Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас А. Г. Мерзляка - 2017 рік

§ 2. Подібність трикутників

11. Теорема Фалеса. Теорема про пропорційні відрізки

Пояснення

Теорема Фалеса. Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки й на другій його стороні.

Якщо паралельні прямі перетинають сторони кута, то відрізки, що утворилися на одній стороні кута, пропорційні відповідним відрізкам, що утворилися на другій стороні кута.

Властивість медіан трикутника: усі три медіани трикутника перетинаються в одні точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини трикутника.

Властивість бісектриси трикутника: бісектриса трикутника ділить його сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам.

375. Якщо відрізки АВ і CD пропорційні відповідно відрізкам EF і МК, то виконується рівність:

тоді і відрізки пропорційні;

і відрізки не пропорційні.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

376. Наприклад, АВ і EF відповідно пропорційні відрізкам PS і МК, оскільки

377. За теоремою про пропорційні відрізки оскільки BD || СЕ. Тоді звідки

Відповідь: 3 см.

378. Оскільки A₁B₁ || A₂B₂ || A₃B₃, TO отже, звідки

Відповідь: 10 CM.

379. За умовою BD = 2AD. Оскільки DE || AC, TO звідки BC = BE + EC, BC = 10 + 5 = 15 (CM).

Відповідь: 15 CM.

380. Оскільки MK || BC, TO тоді звідки

Відповідь: 12 CM.

381. Нехай у ΔABC M — середина АВ, N — середина BC, К — довільна точка сторони АС, що не співпадає ні з А, ні з С. Тоді MN — середня лінія ΔABC, L — точка її перетину з ВК. MN || АС і вони перетинають сторони кута АВК в точках М і А та KL.

На стороні ВА ці прямі відтинають рівні відрізки MB = МА, тоді за теоремою Фалеса вони відтинають і на стороні ВК рівні відрізки, отже, BL = LK. Оскільки точку К було обрано довільно, то середня лінія трикутника MN ділить будь-який відрізок, що сполучає точку В з точкою К сторони АС, навпіл. Що й треба було довести.

382. Нехай у прямокутнику ABCD О — точка перетину діагоналей, ОМ ⊥ AD, М ∈ AD, ОМ = 7 см. Діагоналі прямокутника точкою перетину діляться навпіл, тому O — середина BD. АВ ⊥ AD, ОМ ⊥AD, тоді ОМ || АВ i вони перетинають сторони кута BDA. На стороні DB прямі відтинають рівні відрізки OD і ОВ, тоді на стороні DA вони також відтинають рівні відрізки MD і МА, отже, М — середина AD, тоді ОМ — середня лінія ΔАВD. За її властивістю ОМ = 1/2АВ, тоді АВ = 2ОМ, АВ = 7 см ∙ 2 = 14 см.

Відповідь: 14 см.

Пояснення

Якщо у трикутника один кінець відрізка є серединою сторони, а сам відрізок паралельний до цієї сторони, то він є середньою лінією трикутника.

383. Нехай у рівностороннього ΔABC ВН — висота і ВН = 12 см. Оскільки ΔАВС — рівносторонній, то його висоти є медіанами і бісектрисами. Проведемо медіани АК і CL, вони перетинаються в точці О. За властивістю медіан трикутника ВО : ОН = 2 : 1, отже: ВО = 2ОН, ВО + ОН = 3ОН і за умовою 3ОН = 12 см, звідки ОН = 4 см. ОН ⊥ АС, OK ⊥ BC, OL ⊥ АВ, отже, ОН, ОК, ОL — відстані від точки О до сторін АС, ВС і АВ відповідно. Оскільки у рівностороннього трикутника висоти рівні, то ОН = OK = OL = 4 см. Оскільки висоти є і бісектрисами, то О — точка перетину бісектрис трикутника, тоді відстань від точки перетину бісектрис до сторін — 4 см.

Відповідь: 4 см.

384. Нехай т. О — точка перетину медіан CD і ВК ΔABC, CD = 9 см. За властивістю медіан трикутника ОС : OD = 2 : 1, отже, ОС = 2OD, тоді CD = OD + 2OD = 3OD. Маємо: 3ОD = 9, звідки OD = 3 см, тоді СО = 3 см ∙ 2 = 6 см.

Відповідь: СО = 6 см, OD = 3 см.

385. За властивістю бісектриси BD трикутника ABC точка D ділить сторону АС на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам АВ і ВС, отже, звідки

Відповідь: 16 см.

386. За властивістю бісектриси AM ΔАВС звідки ВС = ВМ + МС, ВС = 18 + 12 = 30 (см).

Відповідь: 30 см.

387. Нехай пряма а і відрізок АВ розміщені так, що АВ не перетинає а. Опустимо перпендикуляр із точок А і В на пряму а, тоді AH ⊥ a, BN ⊥ а, і нехай АН = 8 см, BN = 14 см. Позначимо середину АВ — точку О — і опустимо із неї перпендикуляр до а — OK. ОК ⊥ а, тоді AH || OK || BN і вони відтинають на прямій АВ рівні відрізки AO = ОВ, тоді КН = KN, отже, ОК — середня лінія трапеції HABN (HABN — трапеція, оскільки НА || BN, а ). Тоді ).

Відповідь: 11 см.

388. Нехай середина хорди ВС — т. М. Опустимо із неї перпендикуляр МН до АС, МН = 3 см. Опустимо перпендикуляр BN до АС, тоді BN || МН і М — середина ВС, тоді в ΔBNC МН — середня лінія і BN = 2МН, BN = 3 см ∙ 2 = 6 см. Розглянемо ΔABN: ∠BNA = 90°, ∠BAN = 30°, тоді BN — катет, що лежить проти кута в 30°, отже, АВ = 2BN, АВ = 6 см ∙ 2 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

389. Нехай у ромба ABCD т. О — точка перетину діагоналей, ВМ — висота, ВМ ⊥ AD. Проведемо OK ⊥ AD, ОК — відстань від точки перетину діагоналей ромба до AD. Оскільки ВМ ⊥ AD, OK ⊥ AD, то ОК || ВМ. У ΔАВМ ∠BMA = 90°, ∠BAM = 45°, тоді ∠ABM = 45°, отже, ΔАВМ — рівнобедрений, де AM = ВМ, тоді ВМ = 8 см. У ΔBMD ОК || ВМ, О — середина BD, тоді ОК — середня лінія, отже, ОК = 1/2ВМ, ОК = 8 см : 2 = 4 см.

Відповідь: 4 см.

390. У ріввобедреного ΔАВС В — середина ВС, DF ⊥ АС, BE — висота, BE ⊥ АС, тоді DF || BE, тоді DF — середня лінія ΔВЕС, DF = 1/2BE, DF = 12 CM : 2 = 6 CM.

BE — висота рівнобедреного ΔАВС, проведена до основи, тоді BE — медіана, отже, АЕ = ЕС = 8 см : 2 = 4 см; F — середина ЕС, тоді EF = 1/2EC, EF = 4 см : 2 = 2 см; AF = АЕ + EF, AF = 4 + 2 = 6 (см). У прямокутного ΔADF AF = DF, отже, ΔADF — рівнобедрений, тоді ∠ADF = ∠DAF = 45°.

Відповідь: 6 см; 45°.

391. Нехай сторону АВ ΔАВС поділили точками К, L і М на 4 рівних відрізки так, що AK = KL = LM = MB, і провели КК₁ || АС, LL₁ || АС, ММ₁ || АС, тоді К₁C = К₁L₁ = L₁M₁ = M₁B. Точка L — середина АВ, LL₁ || АС, тоді LL₁ — середня лінія ΔАВС, тоді LL₁ = 1/2АС, LL₁ = 24 см : 2 = 12 см.

Точка М — середина LB, MM₁ || LL₁, тоді ММ₁ — середня лінія ΔLBL₁, тоді MM₁ = 1/2LL₁, MM₁ = 12 см : 2 = 6 см. Чотирикутник ALL₁C — трапеція, K — середина AL, КК₁ || АС, тоді КК₁ — середня лінія трапеції, тоді

Відповідь: 18 см, 12 см, 6 см.

392. Нехай у трапеції ABCD М ∈ АВ, К ∈ АВ і AM = МК = KB, MN || АD, KL || AD, N ∈ CD, L ∈ СD. У трапеції AKLD MN — середня лінія, У трапеції MBCN KL — середня лінія і 2KL - ВС = MN, тоді звідки 3КL = АВ + 2ВС, 3KL = 28 + 2 ∙ 16, 3KL = 60, KL = 20 см;

Відповідь: 20 см, 24 см.

393. Нехай у ΔDEF М ∈ DE, А ∈ DE, DM = МА = АЕ; MN || DF, АВ || DF, N ∈ EF, В ∈ EF. АВ — середня лінія ΔMEN, тоді АВ = 1/2MN, MN = 2АВ. MN — середня лінія трапеції DABF, тоді Маємо:

Відповідь: 5 см, 10 см.

394. Нехай у трапеції ABCD (СВ || AD) MN — середня лінія, М — середина АВ, N — середина CD. MN || ВС || AD, Нехай точка перетину MN і АС — т. К, MN i BD т. L. У ΔABC М — середина АВ, МК || ВС, тоді за теоремою Фалеса К — середина АС, отже, середня лінія ділить діагональ навпіл. У ΔBCD N — середина CD, NL || ВС, тоді за теоремою Фалеса L — середина BD, отже, середня лінія трапеції ділить діагоналі навпіл. Що й треба було довести.

395. За доведеним у попередній задачі середня лінія МК ділить АС навпіл, Е — середина АС. Тоді ME — середня лінія ΔАВС, тоді ME = 1/2ВС, ВС = 2ME, ВС = 4 см ∙ 2 = 8 см. ЕК — середня лінія ΔACD, тоді ЕК = 1/2AD, AD = 2ЕК, AD = 6 см ∙ 2 = 12 см.

Відповідь: 8 см, 12 см.

396. За доведеним у попередній задачі ME — середня лінія ΔABC, ME = 1/2ВС, FК — середня лінія ABCD, FK = 1/2ВС. Отже, ME = FK. Що й треба було довести.

397. Скористайтеся рисунком до задачі 396. Нехай в трапеції ABCD (ВС || AD), ВС = 12 см, AD = 22CM; M — середина АВ, К — середина CD. МК перетинає АС в точці Е, a BD — в точці F. Діагоналі ділять середню лінію на відрізки ME, EF та FK. ME — середня лінія ΔABC, тоді ME = 1/2ВС, ME = 12 см : 2 = 6 см; FK = ME за доведеним у задачі 396. Тоді FK = 6 см. За властивістю середньої лінії трапеції Тоді EF = МК - (ME + FK) = 17 - (6 + 6) = 5 (см).

Відповідь: 6 см, 5 см, 6 см.

398. Паралельні прямі відтинають на заданих прямих пропорційні відрізки, тоді звідки

звідки

EF + FM + МК = ЕК, звідки МК = ЕК - (EF + FM), МК = 48 - (15 + 12) = 21 (см).

Відповідь: EF = 15 см, FM = 12 см, МК = 21 см.

399. Оскільки DE || АВ, то Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за х, х > 0, тоді BE — 5х см, ЕС — 7х см. ВС = BE + ЕС, тоді 5х + 7х = 36, 12х = 36, х = 3. Отже, BE = 3 ∙ 5 = 15 (см).

Відповідь: 15 см.

400. Проведемо діагоналі BD і АС. У паралелограма діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Позначимо цю точку О. О — середина BD, К — середина AD, М — середина АВ. Отже, ВК, DM і АО — медіана ΔABD. За властивістю медіан вони перетинаються в одній точці, отже, точка перетину відрізків ВК і DM належить АО, отже, діагоналі АС. Що й треба було довести.

401. Нехай у ΔАВС М — середина АС, L — середина ВС, О — точка перетину медіан ВМ і AL, при цьому ВМ = AL. За властивістю медіан вони перетинаються і точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Отже, ВО : ОМ = АО : ОМ = 2 : 1, тоді BO = АО, OL = ОМ. У ΔBOL і ΔАОМ ВО = АО, OL = ОМ, ∠BOL = ∠АОМ, тоді ΔBOL = ΔАОМ за двома сторонами і кутом між ними, звідки ∠LBO = ∠MAO. Розглянемо ΔВСМ і ΔACL: AL = ВМ, ∠CBM = ∠LAC, ∠C — спільний, тоді ∠ALC = ∠BMC, отже, ΔВСМ = ΔACL за стороною і прилеглими до неї кутами. Тоді ВС = АС, отже, ΔАВС — рівнобедрений. Що й треба було довести.

402. У рівнобедреного ΔАВС ВН — висота і медіана, тоді О — точка перетину медіан, тоді АО : ОМ = 2 : 1, отже, У ΔАОН ∠OHA = 90°, ∠HAO = 30°, тоді OH — катет, що лежить проти кута в 30°, отже, ОН = 1/2АО, ОН = 30 : 2 = 15 (см). BO : OH = 2 : 1, отже, OH = 1/3BH, тоді BH = 3ОН, BH = 15 CM ∙ 3 = 45 CM.

Відповідь: 45 см.

403. Поділіть відрізок АВ точкою М навпіл. Побудуйте промінь МО. На цьому промені від точки О відкладіть відрізок ОС такий, що ОС = 2МО і так, що О лежить між М і С. З’єднайте точки А, В і С. ABC — шуканий трикутник.

404. За властивістю бісектриси трикутника Позначимо довжину DC за х см, х > 0, тоді AD - (36 - х) см. Тоді За основною властивістю пропорції 28х = 720 - 20х, звідки 48x = 720, х = 15. Тоді CD = 15 см; AD = 36 - 15 = 21 (см).

Відповідь: CD = 15 см, AD = 21 см.

405. Оскільки CDEF — ромб, то діагональ його СЕ — бісектриса ∠C. Отже, СЕ — бісектриса ΔАВС, тоді Позначимо за х коефіцієнт їх пропорційності, х > 0, тоді ВС — 2х см, АС — 5х см. У ΔАВС АВ = АЕ + BE, АВ = 30 + 12 = 42 (см), P_ΔABC = 105 см. Маємо: АВ + ВС + АС = P_ΔABC, 42 + 2х + 5х = 105, 7x = 63, х = 9. Тоді ВС = 9 ∙ 2 = 18 (см), АС = 9 ∙ 5 = 45 (см).

Відповідь: 18 см, 45 см.

406. Нехай у ΔАВС АВ = 39 см, АС = 65 см, ВС = 80 см, О ∈ ВС, О — центр кола, вписаного в кут ВАС, тобто радіуси OK ⊥ АВ, ОМ ⊥ АС. Знайдемо BО і ОС.

Проведемо АО. У ΔАКО і ΔАМО АО — спільна, ОК = ОМ як радіуси, АК = АМ як відрізки дотичних до кола, проведених із однієї точки, тоді ΔАКО = ΔАМО, звідки ∠KAO = ∠MAO, тобто АО — бісектриса ∠KAM і є бісектрисою ΔАВС. Тоді Позначимо довжину ВО за x см, х > 0, тоді ОС - (80 - х) см. Маємо: Тоді ВО = 30 см, ОС = 80 — 30 = 50 (см).

Відповідь: 30 см, 50 см.

407. За умовою AM : ВМ = 2:7. Позначимо коефіцієнт їх пропорційності за x, x > 0, тоді AM — 2x, ВМ — 7х, отже, АВ = ВС = 9x. D — середина АС, тоді ВD — медіана ΔABC, проведена до основи, отже, вона є бісектрисою. Маємо: БО — бісектриса ΔМВС, тоді за властивістю бісектриси трикутника

Відповідь: 7 : 9.

408. За умовою АО : ОD = 3 : 8. Позначимо за x коефіцієнт їх пропорційності, x > 0, тоді АО — 3x, ОD — 8x. Оскільки DE = FE, EC ⊥ DF, то ЕС є і бісектрисою ∠DEF. Тоді у ΔDEA ЕО — бісектриса, отже, Маємо: Але DE = EF, тоді Якщо весь відрізок EF становить 8 частин, а АЕ — 3 таких частини, то AF = EF - ЕА і становить 8 - 3 = 5 частин. Отже, ЕА : AF = 3 : 5.

Відповідь: 3 : 5.

409. Нехай у ΔАВС АВ = ВС, ВН — висота, ВH = 42 см, АС : АВ = 6 : 11. Висота ВН є і медіаною, тому АН = 1/2АС, отже, Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину його бісектрис. Проведемо АK — бісектрису, яка перетинає ВH (бісектрису) в точці О. У ΔАВН АО — бісектриса, тоді: тоді Оскільки ОН ⊥ АС, то ОН — радіус кола, вписаного в ΔАВС, тоді

Відповідь: 9 см.

410. Нехай у ΔАВС АВ = ВС = 60 см, О — центр вписаного кола, що лежить на медіані так, що BО : ОМ = 12 : 5. Центр кола, вписаного в трикутник, — точка перетину його бісектрис, тому бісектриса ∠A проходить через точку О. У ΔАВМ АО — бісектриса, тоді звідки М — середина АС, тому АС = 2AM, АС = 25 ∙ 2 = 50 (см).

Відповідь: 50 см.

411. Нехай О — точка перетину медіани ВК і відрізка AM. Проведемо через точку К пряму, паралельну AM, її точка перетину з ВС — точка N. За умовою ВМ : МС = 3 : 10. Позначимо за х коефіцієнт їх пропорційності, x > 0, тоді ВМ — 3х, МС — 10х. У ΔАМС KN — медіана, оскільки К — середина АС і KN || AM, тоді N — середина МС, тоді NM = 1/2MC, NM = 5х. Паралельні прямі AMі KN перетинають сторони кута ∠КВС так, що ВМ : MN = 3 : 5. Тоді на стороні ВК вони відтинають пропорційні цим сторонам відрізки. Отже, BО : ОК = 3 : 5.

Відповідь: 3 : 5.

412. Нехай медіана ВК і відрізок СМ перетинаються в точці О.

1) Проведемо через точку М пряму, паралельну ВК, яка перетинає АС в точці Е. Прямі EM || КВ і перетинають сторони ∠ВАС так, що AM : MB = 4 : 3, тоді АЕ : ЕК = 4 : 3. ВК — медіана, тому АК = КС, тоді Прямі ЕМ || КВ перетинають сторони кута АСВ так, що ЕК : КС = 3 : 7, тоді МО : ОС = 3 : 7.

2) Проведемо через точку К пряму, паралельну МС, яка перетинає АВ в точці N. За умовою AM : ВМ = 4 : 3, тоді AM — 4х, MB — 3х, де х — коефіцієнт їх пропорційності (х > 0). У ΔАМС KN — середня лінія, тоді NM = AN = 2х. Прямі NK || МС і перетинають сторони ∠ABK так, що NM : MB = 2 : 3. Тоді КО : ОВ = 2 : 3. Отже, медіана ділиться у відношенні 2 : 3.

Відповідь: 1) 3 : 7; 2) 2 : 3.

413. Нехай у трапеції ABCD (ВС || AD) MN — середня лінія і вона перетинає діагональ АС і точці О, діагональ BD — в точці Е. MN || АВ. МО — середня лінія ΔABC, тоді О — середина АС; NE — середня лінія ΔBCD, тоді Е — середина BD. Тоді відрізок ОЕ сполучає середини діагоналей. ОЕ лежить на середній лінії трапеції, тоді ОЕ || AD, що й треба було довести. За властивістю середньої лінії трапеції За властивістю середньої лінії трикутника MN = MO + OE + EN, звідки OE = MN - (MO + EN),

Відрізок, що сполучає середини діагоналей трапеції, дорівнює половині різниці більшої основи і меншої. Що й треба було довести.

414. Побудуйте довільний гострий кут з вершиною А. На одній його стороні відкладіть відрізок АВ довжиною b та відрізок ВС довжиною с так, щоб точка В лежала між А і С. На другій стороні кута відкладіть відрізок АD довжиною а. Через точки D і В проведіть пряму, а через точку С проведіть пряму, паралельну DB. Точку її перетину з променем АВ позначте X. Тоді АD : DХ = АВ : ВС, тобто а : х = b : с. Відрізок DХ — шуканий.

415. Побудуйте даний кут і позначте задану точку А, що належить куту.

1) Через точку О проведіть пряму, паралельну одній із сторін кута. Її точку перетину зі стороною позначте В. На цій стороні кута відкладіть ВС = АВ так, що В лежить між А і С. Побудуйте промінь СО, його точку перетину з другою стороною кута позначте D. Відрізок DС — шуканий, оскільки В — середина АС і ВО || АВ, тоді О — середина СD.

2) Через точку О проведіть пряму, паралельну другій стороні кута А. Точку її перетину з першою стороною позначте Е. Поділіть відрізок АЕ навпіл точкою F. На цій же стороні кута відкладіть відрізок ЕК такий, що ЕК = 3AF так, що точка Е лежить між А і К. Проведіть промінь КО до перетину з другою стороною кута, цю точку позначте Р. РК — шуканий відрізок. Якщо АЕ : ЕК = 2 : 3, то і РО : ОК = 2 : 3.

416. 1) Побудуйте відрізок АС, що дорівнює заданій стороні. Побудуйте в одну півплощину відносно АС кут DАК і ∠ACN, що дорівнюють заданим. Точку їх перетину позначте О. Медіани точкою перетину діляться у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини. Тому поділимо АО навпіл і на цьому промені від точки О відкладемо відрізок ОК, що дорівнює його половині так, що О лежить між А і К. Аналогічно поділимо ОС навпіл і на цій медіані відкладемо ON, що дорівнює знайденій половині. Проведемо промені AN і СК. Точку їх перетину позначимо В. ΔАВС — шуканий.

2) Побудуйте відрізок AM, що дорівнює одній із медіан. Поділіть його на 3 рівні частини і позначте одну із точок поділу О так, щоб АО = 2ОМ. Через точку О проведіть пряму l під заданим кутом між медіанами. Поділіть другу задану медіану на 3 рівні частини і на прямій І відкладіть по різні боки від точки О відрізки ON, що дорівнює третині цієї медіани, і ОB, що дорівнює двом третинам медіани. Проведіть промені AN і ВМ, точку їх перетину позначте С. З’єднайте точки А, В і С. ΔАВС — шуканий.

4) Побудуйте відрізок АА₁, що дорівнює одній із медіан. Поділіть його на 3 рівні частини і позначте точку О так, щоб АО = 2A₁O. Із точки О проведемо коло радіусом, що дорівнює двом третинам другої медіани, а із точки А — з радіусом, що дорівнює двом третинам третьої медіани. Точку їх перетину позначимо F. Із точки О проведіть коло з радіусом, що дорівнює AF, а із точки F — радіусом ОА. Точку перетину кіл позначте В. Проведіть промінь ВА₁ у півплощину відносно ВА, в якій лежить точка О, та промінь FO. Точку перетину променів позначте С. З’єднайте точки А, В і С. ΔАВС — шуканий.

417. 1) Побудуйте відрізок АВ, що дорівнює заданій стороні трикутника. Із точки А проведіть коло з радіусом, що дорівнює двом третинам однієї медіани, а із точки В — двом третинам другої медіани. Точку перетину кіл позначте О. Проведіть промені АО і ВО. На промені АО відкладіть відрізок OA₁, що дорівнює третині першої медіани так, щоб і О лежала між точками А і А₁. На промені BО відкладіть відрізок ОВ₁, що дорівнює третині медіани так, щоб т. О лежала між точками В і B₁. Проведіть промені АВ₁ і ВА₁ та точку їх перетину позначте С. З’єднайте точки А, В і С. ΔABC — шуканий.

2) Побудуйте пряму а, оберіть на ній точку К і побудуйте перпендикуляр до а — С₁К, що дорівнює половині заданої висоти. Із точки С₁ проведіть коло з радіусом, що дорівнює першій медіані, його точку перетину з прямою а позначте С. Через точку С₁ проведіть пряму b, паралельну а. Поділіть відрізок CC₁ на 3 рівні частини і позначте на СС₁ точку О так, щоб СО = 2С₁О. Із точки О проведіть коло з радіусом, що дорівнює двом третинам другої медіани, точку його перетину з прямою а позначте А. Із точки О проведіть коло з радіусом, що дорівнює третині другої медіани, його точку перетину з прямою b позначте А₁. Проведіть промені АС₁ і СА₁, а точку їх перетину позначте В. З’єднайте точки А, В і С. ΔАВС — шуканий.

419. Проведемо через точку С пряму, паралельну BD, яка перетинає АB в точці К. Оскільки СК || BD, то ∠CKB = ∠DBN (половині зовнішнього кута); ∠BCK = ∠DBC як внутрішні різносторонні при СК || BD та їх січній BС і також дорівнює половині зовнішнього кута. Тоді ΔВСК — рівнобедрений і BС = ВК. Оскільки СК || BD, то вони відтинають на сторонах кута DAN пропорційні відрізки і АB: ВК = AD : CD або АB : BС =AD : CD. Що й треба було довести.