Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» 8 клас О. С. Істера - 2017 рік

Розділ 2. Подібність трикутників

§ 12. Узагальнена теорема Фалеса

Пояснення

Теорема про пропорційні відрізки. Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.

Наслідок 1.

Наслідок 2.

434. 4.

Відповідь:

Нехай АС = х, тоді

Відповідь: 9 см.

Відповідь:

1) ∠O.

2) Відкладаємо на одній стороні ОА = а, а на другій ОВ = с і ВС = b.

3) Проводимо CD || AB, CD ∩ OD = D.

4) AD = х — шуканий відрізок.

1) ∠O.

2) На одній стороні ∠О відкладаємо ОА = m.

3) На другій стороні ∠О відкладаємо послідовно ОС = b, CD = n.

4) Проводимо BD || АС, BD ∩ ОВ = т. В.

5) АВ — шуканий відрізок.

443. ОА = 4, АС = 6, OD = 15. Нехай ОВ = х см.

Відповідь: 6; 9.

444. ОВ = 5, BD = 7, АС - ОА = 1. Нехай ОА = x см, тоді

Відповідь: 2,5; 3,5.

445. Дано: ΔАВС, М ∈ АВ, АM : MB = 1 : 3, АР — медіана, АВ ∩ СМ = т. Е.

Знайти: АЕ : КЕ.

Розв'язання. Відрізок СМ перетинає медіану АР у точці Е. Проведемо PF || СМ. У ΔАВС ВР = ВС = 1 : 1. За узагальненою теоремою Фалеса BF : FM = 1 : 1, F — середина ВМ. За умовою задачі AM: MB = 1 : 3, отже AM : MF = 1 : 1,5. У ∠BAC AM : MF = AE : ЕР, АЕ : ЕР = 1 : 1,5 або АЕ : ЕР = 2 : 3.

Відповідь: 2 : 3.

446. Дано: ΔАВС, AD — медіана, ВМ ∩ АС = т. М, ВМ ∩ AD = т. Р. AF : FD = 5 : 3.

Знайти: AM : МС.

Розв’язання.

Проведемо ED || MB. CD = DB, бо AD — медіана. Тоді за теоремою Фалеса: СЕ = ЕМ.

Оскільки СЕ = ЕМ = 3,

Відповідь: 5 : 6.

447. Дано: ABCD — чотирикутник, АС = 5 м, Р_ΔАВС = 12 см, Р_ΔАCD = 14 см.

Знайти: Р_ABCD.

Розв’язання.

Відповідь: 16 см.

448. Дано: ABCD — трапеція прямокутна, АВ ⊥ AD, ∠С = 120°, АС = CD.

Знайти:

Розв’язання. ΔACD — прямокутний, СH — медіана, бісектриса і висота, ΔАСН і ΔDHC — прямокутні,

ВС + AD = ВС + АН + HD, ВС = AH. Нехай ВС = АН = HD = а.

тоді

Відповідь: 3/4.

449.

450. У 2 рази.

451. Ні, невідомо, чи АВ = А₁В₁.

452. Одна точка перетину діагоналей квадрата.