Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IV. Розв’язування прямокутних трикутників

Додаткові задачі до розділу IV

743. ABCD — паралелограм, АВ = 4√2 см, ВС = 8 см, ∠A = 45°.

Проведемо ВН₁⊥ AD, ВН₂ ⊥ CD. З ΔAH₁B:

Відповідь: 4 CM, 4√2 CM, 32 CM².

744. ABCD — ромб з гострим кутом а і радіусом вписаного кола r.

За властивістю діагоналей ромба

З ΔHOC:

З ΔBOC:

Відповідь:

745. ABC — трикутник, в якому AC = 10, ∠A = 45°, ∠C = 30°.

Проведемо BH ⊥ AC. Нехай AH = x, тоді HC = 10 — x.

З ΔAHB:

З ΔHВС:

З ΔAHB:

З ΔВС:

Відповідь:

746. ABC і A₁B₁C₁ — прямокутні трикутники (∠A = ∠A₁ = 90°), BC = В₁C₁.

Оскільки CB = C₁B₁, TO або Аналогічно

747. ABC — трикутник, в якому ∠A = 90°, ∠B = α, ВМ = l — бісектриса.

З ΔВАМ:

З ΔВАС:

Відповідь:

Відповідь: 37°.

Відповідь: не менший, ніж 2°.

750. ABC — трикутник з кутом ∠A = 90°, АС = b, АВ = а, ∠C = α, AH ⊥ ВС, АH = h.

З ΔАHС: З ΔАHВ: Скористаємося основною тригонометричною тотожністю: sin² α + cos² α = 1.

751. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = BC). AH ⊥ ВС, cos ∠B = a.

Відповідь:

752. Нехай ABC — даний трикутник (AB = BC), AB ⊥ BC, BD ⊥ AC, AB = 1/2BD.

за спільним кутом ∠C =>

Відповідь: 1/4.

753. Два кола (O₁; R₁) і (O₂; R₂) дотикаються зовні. ОF і ОК — їх спільні зовнішні дотичні, ∠FOK = 2α, О₁O₂ = d.

Проведемо радіуси R₁ і R₂ в точки дотику. За властивістю дотичних ОМ ⊥ OF і ON ⊥ OF => NMO₁O₂ — прямокутна трапеція.

ΔОО₂N = ΔОО₂K за гіпотенузою і катетом

Проведемо за гострим кутом => ∠NME = ∠NOO₂ = α.

Розглянемо ΔNEM:

Маємо: а за умовою R₁ + R₂ = d. Отже,

Відповідь:

754. Побудуємо ΔАВС, в якому ∠A = 45°, ∠C = 60°, тоді ∠B = 75°.

Проведемо BH₁ ⊥ AC. Позначимо BC = а. Тоді з ΔВН₁С:

У ΔABH₁:

Проведемо АН₂⊥ ВС. Із ΔАН₂С:

З ΔАВН₂:

Відповідь:

755. ΔABC — даний гострокутний трикутник, у якому ∠А = α, ВВ₁ і СС₁ — висоти.

за спільним гострим кутом α => Перепишемо цю пропорцію у вигляді але за двома сторонами і кутом між ними, причому k = cos α, тому

Відповідь: S cos² α.