Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» H. А. Тарасенкової 7 клас - 2015 рік

Розділ 1. ВИРАЗИ І ТОТОЖНОСТІ

§ 4. Тотожність

Розв’яжіть задачі

132. 1) Ні; 2) ні; 3) так.

133. 1) Ні; 2) ні; 3) так.

134. 1) Ні; 2) так.

135. Так. Наприклад: 12 = 12.

136. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) ні; 5) так; 6) так, при а, с ≠ 0.

137. 1) Ні; 2) ні; 3) так; 4) так,

138. Спростивши ліву частину, ми матимемо: 12 - 5 + 9 = 16; 16 = 16 є тотожністю.

141. 1) ОДЗ-1: а і b — будь-які числа; ОДЗ-2: а і b — будь-які числа.

10а - (6а — 9b) = 10а - 6а + 9b = 4а + 9b. Тобто, 4а + 9b = 4а + 9b, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: n і m — будь-які числа; ОДЗ-2: n — будь-яке число.

(0,7n - 0,6m) - 2(0,4n - 0,3m) = 0,7n - 0,6m - 0,8n + 0,6m = -0,1n.

Тобто, -0,1n = -0,1n, що й треба було довести.

142. ОДЗ-1: а і b — будь-які числа; ОДЗ-2: а і b — будь-які числа.

(17а — 6b) + 4(-5а + 4b) = -3а + 10b;

(17а — 6b) + 4(-5а + 4b) = 17а — 6b - 20а + 16b = -3а + 10b;

Тобто, -3а + 10b = -3а + 10b, що й треба було довести.

143. 1)ОДЗ-1: а — будь-яке число; ОДЗ-2: а і b — будь-які числа.

Тобто а = а, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: с i d — будь-які числа; ОДЗ-2: с i d — будь-які числа.

4(d - с) - 5(d - с) = 4d- 4с - 5d + 5с = с - d.

Тобто с - d = с - d, що й треба було довести.

144. ОДЗ-1: с — будь-яке число; ОДЗ-2: с і d — будь-які числа.

0,8(5с - 3d) - 4(2,5с - 0,6d) = 4с - 2,4d - 10с + 2,4d = -6с.

Тобто -6с = -6с, що й треба було довести.

145. 1) ОДЗ-1: а і b — будь-які числа; ОДЗ-2: а і b — будь-які числа.

12а - 4(3а — 7b) = (4а + b) - (4а — 27b);

12а - 12а + 28b = 4а + b - 4а + 27b;

28b = 28b, що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: m і n — будь-які числа; ОДЗ-2: m і n — будь-які числа.

Звідси:

що й треба було довести.

146. ОДЗ-1: m і n — будь-які числа; ОДЗ 2: m і n — будь-які числа.

Звідси:

що й треба було довести.

147. 1) ОДЗ-1: а і b — будь-які числа; ОДЗ-2: а і b — будь-які числа.

4,9а - 4(а - 0,6b) - 0,3(3а + 8b) = 4,9а - 4а + 2,4b - 0,9а - 2,4b = 0,9а - 0,9а + 2,4b - 2,4b = 0.

Тобто 4,9а - 4(а - 0,6b) = 0,3(3а + 8b), що й треба було довести.

2) ОДЗ-1: р і k — будь-які числа; ОДЗ-2; р і k — будь-які числа.

Тобто що й треба було довести.

148. ОДЗ-1: р і k— будь-які числа; ОДЗ-2; k i p — будь-які числа.

Звідси: що й треба було довести.

149. 1) 5а - 2 = а + 4а - 2; 5а - 2 = 5а - 2, рівність є тотожністю.

2) 14b — 14b = 14; 0 ≠ 14, рівність не є тотожністю.

3) х - 2у = х - 2у, рівність є тотожністю.

4) рівність є тотожністю.

ОДЗ-1: n ≠ 0, m ≠ 0; ОДЗ-2: n ≠ 0.

150. 1) -c + d - 2c + 2 = -3c + 3d; -3с + d + 2 = -3с + 3d.

При с = 1, d = 2: -3 ∙ 1 + 2 + 2 = -3 ∙ 1 + 3 ∙ 2; 1 ≠ 3. Не виконується тотожність, тобто рівність не є тотожністю.

2) ОДЗ-1: k ≠ 0; ОДЗ-2: k — будь-яке число. 3 - 2 = 3k; 1 ≠ 3k. Рівність не є тотожністю.

151. 1) ab - ac - ab + bc + ac - cb = 0; 0 = 0, що й треба було довести;

2) сn + cm - cm + сn = 2nс + 2mn — 2mn; 2сn = 2nс; 2сn = 2сn, що й треба було довести;

3) 4р + 8k — 8k + 4рk = 4k - 8р; 4р + 4pk = 4k - 8р, не виконується тотожність рівностей;

4) 7,2с- 2,4ср = 7,2с + 4,8р - 2,4ср + 4,8р; 7,2с - 2,4ср ≠ 7,2с - 2,4ср + 9,6р, рівність не є тотожністю.

152. 1) аb — ас — ad + ab + ас + ad = 2ab; 2аb = 2ab, що й треба було довести;

2) -mn — 4m + mn + 4n = 4m — 4n; -4m + 4n ≠ 4n — 4n. Рівність не є ТОТОЖНІСТЮ.

153. 1-й спосіб (перетворення лівої частини рівності):

ОДЗ-1: а, b і с — будь-які числа;

ОДЗ-2: а, b і с — будь-які числа.

8а — 8b + 6b - 6с - 4а + 4с = 4а — 2b - 2с = 4а - 2(b + с).

Тобто, 8(а - b) + 6(b - с) - 4(а - с) = 4а - 2(b + с), що й треба було довести.

2-й спосіб (перетворення обох частин рівності):

8а — 8b + 6b - 6с - 4а + 4с = 4а — 2b - 2с; 4а — 2b - 2с = 4а — 2b - 2с, що й треба було довести.

3-й спосіб (різницеве порівняння):

8(а - b) + 6(b - с) - 4(а - с) - 4а + 2(b + с) = 8а — 8b + 6b - 6с - 4а + 4с - 4а + 2b + 2с = 0, що й треба було довести.

154. ОДЗ-1: m, n і р — будь-які числа; ОДЗ-2: m, n і р — будь-які числа.

1-й спосіб (перетворення правої частини рівності):

2(-n + m) - 6(m - р) + 4(n - р) = -2n + 2m — 6m + 6р + 4n - 4р = 2n — 4m + 2р = 2(n + р) — 4m.

Тобто 2(n + р) — 4m = 2(-n + m) - 6(m - р) + 4(n - р), що й треба було довести.

2-й спосіб (різницеве порівняння):

2(n +р) — 4m - 2(-n + m) + 6(m - р) - 4(n - р) = 2n + 2р — 4m + 2n — 2m + 6m - 6р — 4n + 4р = 0, що й треба було довести.

155. 1) 12x - 5(5 + 3х) + 3(х + 4) = 12х - 25 — 15x + 3х + 12 = -13; вираз не залежить від х;

2) 8,5(y + 2) - 1,7(10 + 5у) - 15,5 = 8,5y + 17 - 17 - 8,5р = 0, що й треба було довести.

3) а(b - 4) + b(6 - а) - 2(3b - 2а) = аb - 4а + 6b - аb — 6b + 4а = 0, вираз не залежить від значення змінних а і b.

що й треба було довести.

156. 1) 9(5 - y) + 6(y - 3) - 3(4 - y)= 45 - 9у + 6у - 18 - 12 + 3у =15, що й треба було довести;

2) m(n - 2,8) + n(4,2 - m) - 1,4(3n — 2m) - 6 = mn - 2,8m + 4,2n - mn - 4,2n + 2,8m - 6 = -6, що й треба було довести.

що й треба було довести.

160. n, n + 1, n + 2 — три послідовних натуральних числа, тоді середнє арифметичне:

що є середнім числом.

середнє арифметичне для десяти натуральних числа.

При n = 1: 1 + 4,5 = 5,5; при n = 2: 2 + 4,5 = 6,5; 5,5 ≠ 5,8; 6,5 ≠ 5,8. Що й треба було довести.

Застосуйте на практиці

162. Нехай v — швидкість, з якою повинен їхати автобус, щоб хлопці вчасно потрапили на базу, тоді 2 ∙ 4 + v ∙ 4 = 250. Звідси v = 60,5 (км/год).

163. S₁ = а² — площа квадрата; S₂ — площа прямокутника. S₁ = S₂ за умовою.

S₂ = b ∙ 2а, де b — ширина, а² = b ∙ 2а; b = a/2 — ширина прямокутника.

2а - а = а — різниця довжин огорожею.

Довжина ділянки з прямокутною формою на 80 м довша. А ширина ділянки з прямокутною формою на а — a/2 = 80 - 40 = 40 (м) коротша.

164. 15% від n — це 0,15n.

n + 0,15n — грошей у клієнта через 1 рік.

15 % від (n + 0,15n) = 0,15(n + 0,15n) = 0,15n + 0,0225n.

n + 0,15n + 0,15n + 0,0225n = 1,3225n — грошей буде у клієнта через 2 роки.

165. 3 % від m — 0,03m.

1,03m тис. жителів через рік.

3 % від 1,03m — 0,0309m.

1,0609m тис. жителів через 2 роки,

3 % від 1,0609m — 0,031827m.

1,092727m тис. жителів через 3 роки.

3 % від 1,092727m — 0,03278181m.

1,12550881m тис. жителів через 4 роки.

3 % від 1,12550881m — 0,0337652643m.

1,1592740743m тис. жителів буде через 5 років.

Задачі на повторення

167. 4² + (-5)² = 16 + 25 = 41; (4 - 5)² = (-1)² = 1; 41 > 1, тобто а² + b² > (а + b)², при а = 4, b = -5.

168. Нехай в 7-А класі навчається x учнів, тоді відсутніх 1/16x.

1/16х + 30 = х; х + 480 = 16х; 15х = 480; х = 32. В 7-А класі навчається 32 учня.

169. становлять діти від усіх глядачів.