Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. П. Єршової - 2017 рік

Розділ IIІ. Многокутники. Площі многокутників

§ 18. Застосування площ

Пояснення

Інколи для того, щоб пов’язати основні елементи фігур, застосовують метод площ. Для цього площу фігури виражають двома способами і прирівнюють одержані вирази. З одержаної рівності знаходять необхідні елементи.

608. а) Якщо кожну сторону трикутника збільшити в 4 рази, то його площа збільшиться в 16 разів.

б) Якщо кожну сторону трикутника зменшити в 3 рази, то його площа зменшиться в 9 разів.

в) Якщо кожну сторону трикутника зменшити в n разів, то його площа зменшиться в n² разів.

609. а) Зменшити у 5 разів, б) Збільшити в 7 разів, в) Збільшити в n разів.

610. Ні, не означає.

611. а) Якщо h_a < h_b < h_c, то а > b > с.

б) Якщо с < а < b, то h_c > h_a > h_b.

в) Якщо а < b, то h_a> h_b> h_c => а < с.

У трикутнику більшою є висота, проведена до меншої сторони.

612. ABC — даний трикутник (∠A = 90°), MN — середня лінія.

613. ABC — даний трикутник, AA₁, BB₁, CC₁ — його висоти.

Відповідь: 1 : 9.

Відповідь: 4 см.

Відповідь: 2 см².

617. За теоремою про відношення площ подібних трикутників:

Відповідь: 6 см².

61 8 . За теоремою про відношення площ подібних трикутників: Трикутник, утворений середніми лініями, подібний до даного трикутника з коефіцієнтом 1/2, тому:

Відповідь: 20 см².

Відповідь: 2,1 м.

620.

Відповідь: 6 см.

621. У паралелограма більшою є висота, проведена до меншої сторони.

Відповідь: 40 см.

622. Нехай ABC — даний трикутник (AB = ВС).

Проведемо висоти АА₁ і СС₁. Оскільки АВ = ВС, то АА₁ = СС₁.

623. Нехай ABC — даний трикутник, АА₁, ВВ₁, СС₁ — його висоти.

Оскільки АА₁ = ВВ₁ = СС₁ за умовою, то АС = АВ = ВС => ΔABC — рівносторонній.

624. Нехай S₁ = х см², тоді S₂ = (х + 24) см². За теоремою про відношення площ подібних трикутників маємо:

Відповідь: 3 см² і 27 см².

625. Периметри подібних трикутників відносяться так, як і їх відповідні сторони. Отже,

Відповідь: 108 м.

Відповідь: 36 см².

Відповідь: 12 см i 16 см.

Отже,

Відповідь: 24 см.

630. Нехай a і b — катети, а с — гіпотенуза прямокутного трикутника, h_c — висота, що проведена до гіпотенузи.

Оскільки позначимо а = 3х, а b = 4х, тоді за теоремою Піфагора За метричними відношеннями в прямокутному трикутнику тобто тому a = 3 ∙ 5 = 15 см, b = 4 ∙ 5 = 20 см.

Відповідь: 15 см, 20 см.

631. Нехай а і b — сторони паралелограма, а h_a і h_b — висоти, що проведені до них. S = ah_a = bh_b, але за умовою h_a = h_b, тому a = b => паралелограм є ромбом.

632. У прямокутному трикутнику або

633. Нехай ABC — даний трикутник, MN || АС.

за двома кутами. Оскільки тобто

Відповідь: 1: (√2 - 1).

634. Нехай ABC — даний трикутник, EF || АС.

за двома кутами.

а) Нехай тоді тоді

б) Нехай тоді тоді

Відповідь: шукана пряма ділить сторони трикутника у відношенні 3 : 2 або 4 : 1, починаючи з вершини, протилежної даній стороні.

635. отже, отже,

636. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = BC), М ∈ АС.

Проведемо MH₁ ⊥ АВ, МН₂⊥ BC, AH ⊥ ВС.

Оскільки АВ = ВС, то АН = МН₁ + МН₂, а АН — величина постійна, яка не залежить від вибору М.

637. Нехай ABC — даний трикутник (∠B = 90°, ∠A = 30°), ВМ — медіана.

За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, Отже, ВМ = МС. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, тому ВМ = МС = ВС => ΔBMC — рівносторонній.

638. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), ВМ — медіана.

За властивістю медіани, що проведена до основи рівнобедреного трикутника, ∠BMC = 90°, тоді з ΔBMC: ВМ = 1/2ВС => ∠C = 30° (катет в два рази менший за гіпотенузу). ∠A = ∠C = 30° (кути при основі рівнобедреного трикутника). ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 2 ∙ 30° = 120° за теоремою про суму кутів трикутника.

Відповідь: 30°, 30°, 120°.

Задачі для підготовки до контрольної роботи № 4

1. S = 180°(n - 2); 1080° = 180°(n - 2); n - 2 = 6; n = 8.

Відповідь: 8.

2. S_кв = а²; 144 = а²; а = 12 см. Нехай b і с — сторони прямокутника, тоді b = 12 - 2 = 10 см, с = 2 ∙ 12 = 24 см. S_np = bc = 10 ∙ 24 = 240 см².

Відповідь: 240 см².

3. Нехай ABC — даний трикутник (АВ = ВС), ВН — його висота.

Оскільки то позначимо ВС = 5x, АС = 6x. Висота є медіаною, тому За теоремою Піфагора ВН² + НС² = ВС²;

Відповідь: 48 см².

4. Нехай ABCD — даний ромб, ВН — його висота.

S_ABCD = AD ∙ ВН; 50 = АD ∙ 5; АВ = 10 см.

У ΔАВН ВН = 1/2АВ => кут, що лежить проти ВН, дорівнює 30°. Тому ∠C = ∠A = 30°, a ∠B = ∠D = 180° - ∠А = 180° - 30° = 150°.

Відповідь: 30°, 150°.

5. Нехай а і b — сторони даного паралелограма, тоді S = 15а = 18b. Оскільки сторони рівновеликого йому паралелограма дорівнюють 3а і 3b, то 3а ∙ h₁ = 15а; 3b ∙ h₂ = 18b; отже, h₁ = 5 см, h₂= 6 см.

Відповідь: 5 см і 6 см.

6. Нехай ABCD — дана трапеція (АВ = CD).

Оскільки в трапецію можна вписати коло, то AD + ВС = АВ + СD = 2 ∙ СD = 2с, а Н = 2r, тому