Відповіді до підручника Алгебра 8 клас - Бевз Г. П. 2016-2020

Розділ 1. Раціональні вирази
9. Раціональні рівняння(400-453)

400.

а) Чисельник 2x — 8 дорівнює 0, якщо: 2х - 8 = 0; 2х = 8; х = 4; знаменник 3х+ 15 дорівнює 0, якщо: 3х + 15 = 0; 3х = -15; х = -5;

б) Чисельник 16 + 4у дорівнює 0, якщо: 16 + 4у = 0; 4у = -16; у—4; знаменник 3 -6у дорівнює 0, якщо: 3 - 6у = 0; -6у = -3; у = 0,5;

в) Чисельник 6х- 18 дорівнює 0, якщо: 6х- 18 = 0; 6х - 18; х- 3; знаменник х(х + 5) дорівнює 0, якщо: х(х + 5) = 0; х = 0 або х + 5 = 0; х —5;

г) Чисельник 1 + 3а дорівнює 0, якщо: 1 + 3а = 0; 3а = -1; знаменник а(2 - а) дорівнює 0, якщо: а(2 - а) = 0; а = 0 або 2 - а = 0; а - 2;

ґ) Чисельник y² - 25 дорівнює 0, якщо: y² - 25 = 0; y^{2 =} 25; у = ±5; знаменник 4y - 3 дорівнює 0, якщо: 4у - 3 = 0; 4у = 3;

д) Чисельник 5x + 2 дорівнює 0, якщо: 5х + 2 = 0; 5х = -2; х = -0,4; знаменник 16 — x² дорівнює 0, якщо: 16 — x² = 0; -x² = -16; x = 16; x = ±4;

е) Чисельник а² - 2а + 1 дорівнює 0, якщо: а² - 2а + 1 = 0; (а - 1)² = 0; а - 1 = 0; а = 1; знаменник 2а - 1 дорівнює 0, якщо: 2а - 1 =0; 2а = 1; а = 0,5;

є) Чисельник 3у - 2 дорівнює 0, якщо: 3у — 2 - 0; 3у = 2; знаменник 4 + 4у +y² дорівнює 0, якщо: 4 + 4y + y² = 0; (у + 2) - 0; у + 2 = 0; y = -2.

401.

а) Рівняння не має коренів, бо чисельник x² + 1 не дорівнює 0 для всіх значень х;

б) рівняння має корінь x = -1;

в) рівняння не має коренів, бо чисельник х - 1 дорівнює 0, якщо х = 1, але при цьому значенні знаменник перетворюється в нуль.

402.

а) Рівняння не має коренів, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю;

б) рівняння не має коренів, бо сума невід’ємного і додатного чисел не може дорівнювати нулю;

в) рівняння не має коренів, бо чисельник 3х + 6 дорівнює 0, якщо х = -2, але при цьому значенні знаменник перетворюється в нуль.

403.

а)

Відповідь. 2;

б)

Відповідь. -3;

в)

Відповідь. 0;

г)

Відповідь. 0;

ґ)

Відповідь. 0.

404.

а)

Відповідь. 3;

б)

в) х = -4.

Відповідь. -4;

г) х = -4.

Відповідь. -4;

ґ)

Відповідь.

д)

Відповідь. 4.

405.

а)

Відповідь. -5;

б)

Відповідь. -4;

в)

Відповідь. 1;

г)

Відповідь. 4;

ґ)

Відповідь. 1.

д)

Відповідь. 3.

406.

а)

Відповідь. ±1;

б)

Відповідь. ±2;

в) Рівняння -х² - 1 = 0 не має коренів;

Відповідь. Рівняння не має коренів;

г)

Відповідь. 6;

ґ) х = -1,6.

Відповідь. -1,6;

д)

Відповідь.

407.

а)

Відповідь.

б) х = -1.

Відповідь. -1;

в)

Відповідь.

г) Рівняння 0х = -4 — не має коренів.

Відповідь. Рівняння не має коренів;

ґ)

Відповідь.

д) х = -29.

Відповідь. -29.

408.

а)

Відповідь. ±1;

б)

Відповідь. ±2;

в)

Відповідь. ±1;

г)

Відповідь. ±2;

ґ)

Відповідь. ±3;

д)

Відповідь. ±3.

409.

а)

Відповідь. 7;

б)

Відповідь. 1;

в)

Відповідь. 2.

410.

а)

Відповідь. 16;

б)

Відповідь.

в)

Відповідь.

411.

а)

Відповідь. 0;

б)

Відповідь. ±5;

в)

Відповідь. ±4.

412.

а)

Відповідь. ±5;

б) — на множині раціональних чисел коренів немає.

Відповідь. Рівняння коренів не має;

в)

Відповідь. ±2.

413.

Нехай до чисельника і знаменника дробу треба додати число х. Отримаємо: рівняння:

Відповідь. 7.

414.

Нехай чисельник дробу дорівнює х, тоді знаменник — х +2. Отримаємо дріб Після змін отримаємо дріб: Рівняння: х = 3. Шуканий дріб:

Відповідь.

415.

Нехай чисельник дорівнює х, тоді знаменник — х + 5. Отримаємо дріб Після змін отримаємо дріб: Рівняння: х = 5. Шуканий дріб:

Відповідь.

416.

а)

Відповідь. -1;

б)

Відповідь. 7;

в)

Відповідь. 9;

г)

Відповідь. ±1;

ґ)

х = ±1.

Відповідь. ±1;

д)

Відповідь. ±4.

417.

а)

Відповідь. -4;

б)

Відповідь.

в)

Відповідь. 3;

г)

Відповідь. 5;

ґ)

Відповідь. 10;

д)

Відповідь. 2.

418.

а)

Відповідь.

б) х = -3.

Відповідь. -3;

в)

Відповідь. 2;

г)

Відповідь. -0,2;

ґ)

Відповідь.

д)

Відповідь. 3,5;

419.

а)

Відповідь. -9;

б)

Відповідь. 4.

420.

а)

Відповідь.

б) х = 1.

Відповідь. 1.

421.

а)

Відповідь. 8;

б)

Відповідь.

422.

а) х = 4.

Відповідь. 4;

б)

Відповідь. 1.

423.

а) х= 10.

Відповідь. 10;

б) х = -2,5.

Відповідь. -2,5.

424.

а) х= 1.

Відповідь. 1;

б)

в)

Відповідь. 2.

425.

а)

Відповідь. 0;

б) х = 0.

Відповідь. 0;

426.

а) z = 0.

Відповідь. 0;

б) n = 0;

Відповідь. 0;

427.

х = 0.

Відповідь. 0.

429.

Тоді 10,75 +y = 4,5(z - 10,75);     у = 4,5z - 48,375 - 10,75; у = 4,5z - 59,125. Тоді 5,5z - 59,125 = 5(4,5z - 69,875); 5,5z - 59,125 = 22,5z - 349,375; 17z = 290,25;

430.

a)

Відповідь. (2; 4);

б)

Відповідь. (5; 2).

431.

a)

Відповідь. (0,1; 4);

б)

Відповідь.

432.

а)

Відповідь. (5; 3);

б)

Відповідь. (-3; 10).

433.

а)

Відповідь. (4; 5);

б)

Відповідь. (4: 7).

434.

а)

Відповідь. (4,5; 1);

б)

Відповідь. (2; 5).

435.

Нехай більше число позначимо х, а менше —у. Одержимо систему:

Відповідь. 38 і 12.

436.

Нехай число має х десятків і у одиниць. Якщо кількість десятків на 4 більша за кількість одиниць, то маємо рівняння: х = у + 4. Якщо при діленні числа на суму його цифр одержали в частці 7 і в остачі 6, то маємо друге рівняння: 10х + у= 7(х + у) + 6; 10х + у = 7х + 7у + 6; 3х - 6у = 6. Система: Отже, журавель може прожити 62 роки.

Відповідь. 62 роки.

437.

Нехай ціла стрічка була завдовжки х м. Коли від стрічки відрізали 4 м, то у ній залишилося (х - 4) м. Рівняння: х= 18.

Відповідь. 18 м.

438.

Нехай сестра має х років, тоді брат має (х + 6) років, а три роки тому кожному з них відповідно було (х - 3) роки і (х + 6 - 3) = (х + 3) роки. Рівняння: х = 21. Отже, сестрі 21 рік, а брат має х + 6 = 21 + 6 = 27 (р.).

Відповідь. 27 років і 21 рік.

439.

Нехай легковий автомобіль долає відстань 160 км за х год, тоді автобус долає цю відстань за час год, бо Швидкість автомобіля — автобуса — Рівняння: х = 2. Отже, швидкість легкового автомобіля дорівнює автобуса —

Відповідь. 80 км/год, 60 км/год.

440.

Нехай другий тракторист може зорати поле за х год, тоді за 1 год він виконає частину роботи. Перший тракторист за 1 год виконає частину роботи, а обидва, працюючи разом 1 год, — частину. Рівняння:

х = 15.

441.

Перша труба за 1 год наповнить басейну, а друга труба — басейну. Тоді обидві труби разом наповнять за 1 год — (басейну). Якщо відкрити одночасно обидві труби, то басейн наповниться за

Відповідь. 1 год 20 хв.

442.

Нехай друга група може виконати роботу за х год, тоді її продуктивність становить Перша група може виконати роботу за 1,5х год, тоді її продуктивність дорівнює Продуктивність їх спільної роботи становить Рівняння: Отже, друга група може прибрати береги за 10 год, а перша — 10 год: 1,5 = 600 хв : 1,5 = 400 хв = = 6 год 40 хв.

Відповідь. 6 год 40 хв і 10 год.

У відповіді підручника допущена помилка.

443.

Нехай одна жінка випиває барильце квасу за х днів, тоді за один день вона випиватиме частину квасу. Чоловік за один день випиває частину квасу, а разом із жінкою — частину. Рівняння: х = 35.

Відповідь. За 35 днів.

444.

За рік тато (Т) з мамою (М) з’їдять: Т+ М = 10 (поросят), тато (Т) із сином (С) — Т+ С = 8 (поросят), а мама (М) із сином (С) - М + С = 6 (поросят). Маємо: Т + М + Т + С + М + С = 10 + 8 + 6; 2(Т + М+ С) = 24; Т + М + С = 12. Отже, тато (Т) з’їдає за 1 рік = 52 тижні 12 - 6 = 6 (поросят), а з одним упорається за 52 : 6 = 9 (тижнів); мама (М) з’їдає 12 - 8 = 4 (поросят) за рік, а з одним упорається за 52 : 4 = 13 (тижнів); син (С) з’їдає 12 - 10 = 2 (поросят) за рік, а з одним упорається за 52 : 2 = 26 (тижнів).

Відповідь. Тато — за 9 тижнів, мама — за 13 тижнів, син — за 26 тижнів.

445.

Нехай х — кількість банків одягу ТЧХУ, які діють сьогодні. Рівняння: 5х = 16 • 150; 5х = 2400; х = 2400 : 5; х = 480. Отже, в системі ТЧХУ сьогодні діє 480 банків.

Відповідь. 480 банків.

446.

За умовою, у 16 кг сплаву міститься 55% міді, що становить 16 • 0,55 = 8,8 (кг). Нехай х кг — маса міді, яку необхідно додати до сплаву, щоб він містив 60% міді. Тоді маса сплаву буде (16 + х) кг, а міді в ньому— (8,8 + х) кг. Рівняння: 960 + 60х = 880 + 100х; 40х = 80; х = 2. Отже, до сплаву слід додати 2 кг міді.

Відповідь. 2 кг.

447.

Нехай х— продуктивність комбайна з меншою потужністю, тоді х + 0,25х = 1,25х — продуктивність комбайна з більшою потужністю. За час роботи комбайни зібрали 10 + (10 -4) • 1,25х = 17,5х картоплі. Тому час, необхідний для збору всієї картоплі комбайну з меншою потужністю, становить а комбайну з більшою потужністю —

Відповідь. 17 год 30 хв; 14 год.

448.

Для мал. 19 маємо такі ланцюжки перетворень: нехай деяке число х множать на 2, а від деякого числа у віднімають 5. Маємо: Шукані числа: 2х = 2 • 25 = 50, у - 5 = 2 - 5 = -3, х - 3 =25 - 3 =22, у : 2 = 2 : 2 = 1.

Для мал. 20 маємо такі ланцюжки перетворень: нехай деяке число х множать на 2, а від деякого числа у віднімають 4. Маємо:

Шукані числа: 2х = 2 - 8 = 16, у : 3=9 : 3 = 3, у - 4 = 9 - 4 = 5, х : 4 = 8 : 4 = 2.

449.

Нехай швидкість товарного поїзда х км/год, тоді швидкість пасажирського — (х + 20) км/год, а швидкого — х + 20 + 20 = (х + 40) (км/год). Відстань S між станціями А і В товарний поїзд проїде за пасажирський за — год, а швидкий за — Рівняння: х = 40. Тоді S = 360. Швидкість пасажирського поїзда х + 20 = 60 (км/год), а швидкого — х + 40 = 80 (км/год).

Відповідь. 360 км; 40 км/год, 60 км/год, 80 (км/год).

450.

7, 84, 9 — натуральні числа; 7, 84, 0, -8, -24, 9, — цілі числа; 7, 84, 0, 0,5, -8, -24, 9 — раціональні числа.

451.

а) Число 10¹² + 2 у десятковому записі має одну цифру 1, одну цифру 2 і решту цифр— нулі. Тоді сума цифр числа 10¹² + 2 у десятковому записі дорівнює 1 + 2 = 3 — ділиться на 3, а значить число 10¹² + 2 ділиться націло на 3;

б) число 1 + 10⁰+ 10¹⁰⁰ у десятковому записі має три цифри 1 і решту цифр — нулі. Тоді сума цифр числа 1 + 10¹⁰ + 10¹⁰⁰ у десятковому записі дорівнює 3 — ділиться на 3, а значить число 1 + 10⁰ + 10¹⁰⁰ ділиться націло на 3.

452.

а) Число 10¹⁵ + 8 у десятковому записі має одну цифру 1, одну цифру 8 і решту цифр— нулі. Тоді сума цифр числа 10¹⁵ + 8 у десятковому записі дорівнює 1 + 8 = 9 — ділиться на 9, а значить число 10¹⁵ + 8 ділиться націло на 9;

б) число 10¹⁰ у десятковому записі має одну цифру 1 і решту цифр— нулі (десять нулів). Тоді число 10¹⁰ - 1 у десятковому записі складається лише з цифр 9 (дев’ять дев’яток), а значить ділиться націло на 9.

453.

а) Графіком функції у = 3 - 2х є пряма; у = 3 - 2х

б) графіком функції є пряма