Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 3. Прямокутник і його властивості

77. Відповідь, мал. 40, мал. 42.

78. Оскільки у прямокутнику діагоналі рівні, тому BD = 5 см.

Відповідь. 5 см.

79. Р = 2(а + b), Р = 2(4 + 7) = 2 • 11 = 22 (см).

Відповідь. 22 см.

80. P = 2(a + b),Р = 2(2 + 5) = 2 • 7 = 14 (см).

Відповідь. 14 см.

81. Ні. У рівнобічній трапеції діагоналі між собою рівні, але вона не с прямокутником.

82. Нехай ABCD — прямокутник, BС = 8см, BD = 12 см. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, тому Р_BOC = ВО + ОС + ВС = 6 + 6 + 8 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

83. Нехай ABCD — прямокутник, АС = 12 см, Р_AOB = 16 см. Оскільки діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, тому Оскільки Р_MOB = АО + ВО + АВ= 2 • АО + АВ, АВ = Р_MOB - 2 • АО, АВ = 16 - 2 • 6 = 4 см.

Відповідь. 4 см.

84. 1), 2) У паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює 180°. Якщо жоден з кутів не є гострим (тупим), то дані кути рівні по 90°. Отже, даний паралелограм є прямокутником; 3) у паралелограма сума сусідніх кутів дорівнює 180°. Дана умова виконуватиметься, якщо три кути становлять по 90°. Отже, даний паралелограм є прямокутником.

85. Нехай ABCD — чотирикутник, A = B = C = 90°. Оскільки A і B — внутрішні односторонні кути і A + B = 180°, то за ознакою паралельності прямих AD||ВС. Аналогічно B і C— внутрішні односторонні і B = C = 180°, тому AB||CD. Звідси маємо, що ABCD— паралелограм, і в ньому є прямий кут. Отже, ABCD — прямокутник

.

86. Нехай ABCD — чотирикутник, A = B = C = D. У даному чотирикутнику протилежні кути рівні: A = C і B = D. За ознакою паралелограма ABCD — паралелограм, і в ньому є прямий кут. Отже, ABCD — прямокутник.

87.

1) Нехай ABCD— прямокутник, P = 40 см. Нехай одна зі сторін дорівнює х см, тоді інша — (х + 2) см. Р = 2 • (х + х + 2) = 40 (см), 4х + 4 = 40, 4x = 36, х = 9. Тоді одна сторона становить 9 см, а інша — 9 + 2 = 11 (см).

Відповідь. 9 см, 11 см, 9 см, 11 см;

2) нехай ABCD — прямокутник, Р = 40 см. Нехай одна сторона дорівнює 2х см, тоді інша — 3x см. Р = 2 • (2х + 3х) = 40, 10х = 40, х = 4. Тоді одна сторона становить 2 • 4 = 8 (см), а інша — 3 •4=12 (см).

Відповідь. 8 см, 12 см, 8 см, 12 см.

88.

1) Нехай ABCD — прямокутник, Р = 50 см. Нехай одна зі сторін дорівнює х см, тоді інша — (х - 5) см. Р = 2 • (х + х - 5) = 50, 4х - 10 = 50, 4х = 60, х = 15. Тоді одна сторона становить 15 см, аінша— 15 - 5= 10(см).

Відповідь. 15 см, 10 см, 15 см, 10 см;

2) нехай ABCD — прямокутник, Р = 50 см. Нехай одна сторона дорівнює 4х см, тоді інша — х см. Р = 2 • (4х + х) = 50 (см), 10х = 50, х = 5. Тоді одна сторона становить 4 • 5 = 20 (см), а інша — 4 см.

Відповідь. 20 см, 4 см.

89.

9 = 11, 10 = 12 як вертикальні кути;

2 = 6, (3 = 7) як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній AС (BD),

1 = 5, (8 = 4) як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих АВ і CD та січній АС (BD).

90.

1) Нехай ABCD— прямокутник, 8 = 52°. 3 = 7 як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній BD. Оскільки кути прямокутника дорівнюють по 90°, маємо 7 = B - 8 = 90°- 52° = 38°.

Відповідь. 38°;

2) нехай ABCD — прямокутник, 10 = 40°. 2 = 3 як рівні кути при основі рівнобедреного трикутника (оскільки діагоналі в точці перетину діляться навпіл). 10 = 2 + 3 як зовнішній кут трикутника. Маємо 10 = 2 • 2. Звідси 2 = 10 : 2 = 40° : 2 = 20°.

Відповідь. 20°.

91.

1) Нехай ABCD — прямокутник, 2 = 37°. 5 = 1 як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AB і CD та січній АС. Оскільки кути прямокутника дорівнюють по 90°, маємо 1 = A - 2 = 90° - 37° = 53°.

Відповідь. 53°.

2) нехай ABCD— прямокутник, 3 = 30°. 12 = 2 + 3 як зовнішній кут трикутника. Оскільки діагоналі прямокутника в точці перетину діляться навпіл, то 3 = 2 як рівні кути при основі рівнобедреного трикутника. Тоді 12 = 2 • 3 = 2 • 30° = 60°.

Відповідь. 60°.

92. Нехай ABCD— прямокутник, BAO = OAD + 20°. Нехай OAD = x, тоді BAO = х + 20°. У прямокутнику кути дорівнюють по 90°, тому х + х + 20° = 90°, 2х = 70°, х = 35°. Маємо OAD = 35°, BAO = 35° + 20° = 55°.

Відповідь. 35°, 55°.

93. Діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл. Тобто кожна вершина прямокутника рівновіддалена від точки перетину діагоналей на однакову відстань. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної точки, є коло. Отже, навколо прямокутника можна описати коло.

94.

1) Нехай ABCD— прямокутник, AOB = BAO + 15°. Нехай BAO = x, тоді AOB = x + 15°. Оскільки АОВ — рівнобедрений (АО = ВО як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника), то ABO = x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + (х + 15°) = 180°, 3х = 165°, х = 55°.

Відповідь. 55°;

2) ABCD— прямокутник, AOD = BAO + 50°. Нехай BAO = x, тоді AOD = х + 50°. Оскільки кут АОВ суміжний з кутом AOD, маємо AOB = 180° - (х + 50°) = 130° - х. Оскільки АОВ — рівнобедрений (АО = ВО як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника), то ABO = x. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + (130° - х) = 180°, х = 50°.

Відповідь. 50°.

95.

1) ABCD —прямокутник, OAD = AOD + 90°. Нехай OAD = х, тоді AOD = х + 90°. Оскільки АЛОВ — рівнобедрений (АО = DO як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника), то ADO = х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + (х + 90°) = 180°, 3х = 90°, х = 30°.

Відповідь. 30°;

2) ABCD— прямокутник, АОВ = OAD + 40°. Нехай OAD = x, тоді АОВ = х + 40°. Оскільки кут AOD— суміжний з кутом АОВ, маємо AOD = 180° - (х + 40°) = 140° - х. Оскільки AOD— рівнобедрений (AO = DO як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника), то ADO = х. За теоремою про суму кутів трикутника маємо: х + х + (140° - х) = 180°, х = 40°.

Відповідь. 40°.

96. Нехай ABCD — прямокутник, ВАО = 70°, BE = АЕ, О — точка перетину діагоналей. За аксіомою вимірювання кутів маємо: DOE AOD + АОЕ. Оскільки АО = ВО як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника, то АОВ — рівнобедрений з основою АВ. Звідси АВО = 70°. За теоремою про суму кутів трикутника одержимо: АОВ = 180° - 2 • 70° = 40°. Оскільки кут AOD — суміжній до кута АОВ, то AOD = 180° - 40° = 140°. У АОВ ОЕ — медіана, тому й бісектриса, звідки АОЕ = 40° : 2 = 20°. За аксіомою вимірювання кутів маємо: DOE = AAOD + АОЕ = 140° + 20° = 160°.

Відповідь. 160°.

97. Нехай ABCD— прямокутник, ОР — бісектриса, DOP = 130°. Оскільки кут РОВ — суміжній до кута DOP, то РОВ = 180° - DOP = 180° - 130° = 50°. Оскільки ОР — бісектриса, то АОР = АРОВ = 50°. Розглянемо АРО (АР = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ОАР = 90° - 50° = 40°.

Відповідь. 40°.

98. Нехай ABCD— паралелограм, О — точка перетину діагоналей, ВО = МО, NO = DO. Розглянемо трикутники BON і MOD. У них: 1) ВО = МО за умовою; 2) NO = DO за умовою; 3) BON = DOM як вертикальні. Отже, BON = MOD за першою ознакою рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними). Оскільки BO = DO (властивість діагоналей паралелограма), тоді ВО= МО = NO = DO. Маємо NBO = MDO, оскільки вони внутрішні різносторонні, то MD||BN, за ознакою паралельності прямих. Аналогічно ВОМ = NOD (BO = MO, NO = DO, BOM = DON як вертикальні). ОВМ і NDO внутрішні різносторонні та рівні, тому ВМ||ND. Чотирикутник BMDN є паралелограмом з рівними діагоналями. Отже, BMDN — прямокутник (ознака прямокутника).

99. Нехай точка О — центр кола, АС— діаметр, точки В і D належать колу, AD = BC. Оскільки вписані кути ABC і ADC спираються на діаметр, то ABC = ADC = 90°. Розглянемо прямокутні трикутники ADC і ABC. У них АС — спільна сторона, AD = ВС за умовою. Отже, ADC = ABC за катетом і гіпотенузою. Оскільки трикутники рівні, тому відповідні елементи також рівні. ACD = BAC внутрішні різносторонні при прямих AB і DC та січній АС, тому AB||DC. Аналогічно DAC = ACB — внутрішні різносторонні при прямих AD і ВС та січній АС, тому AD||ВС. ABCD — паралелограм з прямим кутом. Згідно ознаки прямокутника, ABCD — прямокутник.

100. Нехай ABCD— прямокутник, ОМAB, ONAD, ОМ = 9 см, ON = 4 см. Оскільки ОМAB, то OM||AD (властивість паралельних прямих). Аналогічно ON||AB. Оскільки AOВ— рівнобедрений (АО = ВО як рівні відрізки утворені при перетині діагоналей прямокутника), тому ОМ медіана Оскільки AOD — рівнобедрений (AO = DO як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника), тому ON медіана AB = 2 • AM = 2 • ON = 2 • 4 = 8 (см), AD = 2 • AN= 2 • ОМ = 2 • 9 = 18 (см). Отже, Р = 2 • (8 + 18) = 2 • 26 = 52 (см).

Відповідь. 52 см.

101. Нехай ABCD— прямокутник, АР— бісектриса, BP = PC, AD = 20 см. Оскільки АР — бісектриса, то BAP = PAD. DAP = BPA як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АР. Звідси BAP = BPA. Отже, ЛАВР — рівнобедрений. АВ = ВР = AD : 2 = 10 (см). Р = 2 • (10 + 20) = 2 • 30 = 60 (см).

Відповідь. 60 см.

102. Нехай ABCD— прямокутник, АР— бісектриса, ВР = РС, АВ = 8 дм. Оскільки АР— бісектриса, то BAP = PAD. DAP = BPA як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих AD і ВС та січній АР. Звідси BAP = BPA. Отже, АВР — рівнобедрений. ВР = АВ = 8 (дм), ВС = 2; ВР = 2 • 8 = 16 (дм). Р = 2 • (8 + 16) = 2 • 24 = 48 (дм).

Відповідь. 48 дм.

103.

1) Нехай ABCD— прямокутник, BKAC, ACD = 60°, ОK = а. DOC— рівнобедрений (DO = CO як рівні відрізки при перетині діагоналей прямокутника). Тоді OCD = ODC як кути при основі. За теоремою про суму кутів трикутника маємо OCD + ODC + COD = 180°, 2DOC = 180° - 60° = 120°, DOC = 60°. Розглянемо ВKО (K = 90°). BOK = DOC = 60° як вертикальні. Тоді за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: OBK = 90° - 60° = 30°. За теоремою про катет, що лежить проти кута 30°, ОВ = 2а. Звідси BD = 2 • ВО = 2 • 2а = 4а. Розглянемо АВС (ABC = 90°). BAC = ACD = 60° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих АВ і CD та січній АС. Оскільки за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ACB = 90° - 60° = 30°, то АВ = АС : 2 = 4а : 2 = 2а.

Відповідь. 4а, 2а;

2) нехай ABCD— прямокутник, ВKАС, ACD = 60°, АС = m. Розглянемо АВС (B = 90°). BАС = ACD = 60° як внутрішні різносторонні при паралельних прямих AB і CD та січній АС. Оскільки за теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника ACB = 90° - 60° = 30°, то згідно теореми про катет, який лежить проти кута 30°, маємо:— рівносторонній (АО = ВО як рівні відрізки утворені при перетині діагоналей прямокутника,Тому ВK — медіана. Отже,

Відповідь.

104. Нехай ABCD— прямокутник, ВKАС, ACD = 60°, АВ = b. Розглянемо BCD (C = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: CBD = 90° - 60° = 30°. Тоді за властивістю катета, який лежить проти кута 30°, маємо: BD = АС = 2 • CD = 2b. ЛОВ — рівносторонній (АО = ВО як рівні відрізки утворені при перетині діагоналей прямокутника, Тому ВK — медіана. ОK = АО : 2 = АВ : 2 = b : 2.

Відповідь. 2b,

105. Нехай трикутник ABC — рівнобедрений прямокутний (АВ = АС, BAC = 90°), ВС = 35 см, KLMN — прямокутник, KL : KN = 3 : 2. Нехай KL = 3х см, тоді NK = 2х см. Оскільки АВ = АС, BAC = 90°, то ABC = ACB = 45°. Тоді NKB і MLC — прямокутні з гострим кутом 45°, а тому й рівнобедрені. Отже, NK = ВK = 2х, ML = CL = 2х. За аксіомою вимірювання відрізків ВС = ВK + KL + LC, ВС = 2х + 3х + 2х = 7х, 7х = 35, х = 5. Маємо: NK = 2 • 5 = 10 (см), KL = 3 • 5=15 (см). Р = 2 • (10 + 15) = 2 • 25 = 50 (см).

Відповідь. 50 см.

106. Нехай трикутник ABC — рівнобедрений прямокутний (АВ = АС, BAC = 90°), АВ = АС = 20 см, ANKM— прямокутник. Оскільки АВ = АС, BAC = 90°, то за теоремою про суму кутів трикутника АВС = АСВ = 45°. Тоді BNK і СМK прямокутні з гострим кутом 45°, а тому й рівнобедрені. Звідси NK = NB, МK = МС. Периметр Р = 2 • (NK + МK) = 2 • (АМ+ MC) = 2 АС = 2 • 20 = 40 (см).

Відповідь. 40 см.

107. Нехай ABCD — паралелограм, ВK — висота, ВK = АВ : 2. Оскільки ВK — висота, то АKВ = 90°. Розглянемо прямокутний трикутник АKВ. Оскільки гіпотенуза вдвічі більша від катета (ВK = АВ : 2), то кут, протилежний катету ВK, становить 30° (за властивістю катета, який лежить проти кута 30°). Маємо ВАK = 30°. За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника: АВK = 90° - 30° = 60°. За аксіомою вимірювання кутів АВС = АВK + KВС = 60° + 90° = 150°.

Відповідь. 30°, 150°, 30°, 150°.

108.

1) Згідно умови Сума кутів трикутника дорівнює 180°. Звідси: А + В + С = 180°,2А + 2В + А + В = 360°, 3А + 3В = 360°, А + В = 120°, С = 180° - 120° = 60°.

Відповідь. 60°;

2) згідно умовиСума кутів чотирикутника дорівнює 360°. Звідси: А + В + С + D = 360°,, 3А + 3В + 3С + А + В + С =1080°, 4А + 4В + 4С = 1080°, А + В + С = 270°, тоді D = 360° - 270° = 90°.

Відповідь. 90°.

109. Нехай ABC— заданий кут, точка Р належить внутрішній області кута. Сполучимо точки В і Р. Тоді на продовжені відрізка ВР відкладемо відрізок РК = ВР. Проведемо МK||ВС, NK||BA. BMKN — паралелограм за побудовою. МР = PN за властивістю діагоналей паралелограма. MN— шукана пряма.

110. BAD = BCD за трьома сторонами (АВ = AD = ВС = CD, BD спільна). У рівних трикутниках рівні відповідні кути. Звідси А = С. Аналогічно ABC = ADC за трьома сторонами (АВ = AD = BC = CD, АС — спільна). У рівних трикутниках рівні відповідні кути. Звідси B = D.

111. Ні Достатньо зафарбувати клітинки квадрата в чотири кольори (див. рис.) і врахувати, що кожний прямокутник розміру 1 х 4 містить по одній клітинці кожного кольору, а клітинок, наприклад, першого і другого кольору є різна кількість.