Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 10. Середня лінія трикутника. Її властивості

284. Середніми лініями є відрізки МK і ML.

285. MNK — тупокутній трикутник, АВ — найбільша середня лінія, оскільки MN — найбільша основа.

286. ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС). MN — середня лінія, М∈АВ, N∈ВС.

287.

1) Оскільки KL — середня лінія, то KL = АВ : 2, KL = 14 : 2 = 7 (см).

2) Оскільки KL — середня лінія, то KL = АВ : 2, АВ = 2 • KL, AB = 2 • 6 = 12 (дм).

Відповідь. 1) 7 см; 2) 12 дм.

288.

1) Оскільки KL — середня лінія, то KL = АВ : 2, KL = 20 : 2 = 10 (см).

2) Оскільки KL — середня лінія, то KL = АВ : 2, АВ = 2 • KL, AB = 2 • 7 = 14 (дм).

Відповідь. 1) 10 см; 2) 14 дм.

289. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), MN = 5 см. Оскільки AM = MB, BN = NC, то MN— середня лінія, тому MN = АС : 2. Звідси АС = 2 • MN, АС= 2 • 5 = 10 (см).

Відповідь. 10 см.

290. Нехай ABC— рівнобедрений трикутник (АВ = ВС), АС = 18 дм. Оскільки АМ = MB, BN = NC, то MN— середня лінія, тому MN = АС : 2, MN = 18 : 2 = 9 (дм).

Відповідь. 9 дм.

291. Нехай ABC— заданий трикутник, MN, NK, МК— середні лінії, MN = 7 см, NK = 8 см, МK = 10 см. Оскільки MN, NK, МK середні лінії, то MN = BC : 2, NK = AC : 2, МK = АВ : 2. Звідси АВ = 2 • МK, ВС = 2 • MN, AC = 2 • NK. Маємо: Р_ABC = АВ + ВС + АС, Р_ABC = 2 • (MN + NK + МK) = 2 • (7 + 8 + 10) = 50 (см).

Відповідь. 50 см.

292. Нехай ABC—заданий трикутник, AB = 12 дм, ВС = 16 дм, АС = 18 дм. Оскільки MN, NK і МK — середні лінії, то MN = ВС : 2, NK = AC : 2, МK = АВ : 2. Маємо: P_MNK = (MN + NK + MK), Р_MNK = (АВ + ВС + АС) : 2, Р_MNK = (12 + 16 + 18) : 2 = 23 (дм).

Відповідь. 23 дм.

293. Нехай ABC— заданий трикутник, ED — середня лінія, Е∈АС, D∈ВС. Оскільки ED — середня лінія трикутника, то ED||АВ. Тоді CED = САВ як відповідні кути при паралельних прямих ED і АВ та січній АС.

294.

1) Нехай ABC— заданий трикутник, MN, NK, МK — середні лінії, MN = МK. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: MN = АС : 2, МK = ВС : 2. Звідси АС = 2 • MN, ВС = 2 • МK. За умовою MN = МK, тому АС = ВС. Трикутник у якому дві сторони рівні є рівнобедреним;

2) Нехай ABC— заданий трикутник, MN, NK, МK — середні лінії, MN = NK = МK. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: MN = AC : 2, NK = AB : 2, МK = ВС : 2. Звідси АС = 2 • MN, АВ = 2 • NK, ВС = 2МK. За умовою MN = NK = МК, тому АС= АВ = ВС. Трикутник у якому всі сторони рівні є рівностороннім.

295. Нехай ABC — заданий трикутник, MN, NK, МK — середні лінії, Р_ABC = 24 см. За означенням середньої лінії MN = AC : 2, NK = АВ : 2, МK = ВС : 2. За умовою Р_ABC = AВ + ВС + АС. Звідси P_MK = MN + NK + МK = (АС : 2 + АВ : 2 + ВС : 2) = (АС + АВ + ВС) : 2, Р_MNK = Р_ABC : 2 = 24 : 2 = 12 (см).

Відповідь. 12 см.

296. Нехай ABC— заданий трикутник, АМ = МВ, BN = NC, АK = KС, Р_MNK = 18 см. Оскільки М, N і K— середини сторін трикутника, то MN, NK і МK — середні лінії трикутника ABC. За властивістю середньої лінії трикутника маємо: MN = AC : 2, NK = AB : 2, MK = BC : 2. Звідси AC = 2 • MN, AB = 2 • NK, BC = 2 МK. Тоді Р_ABC = АВ + ВС + АС = 2 • MN + 2 • NK + 2 • MK = 2 • (MN + NK + MK) = 2 P_MNK, P_ABC = 2 • 18 = 36 (см).

Відповідь. 36 см.

297. Нехай ABC — заданий трикутник, AB : ВС : АС = 4 : 3 : 5, Р_MNK = 60 см. Нехай АВ = 4х см, тоді ВС = 3х см, АС = 5х см. Оскільки MN, NK i MK — середні лінії, то MN = AC : 2, NK = AB : 2,MK = BC : 2. Звідси АС = 2 • MN,AB = 2 • NK, ВС = 2 • МK. Тоді Р_ABC = АВ + ВС + АС = 2 • MN + 2 • NK + 2 • MK = 2 • (MN + NK + МK) = 2 Р_MNK, Р_ABC = 2 • 60 = 120 (см). Маємо AB + ВС + АС = 120 (см), 4х + 3x + 5х = 120, 12х = 120, х= 10. Тоді AB = 4 • 10 = 40 (см), ВС = 3 • 10 = 30(см), АС = 5 • 10 = 50 (см).

Відповідь. 40 см, 30 см, 50 см.

298. Нехай ABC — заданий трикутник, Р_ABC = 80 см, MN : NK : МК = 4 : 9 : 7. Нехай MN= 4х см, тоді NK = 9х см, МK = 7х см. Оскільки MN = AC : 2, NK = АВ : 2, МK = BC : 2 як середні лінії трикутника ABC, то АС = 2 • MN, АВ = 2 • NK, ВС = 2 • МK. Тоді Р_ABC = АВ + ВС + АС, 2 • MN + 2 • NK + 2 • МK = 80, 2 • (MN+ NK + MK) = 80, MN + NK + МK = 40, 9х + 7х + 4x = 40, 20х = 40, х = 2. Маємо: ^: MN = 4 -• 2 = 8 (см), NK = 9 • 2 = 18 (см) і MK = 7 • 2 = 14 (см). Тоді AС = 2 • 8 = 16 (см), АВ = 2 • 18 = 36 (см) і ВС = 2 • 14 = 28(см).

Відповідь. 16 см, 36 см, 28 см.

299.

1) Нехай ABC — заданий трикутник, АС = 10 см, МK = 6 см, ВС = 1,5 • АВ. Нехай АВ = х см, тоді ВС = 1,5х см. Оскільки МK — середня лінія трикутника, то МK = ВС : 2. Звідси ВС = 2 МK. Отже, AB = 2 • 6 = 12 (см), тоді ВС = 1,5 • 12 = 18 (см).

Відповідь. 12 см, 18 см;

2) нехай ABC— заданий трикутник, АС = 10 см, NM = 6 см, ВС = 1,5AB. Нехай АВ = х см, тоді ВС = 1,5х см. Оскільки NM— середня лінія трикутника, то NМ = ВС : 2. Звідси BC = 2 • NM. Маємо, 1,5 • х = 2 • 6, 1,5 • x = 12, х = 8. Отже, АВ = 8 (см), ВС= 1,5 • 8 = 12 (см).

Відповідь. 8 см, 12 см.

300. Нехай ABCD— опуклий чотирикутник, E, F, G і H— середини сторін, АС = 16 см, BD = 10 см. Розглянемо трикутники ABC і ADC. Оскільки E, F, G і H — середини сторін, то EF і GH — середні лінії. За означенням EF = AC : 2, GH = AC : 2. Звідси EF = GH = 16 : 2 = 8 (см). Розглянемо трикутники BCD і BAD. Оскільки E, F, G і H — середини сторін, то EF і GH— середні лінії. За означенням середньої лінії ЕН = ВО : 2, FG = ВО : 2. Звідси EH = FG = 10 : 2 = 5 (см), тоді P_EFGH = ЕР + PG + GH + EH, P_EFGH = 8 + 5 + 8 + 5 = 26 (см).

Відповідь. 26 см.

301. Нехай ABCD — прямокутник, АС і BD — діагоналі, АС = BD = 10 (см), N, K, Р і М— середини сторін. Розглянемо трикутники ABC і ADC. MN і РK відповідно їх середні лінії, тому MN = PK = AC : 2 = 10 : 2 = 5 (см). Оскільки діагоналі в прямокутник рівні, тому BD = АС = 10 (см). Розглянемо трикутники BCD і BAD. NK і МР — відповідно їх середні лінії, тому NK = МР = BD : 2 = 10 : 2 = 5 (см). P_MNKD = MN + NK + РK + МР = 4 • MN = 4 • 5 = 20 (см).

Відповідь. 20 см.

302. Нехай ABCD — ромб, AM = MD, CK = KD. Розглянемо трикутник ADC. Оскільки точки М і K з’єднують середини сторін, то МK — середня лінія трикутника. Звідси МK||AС за означенням. За властивістю діагоналей ромба АСBD. Оскільки МKАС і АСBD, то МKOD.

303. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = АС), АK — медіана. Оскільки F і Р— середини сторін, то FP— середня лінія ДABC. Тоді за властивістю середньої лінії FP||ВС. Оскільки трикутник рівнобедрений, то АK — висота. Тоді FP||ВС і ВСАK. За теоремою (якщо одна із двох паралельних прямих перпендикулярна до третьої, то й інша пряма перпендикулярна до третьої) маємо FPAK.

304. Нехай ДABC = A₁B₁C₁. М, N, K і М₁, N₁, K₁— середини сторін відповідно трикутників ABC і A₁В₁С₁. У рівних трикутниках рівні відповідні сторони, тобто АС = А₁С₁, АВ = А₁В₁, BС = B₁C₁. За властивістю середньої лінії маємо: MN = BC : 2 = B₁C₁ : 2, NK = AB : 2=A₁B₁ : 2, МK = АС : 2 = А₁С₁ : 2. Звідси MN = M₁N₁, NK = N₁K₁, МK = M₁K₁. Отже, MNK = M₁N₁K₁за третьою ознакою рівності трикутників (за трьома сторонами).

305. Нехай ABC— прямокутний рівнобедрений трикутник (C = 90°, АС = ВС), AM = МС, MN = а см. Опустимо висоту СР на гіпотенузу АВ. Оскільки MNАВ і СРАВ, то MN||СР (дві прямі перпендикулярні до третьої, паралельні між собою). Сторони кута САВ перетнуто паралельними прямими MN, СР і АМ= МС, тоді за теоремою Фалеса AN = NP. Звідси MN— середня лінія за означенням. За властивістю середньої лінії MN = СР : 2, СР = 2 • MN= 2 • а = 2а (см). Розглянемо трикутник СРВ (P = 90°). У ньому B = 45°, як кут при основі рівнобедреного прямокутного трикутника АСВ. За теоремою про суму кутів трикутника PCB + CPB + PBC = 180°, PCB = 180° - (CPB + PBC), PCB =180° - (90° + 45°) - 45°. Звідси СРВ — рівнобедрений, тому РВ = СР = 2а (см). Оскільки СР медіана, то АВ = 2 • РВ = 2 • 2а = 4а (см).

Відповідь. 4а см.

306. Нехай ABC— рівнобедрений прямокутний трикутник (C = 90°, АС = ВС), СK = KВ, АВ = 20 см. Проведемо висоту СР. Оскільки ДАСВ рівнобедрений, то CP — медіана. За властивістю медіани прямокутного трикутника (медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює її половині) маємо: СР = АР = АВ : 2 = 20 : 2 = 10 (см). Розглянемо трикутник СВР. Оскільки CPАВ i KMAB, то CP||KМ. Сторони кута СВР перетнуто паралельними прямими і СK = KВ, тоді за теоремою Фалеса PM = MB. Отже, KМ— середня лінія трикутника за означенням. За властивістю середньої лінії маємо KМ = СР : 2 = 10 : 2 = 5 (см).

Відповідь. 5 см.

307. Нехай ABCD — ромб, М, N, K, Р — середини сторін. Проведемо діагоналі АС і BD. Розглянемо трикутники ABC і ADC. За означенням MN і РK — середні лінії. Тоді за властивістю середньої лінії MN||АС і РK||АС. РK = АС : 2 і MN = АС : 2. Отже, MN = PK і MN||РK. Аналогічно з трикутників BCD і BAD одержимо NK = МР і NK||МР. Отже, MNKP — паралелограм. За властивістю діагоналей ромба BDAC. З того, що MN||АС і ACBD, маємо MNBD. З того, що MN BD і BD||МР, маємо MNМР (за теоремою про перпендикулярність прямих). Отже, у паралелограмі MNKP один з кутів прямий (PMN = 90°). За означенням прямокутника маємо, що MNKP — прямокутник.

308. Нехай ABC — рівнобедрений трикутник (АВ = АС), М — точка перетину медіан, AM = 8 см. За властивістю медіан трикутника AM : MD = 2 : 1. Нехай АМ = 2х см, тоді MD = х см. За умовою 8 = 2х, х = 4. За аксіомою вимірювання відрізків маємо: AD = АМ + MD = 8 + 4 = 12 (см). Розглянемо кут ABC. Оскільки KN||AD і АK = KВ, тоді за теоремою Фалеса DN = NB. Звідси KN— середня лінія трикутника ABD. За властивістю середньої лінії трикутника KN =AD : 2 = 12 : 2 = 6 (см).

Відповідь. 6 см.

309. Нехай KLM— рівнобедрений трикутник (АХ = KМ), МА = АK, АВ = 9 см. Оскільки KС — медіана, проведена з вершини рівнобедреного трикутника, то KС — висота. Розглянемо кут KML. Оскільки KСML і АВML, то KС||АВ. Враховуючи КС||АВ і МА = АK, за теоремою Фалеса, маємо: АВ = ВС. Отже, АВ — середня лінія трикутника МKС. Звідси KС = 2 • АВ, KС = 2 • 9= 18 (см). За властивістю медіан трикутника KО : ОС = 2 : 1. Нехай KО = 2х см, тоді ОС = х см. За аксіомою вимірювання відрізків KС = KО + ОС, 18 = 2х + х, 3х= 18, х = 6. Звідси KО = 2 • 6 =12 (см).

Відповідь. 12 см.

310. Нехай ABC — заданий трикутник, A = 90°, B = 80°, О — центр описаного кола. За теоремою про суму кутів трикутника A + B + C = 180°, C = 180° - A - B, C = 180° - 40°- 80° = 60°. Оскільки C — вписаний і спирається на дугу АmВ, тоАналогічно= іТоді центральні кути дорівнюютьдугам, на які спираються. Маємо

Відповідь. 120°, 80°, 160°.

311. Нехай ABCD— ромб, BD і АС— діагоналі, CAD = 30°, BD = 1 см. Діагоналі ромба точкою перетину ділиться навпіл, тому ВО • OD = 7 : 2 = 3,5 (см). За властивістю діагоналей ромба BDAC. Розглянемо прямокутний трикутник AOD (O = 90°). За теоремою про катет, який лежить проти кута 30°, маємо: AD = 2 • OD, AD = 2 • 3,5 = 7 (см). Звідси P_ABCD= 4 • AD = 4 • 7 = 28 (см).

Відповідь. 28 см.

312. Нехай ABCD— рівнобічна трапеція (ВС||AD, AB = CD), BC = b, AD = a, A = = 60°. Проведемо висоти ВМ і CN. Оскільки трапеція рівнобічна, то AM = ND = (а - b) : 2. Розглянемо прямокутний трикутник AMB (M = 90°). За теоремою про суму гострих кутів прямокутного трикутника маємо: ABM + BAM = 90°, ABM = 90° - BAM, ABM = 90° - 60° = 30°. 1) 3а теоремою про катет, який лежить проти кута 30°, маємо: АВ = 2 • AM, АВ = CD = 2 - (а - b) : 2 = а - b. 2) P_ABCD = АВ + ВС + CD + AD, P_ABCD = (a - b) + b + (a - b) + a = 3а - b. 3) У трапецію ABCD можна вписати коло, якщо АВ + CD = ВС + AD. a - b + a — b = b + a, 2а - 2b = b + а, а = Зb. Якщо а = 3b, то в трапецію ABCD можна вписати коло.

Відповідь. 1) а - b; 2) 3а - b; 3) а = 3b.

313. Нехай ABC— трикутник, AD і BD— бісектриси. За означенням бісектриси BAD = DAC і ABD = DBC. Доведемо методом від супротивного. Нехай ADB =90°. Розглянемо трикутник ADB. За властивістю про суму гострих кутів прямокутного трикутника BAD + ABD = 90°. Тоді A + B = 2BAD + 2ABD = 2(BAD + ABD) = 2 • 90° = 180°, що суперечить теоремі про суму кутів трикутника Отже, припущення невірне, тому не існує трикутника, у якому бісектриси взаємно перпендикулярні.