Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 4. Ромб і його властивості

112. На мал. 51, мал. 53, мал. 55.

113. Див. рисунок.

114. Див. рисунок.

115. Р = 4а, 4а = 28, а = 7 (см).

Відповідь. 7 см.

116. Р = 4а, 4 • 5 = 20 (дм).

Відповідь. 20 дм.

117. Нехай ABCD— ромб, C = 50°. Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то BCO = OCD. За аксіомою вимірювання кута маємо BCO = BCD : 2, BCO = 50° : 2 = 25°.

Відповідь. 25°.

118. Нехай ABCD — ромб, B = 110°. Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то ABO = OBC. За аксіомою вимірювання кута маємо ABO = ABC : 2, ABO = 110° : 2 = 55°.

Відповідь. 55°.

119. Нехай ABCD— ромб, ABO = 60°. Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то ABO = OBC. Тоді ABC = 2 • ABO, ABC = 2 • 60° = 120°.

Відповідь. 120°.

120. Нехай ABCD— ромб, BCO = 20°. Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то BCO = OCD. Тоді BCD = 2 • BCO, BCD = 2 • 20° = 40°.

Відповідь. 40°.

121. Нехай ABCD— ромб, BAD = 36°. Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні, то МОВ — прямокутний (O = 90°). BAO = 36° : 2 = 18° (властивість діагоналей ромба). Тоді за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ABO = 90°- 18° = 72°.

Відповідь. 18°, 12°, 90°.

122. Нехай ABCD— ромб, ABC = 118°. Оскільки діагоналі ромба перпендикулярні, то ВОС — прямокутний (O = 90°). OBC = 118° : 2 = 59° (властивість діагоналей ромба). Тоді за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ABO = 90° - 59° = 31°.

Відповідь. 31 °, 90°, 118°.

123. Оскільки у ромба всі сторони рівні, то довжина однієї сторони дорівнює 15 : 3 = 5 (см), тоді Р = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

124. Оскільки у ромба всі сторони рівні, то довжина однієї сторони дорівнює 18 : 2 = 9 (см), тоді Р = 4 • 9 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

125. Нехай ABCD — ромб, 2 = 66°. Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Тоді В = 180° - 2 = 180° - 66° = 114°. Маємо 1 = B : 2 = 114° : 2 = 57° (властивість діагоналей ромба).

Відповідь. 57°.

126. Нехай ABCD — ромб, 1 = 58°. B = 2 • 1 = 2 • 58° = 116° (властивість діагоналей ромба). Сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°. Маємо 2 = 180° - A = 180° - 116° = 64°.

Відповідь. 64°.

127. Нехай ABCD — ромб, 1 = 55°. 3 = BAD як відповідні кути при паралельних прямих AB і CD та січній AD. Розглянемо ДBAD. У ньому AB = AD як сторони ромба. Звідси ДBAD — рівнобедрений, тому ABD = ADB = 55° як кути при основі. За теоремою про суму кутів трикутника: ABD + ADB + BAD = 180°, BAD = 180°- (55° + 55°) = 180° - 110° = 70°. Отже, 3 = 70°.

Відповідь. 70°.

128. Нехай ABCD — ромб, 3 = 50°. BAD = 3 = 50° як відповідні кути при паралельних прямих AB і CD та січній AD. Розглянемо BAD. У ньому AB = AD як сторони ромба. Звідси BADрівнобедрений, тому ABD = ADB як кути при основі. За теоремою про суму кутів трикутника маємо ABD + ADB + BAD = 180°, 2 • ABD + BAD = 180°, 2 • ABD = 180°- BAD, ABD = (180° - 50°) : 2 = 65°. Отже, 1 = 65°.

Відповідь. 65°.

129. Нехай ABCD — ромб, AB = BD. Оскільки AB = AD як сторони ромба, то ABD — рівносторонній. Тоді A = C =60°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то B = D = 180° - 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°.

130. У ромба і паралелограма протилежні кути попарно рівні; протилежні сторони попарно паралельні; діагоналі точкою перетину діляться навпіл; сума сусідніх кутів дорівнює 180°.

131.

1) Оскільки сусідні кути ромба в сумі дають 180°, тому гострі кути ромба в сумі дорівнюють 80°. Врахувавши, що протилежні кути ромба рівні, маємо: 80° : 2 = = 40° становить гострий кут, а тупий — 180° - 40° = 140°, оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°.

Відповідь. 40°, 140°, 40°, 140°;

2) оскільки протилежні кути ромба рівні, тоді нехай один кут ромба дорівнює x, а сусідній— x + 20⁰. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, маємо х + х + 20° = 180°, 2х = 160°, х = 80°. Отже, гострий кут дорівнює 80°, а тупий — 180° - 80° = 100°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°.

132.

1) Оскільки сусідні кути ромба в сумі дають 180°, а сума гострих кутів дорівнює менше 180°, то 210° становить сума тупих кутів ромба. Враховуючи, що протилежні кути ромба рівні, маємо 210° : 2 = 105° — становить тупий кут, а гострий — 180° - 105° = 75°.

Відповідь. 75°, 105°, 75°, 105°;

2) оскільки протилежні кути ромба рівні, тоді нехай один кут ромба дорівнює х, тоді інший — х - 50°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, маємо x + x - 50° = 180°, 2x = 230°, x = 115°. Отже, тупий кут дорівнює 115°, а гострий — 180° - 115° = 65°.

Відповідь. 65°, 115°, 65°, 115°.

133.

1) Ні, оскільки це може бути трапеція з перпендикулярними діагоналями;

2) так;

3) так;

4) ні, оскільки прямокутник у якого сусідні сторони рівні буде ромбом.

134. Нехай ABCD— ромб, OBC - OCB = 10°. Нехай OCB = x, тоді OBC = x + 10°. ВОС — прямокутний (O = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо x + 10° + x = 90°, 2x = 80°, x = 40°. Отже, OCB = 40°, тоді OBC = 40° + 10° = 50°. Оскільки діагоналі ромба ділять кути навпіл, тоді C = 2 • 40° = 80°, B = 2 • 50° = 100°.

Відповідь. 80°, 100°, 80°, 100°.

135. Нехай ABCD — ромб, OCB : OBC = 2 : 3. Нехай OCB = 2x, тоді OBC= 3x. ВОС — прямокутний (O = 90°). За теоремою про суму гострих куті прямокутного трикутника маємо: 2x+ 3x = 90°, 5x = 90°, x = 18°. Отже, OCB = 2 • 18° = 36°, OBC = 3 • 18° = 54°. Оскільки діагоналі ромба ділять кути навпіл, то C = 2 • 36° = 72°, B = 2 • 54° = 108°.

Відповідь. 72°, 108°, 72°, 108°.

136.

1) План виконання дій. Проводимо пряму m і позначаємо на ній довільну точку А. Від точки А на прямій m відкладаємо діагональ АС. Проводимо кола радіуса АВ з центрами у точках А і С. Дані кола перетинаються в точках В і D. Сполучаємо послідовно точки А, В, С і D. ABCD — шуканий ромб.

2) План виконання дій. Проводимо пряму m і позначаємо на ній довільну точку A. Від точки А відкладаємо на прямій більшу діагональ АС. Проводимо серединний перпендикуляр l до відрізка АС. Тобто будуємо кола з центрами у точках А і С радіуса більшого за половину відрізка АС. Дані кола перетнуться у точках М і N. Через точки М і N проводимо пряму l. Ділимо відрізок BDнавпіл. Будуємо кола з центрами у точках В і D радіуса більшого за половину відрізка BD. Дані кола перетнуться у точках М₁ і N₁. Через точки М₁ і N₁ проводимо пряму n. Від точки О в одну та іншу сторону відкладаємо половину відрізка BD. Одержуємо точки В і D, які сполучаємо з точками А і С. ABCD — шуканий ромб.

137. План виконання дій. Будуємо заданий кут А. У заданому куті M₁A₁N₁ ставимо ніжку циркуля в точку А і будуємо коло радіуса A₁N1. На прямій m, в точці А будуємо коло радіуса А₁М₁, яке перетне пряму m у точці М. Тоді в точці М будуємо коло радіуса M₁N₁. Дані кола перетнуться в точці N. Проводимо промінь AN. На прямих m і AN, від точки А, відкладаємо відрізок AD і АВ радіуса АВ. Проводимо nm через точку В. Для цього будуємо коло з центром у точці В, яке перетне пряму m у точках R, S. Проводимо кола радіуса більшого за SL з центрами в точках R і S. З’єднуємо точку В з точкою перетину кіл — точкою F. Аналогічно проводимо через точку В ln. Від точки В на прямій l відкладаємо відрізок ВС = АВ. З’єднуємо точки С і D. ABCD — шуканий ромб.

138. Нехай ABCD— ромб, ВМ і BN — висоти. Оскільки BMAD, BNCD, то AMB = CNB = 90°. Маємо: АМВ = CNB за гіпотенузою і гострим кутом (АВ= ВС, BAM = BCN). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Звідси ВМ = BN.

139. Нехай ABCD— ромб, ВK і DL — висоти. Оскільки BKAD, DLAB, то ALD = AKB = 90°. Маємо: ALD = АKВ за гіпотенузою і гострим кутом (BAD — спільний, AB = AD як сторони ромба). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Отже, ВK = DL.

140. Нехай ABCD— ромб, СK і CL — висоти, LCK = 110°. Оскільки CLAB, то CLDC. Звідси KCD = LCK - LCD =110°- 90° = 20°. Аналогічно СKAD, тому СKВС. Звідси LCB = LCK - BCK = 110° - 90° = 20°. Маємо BCD = LCK - (LCB + KCD), BCD = 110° - (20° + 20°) = 110° - 40° = 70°. Отже, A = С = 70°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то B = D = 180° - 70° = 110°.

Відповідь. 70°, 110°, 70°, 110°.

141.

І спосіб.

Нехай ABCD — ромб, ВK і BL — висоти, KBL = 50°. Оскільки BLDC, то BLAB. Звідси ABK = SBL - KBL = 90° - 50° = 40°. Розглянемо АВK (ABK = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: BAK = 90° - 40° = 50°. Отже, A - C = 50°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то B = D - 180° - 50° = 130°.

II спосіб.

Нехай ABCD — ромб, ВK і BL — висоти, KBL = 50°. Розглянемо чотирикутник BKLD. Оскільки BLDC, ВK AD, то BKD = BLD = 90°. Сума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Маємо KDL = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то A = C = 180° - 130° = 50°. Відповідь. 50°, 130°, 50°, 130°.

142.

1) Нехай ABCD — ромб, ВK — висота, KBD = 30°, BD = а. Розглянемо трикутник BKD (K = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника BDK = 90° - 30° - 60°. Оскільки діагоналі ромба ділять його кути навпіл, то D = B = 2 • 60° = 120°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то A = C = 180° - 120° = 60°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°;

2) нехай ABCD — ромб, ВK— висота, KBD = 30°, BD = а. Розглянемо трикутник BKD (K = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника BDK = 90° - 30° = 60°. Оскільки протилежні кути ромба рівні, а діагональ ділить їх навпіл, то DBA = 60°. Отже, AABD рівносторонній, а тому АВ = BD = а. Звідси Р = 4а (см).

Відповідь. 4а см.

143.

1) Нехай ABCD — ромб, ВK— висота, АK = KD. Розглянемо ABD. Оскільки висота ВK є й медіаною, то ABD — рівнобедрений. Звідси BAD = BDA. Діагональ ділить кути навпіл. А тому ABD = BDA. Звідси ABD — рівносторонній. Отже, A = C = 60°. Оскільки сума сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то B - D = 180° - 60° = 120°.

Відповідь. 60°, 120°, 60°, 120°;

2) нехай ABCD — ромб, ВK — висота, АK = KD, BD = b. Розглянемо ABD. Оскільки висота ВK є й медіаною, то ABD — рівнобедрений. Звідси АВ = BD = b. Отже, Р = 4b (см).

Відповідь. 4b см.

144.

1) Нехай ABCD — ромб, АМ = CN. АМВ = AMD = CNB = CND за двома сторонами і кутом між ними (АВ = AD = СВ = CD як сторони ромба, AM = CN за умовою, BAM = DAM = DCN = BCN за властивістю діагоналей ромба). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Звідси ВМ = MD = BN = ND, AMD = AMB = CND = CNB. Оскільки AMB = CND, а вони є суміжними до внутрішніх різносторонніх кутів при прямих ВМ і ND та січній MN. Звідси ВМ||ND. Отже, MBND — паралелограм з рівними сторонами, а тому MBND — ромб;

2) нехай ABCD— ромб, AM = CN. АМВ = CND за двома сторонами і кутом між ними (АВ = СВ як сторони ромба, AM = CN за умовою, BAM = DCN за властивістю діагоналей). У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Звідси ВМ = ND, BMA = CND. Дані кути є внутрішні різносторонні при прямих ВМ і ND та січній NM. Звідси ВМ||ND. Отже, у чотирикутнику BMDNпротилежні сторони паралельні й рівні, тому BMDN— паралелограм. ANBM = ANDM за двома сторонами і кутом між ними (ВМ = ND за доведеним, NM — спільна, BMN = DNM за доведеним). Звідси BN = MD. Оскільки сусідні сторони у паралелограма рівні, тому BMDN— ромб.

145. Нехай ABCD— прямокутник, М, N, K і Р — середини сторін прямокутника. Оскільки М, N, K і Р — середини сторін прямокутника, то BN = NC = АР = PD і АМ = MB = СK = KD. Тоді MBN = NCK = KDP = AMAP за двома катетами. У рівних трикутниках рівні відповідні елементи. Звідси MN = NK = KР = РМ. Розглянемо рівні трикутники BCD і BAD. У них NK і МР — середні лінії, а тому NK||BD і МР||BD (середня лінія трикутника паралельна до основи). Звідси маємо NK|| МР. Аналогічно MN||РK. MNKP — паралелограм, у якого рівні сторони. Отже, MNKP— ромб.

146. Нехай заданий рівносторонній трикутник ABC, AMNK — ромб, P_ANMK = 40 см. Знайдемо сторону ромба: 40 : 4 = 10 (см). Оскільки АВС — рівносторонній, то А = В = АС = 60°. Тоді CKN = АСАВ = 60° як відповідні кути при паралельних прямих KN і AM та січній АС. Аналогічно BMN = BAC = 60° як відповідні кути при паралельних прямих MN і АK та січній АВ. Отже, CKN і BMN — рівносторонні. Звідси CN = KN, NB = MN. Маємо СВ = CN + NB, СВ = 10 + 10 = 20 (см). Оскільки трикутник ABC — рівносторонній, то Р_ABC = 3 • 20 = 60 (см).

Відповідь. 60 см.

147. Нехай одна сторона паралелограма дорівнює 5x см, тоді інша — 2х см. За умовою задачі, 5х - 2х = 15. Звідси 3х = 15, х = 5. Тоді одна сторона дорівнює 5 • 5 = 25 (см), а інша — 2 • 5 = 10 (см). Отже, Р = 2 • (25 + 10) = 2 • 35 = 70 (см).

Відповідь. 70 см.

148. Нехай ABC — заданий трикутник, у якого АСВ = САВ + АВС. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів, несуміжних з даним, тобто ACD = САВ + АВС. Звідси АСВ = ACD. Оскільки кут BCD — розгорнутий, то АСВ = ACD = 90°. У трикутнику проти більшого кута лежить більша сторона. Отже, АВ — більша сторона трикутника. У прямокутному трикутнику медіана, проведена з вершини прямого кута С, дорівнює половині гіпотези АВ. Звідси АВ = 2 • 5=10 (см).

Відповідь. 10 см.

149.

1) Так. 2р - (р - 1) = (р + 1) (см) — сума двох інших сторін трикутника. Тоді одна сторона трикутника має бути менша за суму двох інших: (р - 1) < (р + 1);

2) ні. 2р — р = р (см) — сума двох інших сторін трикутника. Тоді одна сторона трикутника має бути менша за суму двох інших: р = р;

3) ні. 2р - (р + 1) = (р - 1) (см) — сума двох інших сторін трикутника. Тоді одна сторона трикутника має бути менша за суму двох інших: (р + 1) > (р - 1).

150. Нехай ABCD— чотирикутник, АР, BN і DM — бісектриси відповідно A, B і D. Оскільки АРBN і АРDM, то BN||DM (дві прямі перпендикулярні третій, паралельні між собою). Розглянемо .прямокутні трикутники AKN (AKN = 90°) і АKВ (AKB = 90°). Оскільки АР — бісектриса, то BAK = NAK. АK — спільна сторона. Отже, АKВ = AKN за катетом і гострим кутом. Звідси ABK = ANK.

Оскільки BN і DM— бісектриси, то ABN = NBM і NDM = MDC. Враховуючи, що BN||DM, то ABN = DMC і BNA = MDN як відповідні. Нехай ABN = ANB = х, тоді A = 180° - 2 • ABN = 180° - 2х, D = 2 • ANB = 2x. Маємо: A + D = 180° - 2х — 2x = 180°. Звідси за ознакою паралельності прямих AB||CD. Оскільки ANB = CBN є внутрішніми різносторонніми кутами, то за ознакою паралельності прямих ВС||AD.

151.

1) P = 4 • а, Р = 4 •5 = 20 (см), S = a², S = 5 ■• 5 = 25 (см²);

2) Р= 4 • 2,1 = 8,4 (дм), S = 2,1 • 2,1 =4,41 (дм²);

3)

4)

Відповідь. 1) 20 см, 25 см²; 2) 8,4 дм, 4,41 дм²; 3) 3 м,4) 6 дм,

152. Нехай ABC — трикутник, (О; r) — вписане коло. Проведемо діаметр KL і сполучимо точки L та А. Розглянемо трикутник KLA. Кут ALK — тупий, а тому найбільший у трикутнику. У трикутнику навпроти найбільшого кута лежить найбільша сторона, тому АK — найбільша, звідки АK > KL. Оскільки KL = d = 2r, то АK > d.