Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 2. Подібність трикутників

12. Подібні трикутники

Пояснення

Якщо трикутники ABC і А₁В₁С₁ подібні, то ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁,

A₁B₁ ~ B_lC₁ ~ AJCJ '

Якщо пряма, паралельна одній із сторін трикутника, перетинає дві інші його сторони, то вона відтинає від трикутника подібний йому трикутник.

Відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту подібності цих трикутників, тобто: якщо і то

424. Якщо то За умовою ∠A = 40°, ∠B = 82°, тоді ∠C =180° - (∠A + ∠B) = 180° - (40° + 82°) = 58°; ∠M = 40°, ∠K = 58°, тоді ∠N = 180° - (∠M + ∠K) = 180° - (40° + 58°) = 82°. Отже, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K; отже

Висновок:

Відповідь: так.

425. За умовою тоді Оскільки то тоді тоді

Відповідь: CP = 15 CM, DE = 3,6 CM, DF = 2,4 CM.

426. Із умови випливає, що . Із рівності маємо: із рівності маємо:

Відповідь: В₁С₁ = 10,5 см, А₁С₁ = 15 см.

427. Із умови випливає, що ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁. Тоді ∠A₁ = 25°, ∠B₁ = 70°, ∠C₁ = 180° - (∠A₁ + ∠B₁) = 180° - (25° + 70°) = 85°.

Відповідь: 25°, 70°, 85°.

428. За умовою тоді Оскільки то із рівності маємо із рівності маємо: із рівності маємо

Відповідь: 22,5 CM, 20 CM, 35 CM.

429. Тоді:

430. Оскільки DE || AC, то тоді:

звідки

звідки

AB = AD + DB, тоді AD = AB - DB, AD = 28 - 12 = 16 (CM).

Відповідь: 1) 12 CM; 2) 16 CM.

431. Оскільки MK || BC, то Тоді звідки звідки

Відповідь: 12 CM і 13,5 CM.

432. Нехай AH — висота спостерігача, AH = 1,8 м; BC — висота жердини, BC = 3 м; DE — висота вежі, АH ⊥ НЕ, ВС ⊥ НЕ, DE ⊥ НЕ. Відстань від спостерігача до жердини НС = 1,5 м, а до вежі — НЕ = 39 м. Проведемо через точку А пряму, паралельну НЕ, вона перетинає ВС в точці М, а пряму DE — в точці N, тоді ВМ ⊥ AN, DN ⊥ AN, ВМ = ВС - МС, DN = DE - NE. Оскільки AH || MC || NE, AN || HE, тоді AH = MC = NE = 1,8 м, TO BM = 3 - 1,8 = 1,2 (M), DN = DE - 1,8 (м). Оскільки BM || DN, TO тоді звідки DE = DN + 1,8, DE = 31,2 + 1,8 = 33 м.

Відповідь: 33 м.

433. Розглянемо ΔAED і ΔВЕС. Оскільки ВС || AD, то звідки звідки звідки

Відповідь: 32 см.

434. Розглянемо ΔAMD і ΔBMC. Оскільки ВС || AD, то тоді

Відповідь: 36 см.

435. Два трикутники називають подібними, якщо їхні кути відповідно рівні та сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника. Нехай є 2 трикутники ABC і MNK, у яких АВ = ВС = АС, MN = NK = МК і АВ ≠ MN. Оскільки ці трикутники рівносторонні, то ∠A = ∠B = ∠C = 60°, ∠M = ∠N = ∠K = 60°. Отже, ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K; відношення рівні, оскільки АВ = ВС = АС, MN = NK = МК. Маємо: для ΔАВС і ΔMNK виконуються умови: ∠A = ∠M, ∠B = ∠N, ∠C = ∠K, отже, за означенням Що й треба було довести.

436. Оскільки М — середина CD, то К — середина AD, тоді КМ — середня лінія ΔACD, тоді (діагоналі квадрата рівні). Трикутники KMD і BDC прямокутні і рівнобедрені, тому ∠KDM = 90°, ∠DKM = 45°, ∠DMK = 45°, ∠BCD = 90°, ∠CBD = 45°, ∠CDB = 45°. У ΔKMD і ΔBDC: ∠MDK = ∠BCD, ∠DMK = ∠CBD, ∠DKM = ∠CDB, Тоді за означенням. Що й треба було довести.

437. У подібних трикутників відношення сторін зберігається. Тому, якщо у заданого трикутника сторони відносяться як 5 : 4 : 7, то і у подібного йому трикутника відношення сторін 5 : 4 : 7. Позначимо за х коефіцієнт пропорційності сторін подібного трикутника, х > 0, тоді їх довжини — 5х см, 4х см, 7х см.

1) Оскільки периметр трикутника 64 см, то 5х + 4х + 7х = 64, 16x = 64, звідки х = 4. Тоді сторони подібного трикутника 4 ∙ 5 = 20 (см), 4 ∙ 4 = 16 (см), 4 ∙ 7 = 28 (см).

2) Оскільки менша сторона трикутника 24 см, то 4x = 24, звідки х = 6. Тоді сторони подібного трикутника 6 ∙ 5 = 30 (см), 6 ∙ 4 = 24 (см), 6 ∙ 7 = 42 (см).

Відповідь: 1) 20 см, 16 см, 28 см; 2) 30 см, 24 см, 42 см.

438. Нехай сторони заданого трикутника а = 15 см, b = 25 см, с = 35 см, а сторони подібного йому трикутника відповідно а₁, b₁, c₁.

1) Периметр заданого трикутника Р = а + b + с, Р = 15 + 25 + 35 = 75 (см), а подібного — P₁ = a₁ + b₁ + с₁. Периметри подібних трикутників відносяться як відповідні сторони, тому За умовою Р₁ = 45 см, тому Тоді звідки звідки звідки

2) Сторони заданого трикутника відносяться як 15 : 25 : 35 = 3 : 5 : 7. Це відношення зберігаються і для подібного йому трикутника. Позначимо за х коефіцієнт пропорційності сторін подібного трикутника, х > 0, тоді довжини його сторін — 3х см, 5x см і 7х см. Різниця найбільшої і найменшої 16 см. Тоді 7х — 3x = 16, х = 4. Отже, сторони: 4 ∙ 3 = 12 (см), 4 ∙ 5 = 20 (см), 4 ∙ 7 = 28 (см).

Відповідь: 1) 9 см, 15 см, 21 см; 2) 12 см, 20 см, 28 см.

439. Оскільки KBDE — ромб, то КЕ || BD, КЕ || ВС, тоді звідки Позначимо довжину КЕ за х см, х > 0, тоді АК = АВ - КВ = АВ - х = 10 - х, оскільки КЕ = КВ. Маємо відношення звідки 10x = 150 — 15x, 25x = 150, x = 6. Отже, сторона квадрата 6 см.

Відповідь: 6 см.

440. Оскільки BMKN — квадрат, то МК || BN, МК || ВС, отже, тоді як сторони квадрата, BN = МК = 4 см; ВС = 4 + CN. Маємо: тоді 4 + CN = 10, CN = 6 см.

Відповідь: 6 см.

441. Оскільки точка А — точка дотику кіл, то О₁А і О₂А — їх радіуси, О₁А = 8 см, O₂A = 12 см. Тоді О₁О₂ = О₁А + О₂А = 8 + 12 = 20 (см). Нехай КВ — спільна зовнішня дотична кіл, точка Nлежить на колі з центром O₂, точка М — на колі з центром О₁. За властивістю радіусів кіл, проведених у точку дотику, О₁M ⊥ KB, O₂N ⊥ КВ, тоді О₁М || O₂N i звідки звідки 3ВO₁ = 2ВO₁ + 40, BO₁ = 40 см — відстань від точки В до центра О₁, ВO₂ = 40 + 20 = 60 (см) — відстань від точки В до центра O₂.

Відповідь: 40 см, 60 см.

442. Нехай у ΔABC АВ = ВС, ВН ⊥ АС, OB = ОН, KM || АВ, К ∈ АС, М ∈ ВС, О ∈ КМ. Оскільки КМ || АВ, то тоді Оскільки О — середина ВН (висота, а отже, і медіана), і OK || АВ, то ОК — середня лінія ΔАВН і К — середина АН. тоді Маємо: звідки

Відповідь: 36 см.

443. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 18 см, АС = 12 см, О — центр вписаного кола. Проведемо медіану ΔАВС до АС, яка є і бісектрисою, і висотою ΔАВС, BD ⊥ АС. Точка О лежить на BD, оскільки центр кола, вписаного в трикутник, — точка перетину його бісектрис. Проведемо радіуси ОМ і ON в точки дотику кола, М ∈ АВ, N ∈ ВС, ОМ ⊥ АВ, ON ⊥ ВС; У прямокутних ΔМОВ і ΔNOB ОМ = ON(радіуси), ОВ — спільна, тоді ΔМОВ = ΔNOB, звідки MB = NB. У ΔМВК і ΔNBK КВ — спільна, MB = NB, ∠MBO = ∠NBO, тоді ΔМВК = ΔNBK за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠MKB = ∠NKB, а оскільки ∠MKN розгорнутий, то ∠MKB = ∠NKB = 180° : 2 = 90°. Прямі MN і АС перетинає пряма BD і відповідні кути ∠BKM = ∠KDA, тоді MN || АС. Із цього випливає, що тоді звідки тоді АМ = AD = 6 см як відрізки дотичних, проведених із однієї точки до кола. Маємо: MB = АВ - AM = 18 - 6 = 12 (см). Тоді

Відповідь: 8 см.

444. Оскільки BD — бісектриса ∠ABC, то ∠ABD = ∠CBD = 120° : 2 = 60°. Проведемо через точку D пряму, паралельну АВ, яка перетинає ВС в точці Е. ∠EDB = ∠ABD як внутрішні різносторонні кути при АВ || DE та їх січній BD, тоді ∠BDE = 60°, отже, ∠BDE = ∠EBD = 60° і ΔBED — рівносторонній, BD = DE = BE. (оскільки ED || АВ), тоді або або звідки 12BD = 96 - 8BD. 20BD = 96, BD = 4,8 см.

Відповідь: 4,8 см.