Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників. Теорема Піфагора
§ 13. Теорема Піфагора та наслідки з неї

416. Оскільки с — гіпотенуза, a i b — катети, то за теоремою Піфагора с² = а² + b². За умовою, с² = 2а². Тому 2а² = а² + b²; а² = b²; а = b. Тоді заданий трикутник є прямокутним рівнобедреним, звідки випливає, що його гострі кути рівні й дорівнюють по 45°.

417. Перевіримо для заданого трикутника виконання теореми Піфагора: 10² = 6² + 8²; 100 = 36 + 64; 100 = 100. Рівність є правильною, тому трикутник зі сторонами 6, 8 і 10 — прямокутний, звідки слідує, що його найбільший кут дорівнює 90°.

418. Перевіримо для трикутника, який утворений сторонами і діагоналлю паралелограма, виконання теореми Піфагора: 5² = 3² + 4²; 25 = 9 + 16; 25 = 15. Рівність є правильною, тому трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 — прямокутний, звідки слідує, що паралелограм є прямокутником.

419. а) ВС; б) АС.

420. Нехай АВ = l₁; АС = l₂, тоді DB = а₁, DC = а₂.

а) Якщо а₁ < а₂, то, за властивістю похилих, з двох похилих більша та, яка має більшу проекцію, тому l₁< l₂,

б) якщо l₁ = l₂, то, за властивістю похилих, рівні похилі мають рівні проекції, тому а₁ = а₂.

421. Похилі будуть рівними лише у випадку, якщо вони проведені з однієї точки.

422. Дві, вони будуть проведені по різні боки від перпендикуляра до прямої (АВ = АС).

423. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), AB = 4 см, ВС = 3 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²;

Відповідь. 5 см.

424. Нехай АВС — трикутник, АВ = 6 см, AС = 2,5 см, ВС = 6,5 см. Перевіримо для заданого трикутника виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора: 6² + 2,5² = 6,5²; 36 + 6,25 = 42,25; 42,25 = 42,25. Рівність є правильною, тому трикутник зі сторонами 2,5, 6 і 6,5 — прямокутний, звідки слідує, що його найбільший кут дорівнює 90°.

Відповідь. 90°.

425.

а) а = 7, b = 24. За теоремою Піфагора с² = а² + b²;

б), с = 9. За теоремою Піфагора с² = а² + b²; b² = с² - а²;

в) с = 6. За теоремою Піфагора с² = a² + b²; а² = с² - b²;

426.

а) Нехай ВС— проекція похилої, ВС = 9 см, АВ а, АВ = 40 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²;

а) нехай АС — похила, АС = 29 см, ВС — проекція похилої, ВС - 20 см. За теоремою Піфагора АС² = АВ² + ВС²; AB² = АС² - ВС²;

Відповідь, а) 41 см; б) 21 см.

427. Нехай ABCD — прямокутник.

а) АВ= 10 см, ВС = 24 см. Розглянемо прямокутний трикутник АВС. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²;

б) АС = 10 см, АВ = 6 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; ВС² = АС² - АВ²;Тоді Р = 2(АВ + ВС); Р = 2(6 + 8) = 28 (см).

Відповідь, а) 26 см; б) 28 см.

428. Нехай ABC — рівнобедрений прямокутний трикутник (B = 90°, АВ = ВС).

а) АВ = ВС = 4 см;а см. За теоремою Піфагора одержимо: АС² = АВ² + ВС²;

б) АС = 10 см;і ссм, АВ = ВС. За теоремою Піфагора: АС² = АВ² + ВС²; АС² = 2АВ²; І

429. Нехай ABCD — квадрат.

а) Сторона квадрата дорівнює а. Розглянемо рівнобедрений прямокутний трикутник ABC (B = 90°, АВ = ВС). За теоремою Піфагора одержимо: АС² = А В² + ВС²;

б) діагональ дорівнює d. За теоремою Піфагора: АС² = АВ² + ВС²; АС² = 2АВ²;

430.

а) 6² = 4² + 5²; 36 = 16 + 25; 36 = 41 — рівність хибна, тому для даного трикутника не виконується теорема Піфагора і він не є прямокутним;

б) 13² = 5² + 12²; 169 = 25 + 144; 169 = 169 — рівність істинна, тому для даного трикутника виконується теорема Піфагора і він є прямокутним;

в)13 = 4 + 7; 13 = 11— рівність хибна, тому для даного трикутника не виконується теорема Піфагора і він не є прямокутним;

г)64 = 36 + 10; 64 = 46 — рівність хибна, тому для даного трикутника не виконується теорема Піфагора і він не є прямокутним.

431. Нехай ABC — трикутник, АВ = 16 см, ВС = 12 см, АС = 20 см, BD — бісектриса. Оскільки АС² = АВ² + ВС²; 20² = 16² + 12²; 400 = 256 + 144; 400 = 400 — істинна рівність, то за теоремою Піфагора трикутник прямокутний. Тоді найбільшим кутом у ньому є прямий. Тоді за властивістю бісектриси ABD = DBC = 90° : 2 =45°.

Відповідь. 45°.

432. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АС = 16 см, BD — бісектриса, BD = 6 см. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є його висотою і медіаною. Тому BDAC, Розглянемо прямокутний трикутник ADC. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АD + BD²; Тоді АВ = ВС = 10 см. Р = АВ + ВС + АС; Р = 10 + 10 + 16 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

433. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), Р = 36 см, АВ = ВС = 13 см. Р = АВ + ВС + АС; АС = Р - (АВ + ВС); AС = 36 - (13 + 13) = 10 (см). Проведемо до висоти медіану BD, тодіУ рівнобедреному трикутнику медіана, проведена до основи, є його висотою і бісектрисою. Тому BDAC. Розглянемо прямокутний трикутник ADC. За теоремою Піфагора AB² = AD² + BD²; BD² = АВ² - AD²;

Відповідь. 12 см.

434. Нехай ABCD — паралелограм, АС = 30 см, BD = 16 см, АВ = 17 см. За властивістю діагоналей паралелограма вони в точці перетину поділяються навпіл, тому Розглянемо трикутник АОВ. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо: АО² + ВO² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289 = 172 = АВ², тому трикутник АОВ — прямокутний. Отже, діагоналі паралелограма перетинаються під прямим кутом, тому цей паралелограм — ромб.

435. Нехай ABCD — ромб, АС = 10 м,м. За властивістю діагоналей ромба вони в точці перетину поділяються навпіл, тому Розглянемо трикутник АОВ. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = АО² + ВО²; Р = 4АВ; Р = 4 • 6 = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

436.

І випадок. Нехай АВ = 8 cм, BC = 6 cм — катети. Тоді за теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²;

II випадок. Нехай АС = 8 см, АВ = 6 см. Тоді за теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; ВС² = АС² - АВ²;

Відповідь. 10 см;

437.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (В = 90°), ВС : АВ = 3 : 4, АС = 45 см. Нехай ВС = 3х см, тоді АВ = 4х см. Тоді за теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; 45² = (4х)² + (3x)²; 2025 = 16х² + 9x²; 25x² = 2025; x² = 81; х = 9. Отже, ВС = 3 • 9 = 27 (см), тоді АВ = 4 • 9 = 36 (см);

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (АВ = 90°), BD = 12 см, AD = 16 см. Розглянемо прямокутний трикутник ADB (D = 90°). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD²;Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: BD² = AD • DC; Тоді за аксіомою вимірювання відрізків одержимо: AC = AD + DC; АС = 16 + 9 = 25 (см). За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; ВС² = АС² - АВ²;

Відповідь, а) 27 см, 36 см; б) 15 см, 20 см, 25 см.

438.

а) Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), АВ : АС =12 : 13, ВС = 10 см. Нехай АВ = 12х см, тоді АС = 13x см. Тоді за теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; (13x)² = (12x)² + 10²; 169x² = 144x² + 100; 25х² = 100; x² = 4; х = 2. Отже, АВ = 12 • 2 = 24 (см), тоді АС = 13 • 2 = 26 (см);

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), AD = 32 см, DC = 18 см. Тоді за аксіомою вимірювання відрізків одержимо: AC = AD + DC; АС = 32 + 18 = 50 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику BD² = AD - DC; Розглянемо прямокутний трикутник ADB (D = 90°). За теоремою Піфагора АВ² = AD² + BD²; Розглянемо прямокутний трикутник CDB (D = 90°). За теоремою Піфагора маємо: ВС² = BD² + DC²;

Відповідь, а) 24 см, 26 см; б) 30 см, 40 см, 50 см.

439. Нехай ABC — рівносторонній трикутник (АВ = ВС = АС). Проведемо висоту BD. У рівносторонньому трикутнику висота є медіаною і бісектрисою. Тоді маємо, що BDC = 90°, AD = DC. Розглянемо прямокутний трикутник ADB.За теоремою Піфагора маємо: AB² = AD² + BD²; BD² = AB² - AD²;

а) Якщо АВ = 6 см, тоякщото маємо: якщо АВ = а см, то

б) якщо BD = 1 см, тоякщото маємо: якщо BD = h см, то

440. Нехай ABCD — ромб, ВМ— висота, АМ = 6 см, MD = 4 см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АМ + MD; AD = 6 + 4 = 10 (см). Оскільки ABCD — ромб, то AB = AD як сторони ромба. Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За теоремою Піфагора АВ² = AM² + ВМ²; ВМ² = АВ² - AM²;

Відповідь. 8 см.

441. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), ВМ = 12 см, МС = 1 см. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ+ МС; ВС = 12 + 1 = 13 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За теоремою Піфагора АВ² = AM² + ВМ², АМ²-АВ²-ВМ²;Розглянемо прямокутний трикутник АМС. За теоремою Піфагора АС² = AM² + МС²;

Відповідь.

442. Нехай ABC— трикутник, АВ = 20 см, АС = 25 см, ВС = 15 см. Перевіримо для заданого трикутника виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора: 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25². Отже, трикутник зі сторонами 15 см, 20 см і 25 см — прямокутний, звідки слідує, що його найбільшою стороною є гіпотенуза АС. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ВС² = АС • NC; Розглянемо прямокутний трикутник BNC. За теоремою Піфагора маємо: ВС² = BN² + NC²; BN² = ВС² - АС²; Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює її половині, тому

Відповідь. 12 см, 12,5 см.

443. За теоремою, оберненою до теореми Піфагора, маємо: (m² - n²)² + (2mn)² = m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m²)² + 2m²n² + (n²)² = (m² + n²)². Тому трикутник із заданими сторонами прямокутний, а числа складають піфагорову трійку.

444. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), ВС + 8 см, AD = 18 см, ВМ = 12 см. Проведемо висоти ВМ і CN, звідки ВМ = CN. АМВ = DNC за гіпотенузою і катетом. Тоді AM = ND як відповідні елементи рівних трикутників. AM = ND = (AD - BC) : 2; AM = ND = (18 - 8) : 2 = 5 (см). Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За теоремою Піфагора одержимо: АВ²= AM² + ВМ²; Р = АВ + ВС + СВ + AD; P = 13 + 8 + 13 + 18 = 52 (см). У чотирикутник можна вписати коло, якщо суми протилежних сторін рівні: АВ + CD = ВС + AD; 13 + 13 = 8 + 18; 26 = 26. Отже, в трапецію можна вписати коло.

Відповідь. 52 см, можна вписати коло.

445. Нехай ABCD— прямокутна трапеція ( A = 90°, AB||CD), АВ = 28 м, CD = 21 м, AD = 24 м. Чотирикутник AMCD— прямокутник, тому MC = AD, AM = CD. За аксіомою вимірювання відрізків AB = АМ + MB; МВ = АВ - АМ; MB = 28 - 21 = 7 (м). Розглянемо прямокутний трикутник ВМС. За теоремою Піфагора ВС² = ВМ² + MС²;

Відповідь. 25 м.

446.

І випадок. Похилі містяться з одного боку від перпендикуляра. Нехай АВ = 8 см, АС = 10 см, AD = 17 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора одержимо: АС² - АВ² + ВС²; ВС² = АС²- АВ²; Розглянемо прямокутний трикутник ABD. За теоремою Піфагораодержимо: AD² = АВ² + BD²; BD² = AD² -АВ²; За аксіомою вимірювання відрізків BD = ВС + CD; CD = BD - ВС; CD = 15 - 6 = 9 (см).

II випадок. Похилі містяться з різних боків від перпендикуляра. Нехай АВ = 8 см, АС = 10 см, AD = 17 см. Розглянемо прямокутний трикутник ABC. За теоремою Піфагора одержимо: АС² = АВ²+ ВС²; ВС² = АС² -АВ²; Розглянемо прямокутний трикутник ABD. За теоремою Піфагора одержимо: AD² = AB² + BD²; BD² = AD² - АВ²; За аксіомою вимірювання відрізків DC = DB + ВС; DC = 15 + 6 = 21 (см).

Відповідь. 9 см або 21 см.

447.

а) Нехай ABC— трикутник, АВ = 15, АС = 52, ВС = 41. Проведемо висоту BD. Нехай AD = х, тоді DC = 52 - х За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD², звідки BD² = AB² - AD²; ВС² = DC² + BD², звідки BD² = BC² - DC². Тоді AB² - AD² = ВС² - DC²; 15² - X² = 41² - (52 - X)²; 15² - x² = 41² - 52² + 104x - x²; 104x = 225 - 1681 + 2704; 104x = 1248; x = 12. Отже, AD = 12. Розглянемо трикутник ADB. За теоремою Іііфагора маємо: AB² = AD² + BD²; BD² = АВ² — AD²;

б) нехай ABC— трикутник, АВ = 10, АС = 21, ВС = 17. Проведемо висоту BD. Нехай AD = x, тоді DC = 21 - x. За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AD² + BD², звідки BD² = АВ² - AD²; BC² = DC² + BD², звідки BD² = BC² - DC². Тоді АВ² - AD² = ВС² - DC²; 10² - x²= 17² - (21 - x)²; 10² - x² = 17² - 21² + 42x - x²; 42x = 100 - 289 + 441; 42x = 252; x = 6. Отже, AD = 6. Розглянемо трикутник ADB. За теоремою Піфагораодержимо: AB² = AD² + BD², BD² = AB² - AD²;

Відповідь, а) 9; б) 8.

448. Нехай ABC— трикутник, AD - АС = 8 см, DB = 20 см, ВС = 8 см. Нехай AD = x см, тоді АС = (х - 8) см. За теоремою Піфагора маємо: AD² = AB² + BD², звідки AB² = AD² - BD²; AC² = AB²+ BC², звідки AB² = АС² - ВС². Тоді AD² - BD² = AC² - ВС²; x² - 20² = (x - 8)² - 8²; x² - 20² = x² - 16x + 64 - 8²; 16x = 400; x = 25. Отже, AD = 25 (см). Розглянемо трикутник ABD. За теоремою Піфагора одержимо: AD² = AB² + BD²; AB² = AD² - BD²;

Відповідь. 15 см.

449. Нехай (О; R) — коло, АС — діаметр, АВ = 20 см, ВС = 15 см. Проведемо висоту BD трикутника ABC. Оскільки трикутник ABC вписаний у коло і спирається на діаметр, то він прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: АС² = АВ² + ВС²; За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ВС² = CD • АС; За теоремою Піфагора з трикутника BDC маємо: ВС² = BD² + CD²; BD² = ВС² - CD²;

Відповідь. 12 см.

450. Нехай (О; R) — коло, АВ = 9 см, ВС = 40 см, АС = 41 см. Перевіримо для заданого трикутника виконання теореми, оберненої до теореми Піфагора: АВ² + ВС² = 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 = 41² = АС². Рівність є правильною, тому трикутник зі сторонами 9 см, 40 см, 41 см — прямокутний. Тоді радіус кола дорівнює половині діаметра:

Відповідь. 20,5 см.

451. Нехай (В; ВМ) і (С; CN) — два кола, які дотикаються зовні, ВМ = 4 CM, CN = 9 см, AN— спільна дотична. Оскільки AN— дотична, то за властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, BMAN, CNAN, звідки AMB = ANC = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники АМВ і ANC. У них кут А — спільний, тому вони подібні за рівним гострим кутом: АМВ ~ ANC. За означенням подібних трикутників маємо, щоЗа аксіомою вимірювання відрізків АС = АВ + BC, АС = АВ + 4 + 9 = (АВ + 13) (см). Тоді9АВ = 4(АВ + 13); 9АВ = 4АВ + 52; 5АВ = 52; АВ = 10,4 (см), звідки АС = 10,4 + 13 = 23,4 (см). За теоремою Піфагора маємо: АВ² = AM² + MB²; AM² = АВ² - MB²; З трикутника ANC за теоремою Піфагора маємо: АС² = AN² + NC²; AN² = АС² - NC²; За аксіомою вимірювання відрізків AN = AM + MN; MN = AN - AM; MN = 21,6 - 9,6 = 12 (см).

Відповідь. 12 см.

452. Нехай (M; MB) і (N; NC) — два кола, які дотикаються зовні, АВ = 5 см, АС = 12 см, AN— спільна дотична. МА = MB як радіуси, тому трикутник АВМ — рівнобедрений. Аналогічно NA = NC як радіуси, тому трикутник ACN— рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника одержимо За теоремою про суму кутів трикутника маємо: BMA + ABM + BAM = 180°; BMA = 180° - ( ABM + BAM); Аналогічно Радіуси, проведені в точку дотику, перпендикулярні до дотичної, тому МВВС і NCBC. Тоді Далі, MAB + BAC + CAN = 180°; За теоремою про суму кутів трикутника ABC + BCA + BAC = 180°; Звідси слідує, що BAC = 90°, тобто трикутник ВАС— прямокутний. За теоремою Піфагора ВС² = АВ² + АС²;

Відповідь. 13 см.

453. Нехай ABCD — трапеція (AD||BC), АС i BD — діагоналі, ACBD, АС = 1 м, BD = м. Проведемо через вершину трапеції В пряму ВK||АС. Оскільки AD||BC, то KА||ВС, крім того, ВK||АС, тому чотирикутник KВСА — паралелограм. За властивістю протилежних сторін паралелограма KА = ВС. DOA = DBK = 90° як відповідні при паралельних прямих KВ і АС та січній BD, звідки слідує, що трикутник DBK— прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: KD² = KB² + BD²; За значенням середньої лінії трапеціїЗа аксіомою вимірювання відрізків KD = KА+ AD. Але KА = ВС. Тому одержимо KD = ВС + AD, звідки

Відповідь. 1 м.

454. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), BD — висота, BD = 24 см, BF— медіана, BF = 25 см. Оскільки медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює її половині, тому АС = 2BF; АС = 2 • 25 = 50 (см). Нехай AD = х см, тоді DC = (50 - х) см. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: BD² = AD • DC; 24² = х(50 - х); х² - 50х + 576 = 0; x₁ = 18, x₂ = 32. Отже, AD = 18 см, тоді DC = 50 - 18 = 32 (см) або AD = 32 см, тоді DC = 50 - 32= 18 (см). Розглянемо прямокутний трикутник ADB. За теоремою Піфагора одержимо: AB² = AD² + BD²; З трикутника BDC за теоремою Піфагора ВС² = BD² + DC²;Тоді

Відповідь. 10 см.

455. Нехай ABCD — рівнобічна трапеція (AD||BC, АВ = CD), (О; R) — вписане коло. У трапецію можна вписати коло, якщо суми довжин протилежних сторін рівні, тобто АВ + CD = AD + ВС. Оскільки AB = CD, то маємо: 2AB = AD + ВС; Проведемо висоти ВМ і CN, звідки ВМ = CN. АМВ = DNC за гіпотенузою і катетом. Тоді AM = ND як відповідні елементи рівних трикутників: AM = ND = (AD - BC) : 2; Розглянемо прямокутний трикутник АМВ. За теоремою Піфагора АВ² = AM² + ВМ²; ВМ² = АВ² - AM². Тоді одержимо:

456. Нехай ABCD — чотирикутник, АС і BD — діагоналі, ACBD. Застосуємо теорему Піфагора до трикутників АОВ, ВОС, COD і AOD. Тоді ВС² + AD² = ВО² + ОС² + АO² + OD² = BO² +AO² + ОС² + OD² = AB² + CD².

Обернене твердження. Якщо суми квадратів довжин протилежних сторін чотирикутника рівні, то його діагоналі перпендикулярні.

457. Нехай ABC — прямокутний трикутник (A = 90°), KМЕС, KМ = АK. За теоремою Піфагора для трикутника САK маємо: СK² = АС² + АK²; АС² = СK² - АK²; За теоремою Піфагора для трикутника СKМ маємо: СK² = МС² + KМ²; СK² = МС² + АK²; МС² = СK² - АK²;Отже, АС = МС. Тоді САK = СМK як прямокутні за двома катетами. З рівності трикутників випливає рівність відповідних елементів, тому ACK = MCK, а це означає, що СK — бісектриса кута ABC.

458. Нехай ABC — гострокутний трикутник, АВ > ВС, BD — висота. За теоремою Піфагора для трикутника ADB маємо: AB^{2 =} AD² + BD²; AD² = AB² - BD²; За теоремою Піфагора для трикутника CDB маємо: ВС² = DC² + BD²; DC² = ВС² - BD²; Тоді оскільки АВ > ВС, маємо, що AD > DC.

Проведемо перпендикуляри АЕ і CF до прямої BD. Прямокутні трикутники AED і CFD подібні, оскільки їхні гострі кутипри вершині D рівні як вертикальні. З подібності цих трикутників маємо:3 іншого боку, прямокутні трикутники АЕВ і CFB також подібні, оскільки мають рівні гострі кути при вершині В, звідкиТодіОскільки АВ > ВС, то AD > DC.