Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Єршова А.П. 2016-2020

Розділ ІІ. Подібність трикутників. Теорема Піфагора
§ 12. Подібність прямокутних трикутників

386.

а) Ні, якщо спільним є прямий кут. Наприклад, трикутники ABC і МВС не подібні (див. рис.);

б) так;

в) так, бо за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника гострі кути першого трикутника дорівнюють 20° і 90° - 20° = 70°, а другого — 70° і 90° - 70° = 20°;

г) ні, бо за властивістю гострих кутів прямокутного трикутника гострі кути першого трикутника дорівнюють 50° і 90° - 50° = 40°, а якщо в другому трикутнику катет удвічі менший за гіпотенузу, то він лежить проти кута 30°.

387. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: h_c² = а_с • b_с. Тому вона не може бути меншою за кожну з проекцій, бо дана рівність не виконуватиметься. Дорівнювати проекції катета на гіпотенузу може, але тоді й вона має дорівнювати проекцій іншого катета на гіпотенузу.

388.

а) У прямокутному трикутнику катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу, тому a² = с • а_с і b² = с • b_с.

а) Якщо а_с < b_с, то а² < b²; а < b;

б) якщо а > b, то а² > b²; с • а_с > с • b_с; а_с > b_с.

389.

1) Не можуть;

2) можуть. У прямокутних трикутників АСВ і BCD спільний катет ВС, ABC = BDC, ВАС = DBC, тому АСВ ~ BCD за двома кутами (за І ознакою подібності трикутників) (див. рис.).

390. Перший учень правий, бо у прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

391.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (В = 90°). Вимірювання встановлюємо, що AD = 6 мм, DC = 19 мм. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: BD² = AD • DC;Вимірюванням встановлюємо, що BD = 11 мм;

б) нехай ABC — прямокутний трикутник (В = 90°). Вимірювання встановлюємо, що AD = 6 мм, DC = 19 мм. За аксіомою вимірювання відрізків AC = AD + DC; АС = 6 + 19 = 25 (мм). За теоремою про метричні співвідношення впрямокутному трикутнику маємо: AB² = АС • AD;ВС² = АС • DC;Вимірюванням встановлюємо, що АВ = 12 мм, ВС = 22 мм.

392. ABC ~ ANK ~ АMN ~ NMK.

393.

а) Трикутники ВАС і ВМK прямокутні й ABC =МВK як спільний гострий кут. Тому ВАС ~ ВМK за рівним гострим кутом;

б) трикутники АKВ і СМВ прямокутні й ВАK = ВСМ як протилежні кути паралелограма. Тому АKВ ~ СМВ за рівним гострим кутом.

394.

а) Трикутники ВАС і ВKМ прямокутні й ВСА = ВМK як відповідні при паралельних прямих АС і KМ та січній ВС. Тому ВАС ~ ВLМ за рівним гострим кутом;

б) трикутники FAD і FBO прямокутні й AFD = BFO як спільний гострий кут. Тому FAD ~ FBO за рівним гострим кутом; трикутники FBO і DCO прямокутні й BOF = COD як вертикальні. Тому FBO ~ DCO за рівним гострим кутом. Отже, FAD ~ FBO ~ DCO.

395. Якщо два прямокутні трикутники мають по два пропорційні катети, то такі трикутники подібні. Катети прямокутних трикутників утворюють прямий кут. Тоді ці трикутники подібні за двома сторонами і кутом між ними (за І ознакою рівності трикутників).

396. Нехай АСВ і AED— прямокутні трикутники, ВС = 4 м, АС = 6 м, АЕ = 90 м. ACB = AED = 90°, A — спільний. Отже, АСВ ~ AED як прямокутні за гострим кутом. Тому

Відповідь. 60 м.

397. Нехай АСВ і AED — прямокутні трикутники, ED = 9,2 м, АС = 2,7 м, ВС = 1,8 м. ACB = AED = 90°, A — спільний. Отже, АСВ ~ AED як прямокутні за гострим кутом. Тому

Відповідь. 13,8 м.

398.

а) Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), AD = 4 CM, DB = 25 см. У прямокутному трикутнику висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу:

б) нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°), АВ = 50 см, AD = 18 см. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AD + DB; DB = AB - AD; DB = 50 - 18 = 32 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: АС² = АВ • AD;

Відповідь, а) 10 см; б) 30 см, 40 см.

399. Нехай ABC — прямокутний трикутник (B = 90°), AD = 4,5 см, DC = 8 см. За аксіомою вимірювання відрізків АС = AD + DC; АС = 4,5 + 8 = 12,5 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: AB² = AC • AD; ВС² = АС • DC; Тоді Р_АВС = АВ + ВС + АС; Р_АВС = 7,5 + 10 + 12,5 = 30 (см).

Відповідь. 30 см.

400. Нехай AABC ~ А₁В₁С₁, BD і B₁D₁ — висоти. Розглянемо прямокутні трикутники BDC і B₁D₁C₁. У них C = C₁ як відповідні куги подібних трикутників. Отже, ABDC ~ B₁D₁C₁ за гострим кутом. Томутобто відношення висот, проведені з вершин відповідних кутів, дорівнює коефіцієнту подібності.

401. Нехай ABC — прямокутний трикутник (A = 90°), AKLM— вписаний квадрат.

а) ВАС ~ BKL за гострим кутом, бо в них гострий кут В — спільний; BAC ~ LMC за гострим кутом, бо в них гострий кут С — спільний. Отже, маємо, що BAC ~ BKL ~ LMC;

б) ВK = 9 см, МС = 4 см. За означенням подібних трикутників BKL і LMC маємо, щоАле за означенням квадрата KL = LM, тому KL² = ВK • МС;

Відповідь, б) 6 см.

402. Нехай (В; ВМ) і (С; CN) — два кола, які дотикаються зовні, ВМ = 4 см, CN = 6 см, AN— спільна дотична. Оскільки AN — дотична, то за властивістю радіуса, проведеного в точку дотику, BMAN, CNAN, звідки AMB = ANC = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники АМВ і ANC. У них кут А — спільний, тому вони подібні за рівним гострим кутом: АМВ ~ ANC. За означенням подібних трикутників маємо, що За аксіомою вимірювання відрізків АС = АВ + ВС; АС = АВ + 4 + 6 = (АВ + 10) (см). Тоді6АВ = 4(АВ + 10); 6АВ = 4АВ + 40; 2АВ = 40; АВ = 20 (см), звідки АС = 20 + 10 = 30 (см).

Відповідь. 20 см, 30 см.

403. Нехай ABCD— паралелограм, ВK і ВМ— висоти, ВМ = 4 см, AD : CD = 2 : 3. Оскільки ВK і ВМ— висоти, то AKB = CMB = 90°, тому трикутники АКВ і СМВ — прямокутні. A = Cяк протилежні кути паралелограма, звідки маємо, що АКБ ~ СМВ за рівним гострим кутом. За означенням подібних трикутників маємо, щоЗа властивістю протилежних сторін паралелограма, якщо AD : CD = 2 : 3, то AB : BC = 3 : 2,. Тоді

Відповідь. 6 см.

404. Нехай ABC— прямокутний трикутник (C = 90°). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: а² = са_с; b² = cb_c, звідки

405. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: а² = са_с, b² = cb_c, звідки

406. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), CD = 24 CM, AD : DB = 9 : 16. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: Нехай AD = 9х см, тоді DB = 16х см. Тоді 24 = 12х; х = 2. Отже, AD = 9 • 2 = 18 (см), тоді DB = 16 • 2 = 32 (см). За аксіомою вимірювання відрізків AB = AD + DB; АВ = 18 + 32 = 50 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ВС² = DB • АВ;

Відповідь. 30 см, 40 см.

407. Нехай (О; R) — коло, АС = 10 см, СВ = 8 см, CDAB, CD = 9 см. Позначимо точку М перетину висоти CD з колом і добудуємо трикутник АМВ. Він прямокутний (AMB = 90°), бо гіпотенуза АВ дорівнює діаметру. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = АС + СВ; АВ = 10 + 8 = 18 (см). За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: СМ² =АС • СВ; Оскільки 8,94 < 9, то CM < CD, а це означає, що точка D лежить поза колом.

Відповідь. Поза колом.   

408. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), AD = DC, BD AC, DN BC, АМ BС, BN = 4 см, NC = 2,25 см. Оскільки AD = DC, то BD— медіана, AC = 2DC. Так як медіана проведена до основи рівнобедреного трикутника, то є й висотою. Розглянемо прямокутні трикутники DNC і АМС. У них кут С — спільний, тому DNC ~ АМС за рівним гострим кутом. За означенням подібних трикутників маємо, щоРозглянемо прямокутний трикутник BDC. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику: DN² = BN • NC; Тоді AM = 2DN; АМ = 2 • 3 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

409. Нехай ABCD — ромб, (О: R) — вписане коло, AN = 20 CM, ND = 5 см. За властивістю діагоналей ромба вони є перпендикулярними, звідки AOD = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник AOD. Радіус коло, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної, тому ON AD. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: ON² = AN• ND; Якщо радіус кола дорівнює 10 см, то його діаметр, а значить і висота ромба, дорівнює NK = 2ON; NK = 2 • 10 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

410. Нехай ABCD— паралелограм, ВМ — висота, АС— діагональ, AM : MD = 1 : 7. Проведемо висоту паралелограма з вершини С, яка в перетині з продовженням сторони AD дасть точку N. Тоді А АМВ = DNC за гіпотенузою і катетом, бо АВ= CD як протилежні сторони паралелограма, ВМ = CN як висоти паралелограма, звідки АМ = DN. Нехай AM = х см, тоді MD = 7х см. За аксіомою вимірювання відрізків AD = АМ + MD; AD = х + 7х = 8х (см); AN = AD + DN; AN = 8x + х = 9х(см); AC = AK + KC. Розглянемо прямокутні трикутники АМK і ANC. У них спільний кут А, тому АМК ~ ANC за рівним гострим кутом. За означенням подібних трикутників маємо, щотоді 9АK = АK + KС; 8АK= KС;

Відповідь. 1 : 8.

411. Нехай ABCD — паралелограм, BD — діагональ, AKBD, ВK : KD = 3 : 7. Розглянемо прямокутні трикутники AKD і МKВ. Тоді KAD = KMB як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD та січній МА. Тоді AKD ~ МКВ за рівним гострим кутом. За означенням подібних трикутників маємо, що AD = BC як сторони паралелограма. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВМ + МС; МС = ВС — ВМ; тоді маємо: 3(ВМ + МС) = 7BM; 3ВМ + 3МС = 7BM; 3МС = 4BM;

412. Нехай ABCD— паралелограм, АС — діагональ, AN DC, АМ ВС. Розглянемо прямокутні трикутники AND і A MB. D = B як протилежні кути паралелограма. Тоді AND ~ АМВ за рівним гострим кутом. За означенням подібних трикутників маємо, щояк протилежні сторони паралелограма, тому. Отже, сторони AN і AMтрикутника MAN пропорційні сторонам ВС і АВ трикутника ABC. Оскільки AN DC і АМ 1ВС, то NAM = ABC. Отже, MAN ~ АВС за двома сторонами і кутом між ним.

413. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету й гіпотенузі іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні. Нехай ABC і А₁В₁С₁ — задані прямокутні трикутники,Проведемо висоти заданих трикутників до гіпотенуз. Оскільки BDA ~ СВ А і CDB ~ СВА, то ТодіЗа аксіомою вимірювання відрізків AC = AD + DC. Тоді АС² = АВ² + СВ². За теоремою Піфагора Аналогічно для іншого трикутника маємо:Тоді маємо:Отже, АВС ~ A₁B₁C₁ за трьома сторонами.

414. Нехай ABC — прямокутний трикутник (C = 90°), CD — висота, AD : DB = 1 : 4. За теоремою про метричні співвідношення в прямокутному трикутнику маємо: CD² = AD • DB;Нехай AD = х, тоді DB = 4х. За аксіомою вимірювання відрізків АВ = AD + DB; АВ = х + 4х = 5х. ТодіТоді , висота менша за гіпотенузу в 2,5 разу.

415. Нехай ABC— прямокутний трикутник (B = 90°), A = 36°. За теоремою про сум кутів прямокутного трикутника A + C = 90°; C = 90° - A; C = 90° - 36° = 54°. Оскільки ABC — прямокутний трикутник, то центр описаного навколо нього кола міститься на середині гіпотенузи. Тоді ОА = ОВ = ОС як радіуси. Розглянемо рівнобедрений трикутник АОВ (ОА = ОВ) з основою А В. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника B = A = 36°. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: A + B + AOB = 180°; AOB = 180° - (A + B); AOB -180°- (36° + 36°) = 108°. Кути АОВ і ВОС — суміжні, тому AOB + BOC = 180°; BOC = 180° - AOB; BOC = 180° - 108° = 72°.

Відповідь. 108°, 72°.