, BAD = 90°), ABC — прямокутний трикутник (ABC = 90°), ACD — рівносторонній трикутник, AC = CD = AD = a. Оскільки ACD— рівносторонній трикутник, то CAD = ACD = ADC = 60°. Сума кутів, прилеглих до бічної сторони трапеції, дорівнює 180°, тому BCD + CDA = 180°; BCD = 180° - CDA; BCD = 180° - 60° = 120°. За аксіомою вимірювання кутів BCD = BCA + ACD; BCA =BCD - ACD; BCA = 120° - 60° = 60°. За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника BAC + BCA= 90°; BAC = 90° - BCA; BAC = 90° - 60° = 30°. За властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: Тоді

Відповідь. 0,75а.

196. Нехай (O;R)— коло, АВ — діаметр, CF— дотична, АС = 14см, BF = 20 см. Оскільки АС і BF— відстані від кінців діаметра до дотичної, то ACCF, BFCF, звідки AC||BF. Тоді чотирикутник ACFD — трапеція. Так як АО = ОВ як радіуси, AC||BF, то за теоремою Фалеса CD = DF, тому OD — середня лінія трапеції. Тоді Але OD— радіус кола, проведений у точку дотику. Тому AB = 20D; АВ = 2 • 17 = 34 (см).

Відповідь. 34 см.

197. Нехай l — задана пряма, А і В— точки, які лежать з одного боку від прямої l, АС = 7 см, BD = 11 см. Оскільки АС і BD— відстані від точок до прямої, то ACCD, BDCD, звідки AC||BD. Тоді чотирикутник ABDC — трапеція. Проведемо з середини відрізка АВ — точки М— перпендикуляр до прямої l. Тоді за теоремою Фалеса CN = ND, тому MN — середня лінія трапеції. Далі одержимо:

Відповідь. 9 см.

198. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АС||m||n||k, АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃В, АС = 12 см. За теоремою Фалеса паралельні прямі поділяють і сторону BC трикутника ABC на рівні відрізки, тому СС₁ = С₁С₂ = С₂С₃ = С₃В. Отже, А₂С₂ — середня лінія трикутника ABC, А₃С₃ — середня лінія трикутника А₂ВС₂, А₁С₁ — середня лінія трапеції АА₂С₂С. Тому Тоді маємо:

Відповідь. 9 см, 6 см, 3 см.

199. Нехай ABCD — паралелограм, Mi N — середини сторін ВС і AD. За властивістю сторін паралелограма AD = ВС, тому AN = ND = ВМ = МС. Якщо AD||BC як сторони паралелограма, то й АN||МС. Оскільки АN||МС і AN = МС, то чотирикутник AMCN— паралелограм за ознакою, звідки випливає, що AM = NC. Розглянемо кут ADB. Оскільки за умовою AN = ND і AM||NC за доведеним вище, то за теоремою Фалеса KL = LD. Розглянемо кут DBC. Оскільки за умовою ВМ = МС і AM||NC за доведеним вище, то за теоремою Фалеса BK = KL. Тоді маємо, що BK = KL =LD.

200. Схема побудови. Будую заданий відрізок А В. Проводжу будь-яку пряму АС. На прямій АС відкладаю п’ять рівних відрізків АС₁, С₁С₂, С₂С₃, С₃С₄, С₄С₅. Через точки С₅ і В проводжу пряму. Тоді через точки С₁, С₂, С₃ і С₄ проводжу прямі C₄B_4||C₅B, С₃В₃||С₅В, С₂В₂||С₅В, С₁В₁||С₅B, в результаті матимемо, що АВ₁ = В₁В₂ В₂В₃ = В₃В₄ = В₄В. Тоді АВ₃ : В₃В = 3 : 2.

201.

а) Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), К і L — середини діагоналей АС і BD. Побудуємо MN — середню лінію трапеції. Тоді AM = MB, CN = ND, MN||AD, МN||ВС. Розглянемо кут ВАС. Оскільки АМ = МВ і МN||ВС, то за теоремою Фалеса точка K належить прямій MN. Розглянемо кут BDC. Оскільки CN = ND і MN||AD, то за теоремою Фалеса точка L належить прямій MN. Так як MN||AD і МN||ВС, тоKL||AD і KL||BC. У трикутнику ABD відрізок ML — середня лінія, томуу трикутнику ABC відрізок МK — середня лінія, тому . За аксіомою вимірювання відрізків ML = МK + KL; KL = ML - МK;

б) Нехай l — задана пряма, А і В — точки, які лежать з різних боків від прямої l, AC = 7 см, BD = 11 см. Оскільки АС і BD— відстані від точок до прямої, то AC CD, BD CD, звідки AC||BD. Тоді чотирикутник ACBD — трапеція. У неї АВ і CD— діагоналі. Оскільки за умовою АМ = МВ, то за теоремою Фалеса CN = ND, тобто відрізок MN сполучає середини діагоналей. Тоді одержимо, що

Відповідь. 2 см.

202.

а) Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), ВС = a, AD = b. Проведемо висоти ВK і СН трапеції. Тоді чотирикутник KВСН— прямокутник, звідки ВС = KН, ВK = СН. Розглянемо прямокутні трикутники АКВ і DHC. У них: 1) АВ = CD за умовою; 2) A = D за властивістю кутів при основі рівнобічної трапеції. Отже, АKВ = DHC за гіпотенузою і гострим кутом. Тому АK = HD як відповідні елементи рівних трикутників. Маємо: АK = HD = (AD - ВС) : 2;

б) за властивістю середньої лінії трапеції маємо: За аксіомою вимірювання відрізків AD = AH + HD; AH = AD - HD;Отже,

203. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), АС = 4 см, CAF = 60°. Проведемо висоту CF. Розглянемо прямокутний трикутник AFC (AFC = 90°). За властивістю гострих кутів прямокутного трикутника CAF + ACF = 90°; ACF = 90° - CAF; ACF = 90° - 60° = 30°. Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо:У рівнобічній трапеції висота, проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на два відрізки, більший з яких дорівнює півсумі основ, тобто середній лінії. Отже, N = 2 см.

Відповідь. 2 см.

204.

а) Нехай ABC— трикутник, АА₁ = A₁A₂ = ... = А_m-1В, СС₁ = С₁С₂ = ... = С_m-1В. Проведемо через точки А₁, А₂, А_m-1 прямі, паралельні до сторони АС. За теоремою Фалеса паралельні прямі відтинають на іншій стороні теж рівні відрізки. Отже, ці прямі перетнуть сторону ВС у точках С_1, С₂, ..., С_m-1. Звідси маємо, що А₁С₁||А₂С₂||...||А_m-1С_m-1||AC.

б) У трапеції ABCD кожну з бічних сторін AB і CD розділено на т рівних частин. Доведіть, що відрізки, які сполучають відповідні точки поділу, паралельні між собою і паралельні основі AD.

Нехай ABCD— трапеція (AD||BC), АА₁ = А_ІА₂ = ... = А_m-1В, СС₁= С₁С₂ = ... = С_m-1В. Проведемо через точки А₁, А₂, А_m--1, прямі, паралельні до основи AD. За теоремою Фалеса паралельні прямі відтинають на іншій стороні теж рівні відрізки. Отже, ці прямі перетнуть сторону CD у точках С₁ С₂, ..., С_m-1. Звідси маємо, A₁С₁||A₂С₂||...||A_m-1С_m-1||AС.

в) Якщо прямі відтинають на сторонах кута рівні відрізки, то вони паралельні. Спростування зображене на рис. 204 в). АВ = ВС, AD = DE, але прямі BE і CD не паралельні.

205. Нехай ABC— рівносторонній трикутник, вписаний у коло (О; R), а||АС. Центр кола, описаного навколо трикутника, міститься в точці перетину серединних перпендикулярів до його сторін. У рівносторонньому трикутнику серединні перпендикуляри збігаються з висотами трикутника. Тому ВМ АС і а||АС, звідки BM a. ОВ — радіус кола ітому ОВ а. Дотична до кола перпендикулярна до радіуса кола, проведеного в точку дотику. Тому пряма а — дотична до кола.

206. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), DBA = 80°. Якщо зовнішній кут трикутника гострий, то внутрішній кут повинен бути тупим. Тому це може бути тільки кут при вершині, бо кути при основі рівнобедреного трикутника — гострі. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі внутрішніх не суміжних з ним кутів, тому DBA = ВАС + BCA. Крім того, кути при основі рівнобедреного трикутника рівні, тобто A = C. Тоді маємо: DBA = A + C; A = C = DBA : 2; A = C = 80° : 2 = 40°. За теоремою про суму кутів трикутника A + ABC + C = 180°; ABC = 180° - (A + C); ABC = 180° - (40° + 40°) = 100°.

Відповідь. 40°, 100°, 40°.