Відповіді до підручника Геометрія 8 клас - Істер О.С. 2016-2020

Розділ 1. Чотирикутники
§ 9. Теорема Фалеса

267. За теоремою Фалеса В₁B₂ = В₂В₃= 5 см.

268. За теоремою Фалеса В₁B₂ = B₂В₃, тодi A₁А₂ = А₂А₃ = 7 см.

269. За теоремою Фалеса, оскільки ОМ₁ = М₁М₂, то ON₁ = N₁N₂. За аксіомою вимірювання відрізків ON₂ = ON₁ + N₁N₂ = 2 • ON₁ = 2 • 4 = 8 (см).

270. За теоремою Фалеса, оскільки ON₁ = N₁N₂ = 6 (см), to OM₁ = M₁M₂. За аксіомою вимірювання відрізків OM₂ = ОМ₁ + M₁M₂ = 2 • ОМ₁ = 2 • 3.5 = 7 (см).

271. Нехай АВ — заданий відрізок. Від точки А проводимо промінь АС і відкладаємо від точки А на даному промені п’ять рівних відрізків. З’єднуємо точки А₅ і В. Через точки А₁, A₂, А₃, A₄паралельно до А₅В проводимо прямі, які перетнуть відрізок АВ відповідно у точках В₁, В₂, В₃, В₄. За теоремою Фалеса АВ₁ = B₁B₂ = = В₂В₃ = В₃В₄= В₄В.

272. Нехай АВ — заданий відрізок. Від точки А проводимо промінь АС і відкладаємо на ньому сім рівних відрізків. Тобто АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄= A₄A₅ = А₅A₆ = А₆А₇. З’єднуємо точки А₇і В. Через точки А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, А₇ проводимо прямі, паралельні А₇В, які перетнуть відрізок АВ у точках В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, В₆. За теоремою Фалеса одержуємо: АВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = B₄B₅ = 5₅В₆ = B₆B.

273. Нехай АВ — заданий відрізок. Проведемо промінь АС. На промені АС від точки А відкладемо за допомогою циркуля сім рівних частин: АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃А₄ = А₄А5 = А₅А₆ = A₆A₇. З’єднаємо точки А₇ і В. Через точки А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ проведемо прямі, паралельні до сторони А₇В: А₁В₁|| А₂В₂||А₃В₃||А₄В₄||A₅B₅||А₆В₆. Дані прямі перетну сторону АВ відповідно у точках В₁, В₂, В₃, В₄, В₅, В₆. За теоремою Фалеса АВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = В₄В₅ = B₅B₆ = B₆B₇. Нехай АВ₁ = х, тоді АВ₂ = 2х, В₂В = 5х. Відношення:АВ₂ : В₂В = 2 : 5.

274. Нехай АВ — заданий відрізок. Проведемо промінь АС. На промені АС від точки А відкладемо за допомогою циркуля п’ять рівних частин Тобто АА₁ = А₁А₂ = А₂А₃ = А₃4₄ = A₄A₅. З’єднаємо точки А₅ і В. Через точки А₁, А₂, А₃, А₄ проведемо прямі, паралельні відрізку А₅В: А₁В₁ ||А₂В₂||А₃В₃||А₄В₄. Дані прямі перегну сторону АВ відповідно у точках В₁, В₂, В₃, В₄. За теоремою Фалеса АВ₁ = В₁В₂ = В₂В₃ = В₃В₄ = В₄В. Нехай АВ₁ = х, тоді АВ₃= 3х, В₃В = х. Складемо відношення: АВ₃ : В₃В = 3 : 2.

275. Нехай А₁А₂ = А₂А₃, А₁В₁||А₂В₂||А₃В₃, А₁А₂ : В₁В₂ = 3 : 5, В₂В₃ - А₂А₃ = 8 см. Нехай А₂А₃ = х см, тоді В₂В₃ = (х + 8) см. Оскільки А₁А₂ = А₂А₃, А₁В₁|| А₂В₂||А₃В₃, то за теоремою Фалеса В₁В₂ = В₂В₃. Складемо співвідношення:, , 3(х + 8) = 5х, 2х = 24, х = 12. Звідси А₁А₂ = А₂А₃ = 12 (см), В₁В₂ = В₂В₃ = 12 + 8 = 20 (см).

Відповідь. 12 см, 12 см, 20 см, 20 см.

276. Нехай ON₁ = N₁N₂, M₁N₁||M₂N₂, ON₁ : OM₁ = 7 : 4, N₁N₂ + M₁M₂ = 33 см. Оскільки ON₁ = N₁N₂ i M₁N₁||M₂N₂, то за теоремою Фалеса ON₁ = ON₂. Нехай M₁M₂ = x см,

тоді N₁N₂ = (х - 33) см. Складемо відношення: 7х = 4(33 - х), 11х = 132, х = 12. Маємо ОМ₁ = М₁М₂ = 12 (см), ON₁ = ON₂ = 33 - 12 = 21 (см). Звідси ОМ₂ = 2 • ОМ₁ = 2 • 12 = 24 (см), ON₂ = 2 • ON₁ = 2 • 21 = 42 (см).

Відповідь. 42 см, 24 см.

277. Нехай ABCD— паралелограм, M∈АВ, N∈CD, AM = MB, DN = NC. Розглянемо чотирикутник MBND. Оскільки у паралелограма ABCD протилежні сторони паралельні й рівні, то MB = ND і MB||ND. Звідси за ознакою паралелограма MBND— паралелограм. Отже, BN||MD як протилежні сторони. Розглянемо кут ACD. Оскільки KN||LD як відрізки, які лежать на паралельних сторонах, і ND = NC, то за теоремою Фалеса СK = LK. Аналогічно розглянемо кут ВАС. ВK||ML і АМ = MB, тому за теоремою Фалеса AL = LK. Отже, AL = LK = КС.

278. Нехай заданий трикутник ABC, AD — медіана, АЕ = EF = FG = GD. Проведемо прямі через точки E, F і D паралельно CG: ЕМ||FN||DP||GK. Розглянемо кут BAD. За теоремою Фалеса AM = MN= NK = KP = PB. Нехай AM = х, тоді АK = 3x, KВ = 2х. Маємо: •, АK : KВ = 3 : 2.

279. Нехай заданий трикутник ABC, AD — медіана, AM = MN = ND. Проведемо прямі через точки М і D паралельно BN: PM||KN||FD. Розглянемо кут CAD. За теоремою Фалеса АР = РK = KF= FC. Звідси АКK = СK. Отже, ВK — медіана, а тому BN— містить медіану.

280. Нехай заданий трикутник ABC, AD — медіана, AK = KD. Проведемо пряму DN||KМ. Розглянемо кут CAD. Оскільки DN||KМ і АK = KD, тоді за теоремою Фалеса AM = MN = NC. Нехай AM = x, тоді MC = 2x. Складемо відношення: АМ : МС = 1 : 2.

281. Нехай АВ — заданий відрізок, АВ = 5 см. Побудуємо пряму mАВ. Для цього проведемо кола з центрами у точках А і В радіуса більшого за половину АВ. K і N— точки перетину даних кіл. Сполучаємо точку КK з N. Пряма m — геометричне місце точок, рівновіддалених від кінців відрізка АВ, оскільки АС₁= ВС₁, АС₂ = ВС₂.

282. Задано коло, АСВС, ОМ = 1 см, ON = 5 см. Оскільки АСВС, то АВ — діаметр кола (вписаний кут, який дорівнює 90°, спирається на діаметр). Звідси АО = ВО. Оскільки ОМАС і ВСАС (ONBC і ACBC), то за теоремою перпендикулярних прямих ОМ||ВС (ON||АС). Розглянемо кут САВ. За теоремою Фалеса (АО = ВО, МО||ВС) маємо: AM = МС. Розглянемо кут АВС. За теоремою Фалеса (АО = ВО, ON||AC) маємо: BN = NC. Чотирикутник MONC — прямокутник, оскільки M = C = N = 90°. Тому МС = ON = MO = NC = 7 см. Маємо АС = 2 • МС = 2 • 5 = 10 (см), BС = 2 • NC = 2 • 7 = 10 (см).

Відповідь. 10 см, 14 см.

283. Нехай ABC — трикутник, точка Р лежить усередині трикутника ABC, APS = ACB + 60°, BPC = BAC + 60°, CPA = CBA + 60°. Проведемо з точки P перпендикуляри до сторін трикутника: РK — до сторони AB, РМ — до сторони АС, PN — до сторони ВС. Тоді РKВ = РМА = PNB = 90°. Розглянемо чотирикутник АСВР. За теоремою про суму кутів чотирикутника одержимо: АСВ + СВР + (ВРС + СРА) + РАС = 360°. Тоді АСВ + СВР + (BAC + 60°) + (СВА + 60°) + РАС = 360°. Розглянемо трикутник ABC. За теоремою про суму кутів трикутника одержимо: АСВ + СВА + BAC = 180°. Тому СВР + 60° + 60° + РАС + 180° = 360°; СВР + РАС = 60°. Оскільки РКА = РМА = 90° як вписані кути, які спираються на діаметр, то точки М і K лежать на колі діаметра АР. МКР = РАМ як кути, що спираються на одній й ту саму дугу. У той же час РАМ = РАС. Тому РАС = МKР. Аналогічно оскільки РКВ = PNB = 90°, то точки K і N лежать на колі діаметра ВР і NKP = NBP як кути, що спираються на одній й ту саму дугу PN. Однак NBP = СВР. Тому NKP = СВР. Отже, NKP + МКР = 60°. У той же час за аксіомою вимірювання кутів NKP + РКМ = NKM. Тому NKM = 60°. Аналогічно можна показати, що KMN = 60° і MNK = 60°. Тому трикутник KMN— рівносторонній.