Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера 7 клас - 2015 рік

Задачі підвищеної складності

1178. (І + В + А + Н)⁴ = ІВАН;

(2 + 4 + 0 + 1)⁴ = 7⁴ = 2401.

Відповідь: 2401.

1179. х і у — сторони прямокутника; ху — площа прямокутника.

Нова довжина прямокутника 1,15x. Нова ширина прямокутника 1,2у.

Площа прямокутника

Відповідь: площа збільшиться на 38 %.

Відповідь: 2018².

Три послідовних цілих числа. Їх добуток n(n - 1)(n + 1) — ділиться на 3; вираз 8 ∙ (n - 1) ∙ n(n + 1) ділиться на 24. 2 ∙ 4 = 8 ∙ 3.

сума квадратів.

1186. Сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел не може бути квадратом натурального числа.

1190. Доведемо, що число кратне числам 7, 11 і 13.

кратне 1001, тому 1001 = 11 ∙ 7 ∙ 13 ділиться на 7, 11 і 13, що й треба було довести.

1191. Доведемо, що 555⁷⁷⁷ + 777 ⁵⁵⁵ кратне числу 37.

(111 ∙ 5)⁷⁷⁷ + (111 ∙ 7)⁵⁵⁵ — кратне 111, а 111 кратне 37, 111 = 37 ∙ 3.

1192. Число 729 є і квадратом двоцифрового числа, і кубом одноцифрового числа 9.

9³ = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729; 27² = 27 ∙ 27 = 729.

1193. Доведемо, що 191⁶ + 734⁶ - 593³ ділиться на 10.

191⁶ — перший доданок, остання цифра 1;

734⁶ — другий доданок, остання цифра 6;

593³ — остання цифра 7.

1 + 6 - 7 = 0. Остання цифра виразу 191⁶ + 734⁶ - 593³ дорівнює 0, отже, ділиться на 10.

вираз кратний 10.

за формулою:

Тотожність доведено.

Тотожність доведено.

Відповідь: а = 4 074 341.

1198. 2n, 2n + 2 — послідовні натуральні парні числа;

Різниця кубів двох послідовних натуральних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

2) x < 0; у = -2x + x; у = -x;

2) у = |x| - 4x;

1) х ≥ 0; у = х - 4х; у = -3x;

2) x < 0; у = -х — 4x; у = -5x;

3) y = |2x| + 2x - 1;

1) x ≥ 0; у = 2x + 2x - 1; у = 4x - 1;

2) x < 0; у = -2x + 2x - 1; у = -1.

4) у = 3х - |4x| + 3;

1) x ≥ 0; y = 3х - 4x + 3; у = -x + 3;

2) x < 0; у = 3х - (-4х) + 3; у = 7х + 3;

1202. у = х²; A(a; b), а ≠ 0, b ≠ 0 належить графіку функції у = х²;

1) В(-а; b) — належить графіку;

2) C(a; - b) — не належить графіку;

3) D(-a; -b) — не належить графіку.

1203. у = x³; M(m; n), m ≠ 0, n ≠ 0 належить графіку у = х³.

1) N(-m; n) — не належить графіку у = х³;

2) К(m; -n) — не належить графіку у = х³;

3) Р(-m; -n) — належить графіку у = х³.

1204.

а) х ≥ 0; y = -4х + 3;

б) x < 0; у = 4x + 3;

у = 2х + 1;

у = -3х + 1;

Графіки мають 2 спільні точки: А(2; -5) і В(-1; -1).

Відповідь: (2; -5), (-1; -1).

Натуральні числа: а = 2; цілі числа: а = 0, 2, 6, -1, -6, -10.

1206. Нехай шукане число Шукане число 7583.

1207. 5(2017x + 2018) = 13. Корінь не є цілим числом, бо доданки не діляться на 13.

Відповідь: рівняння не має коренів.

Відповідь: 3.

1209. 1) ах = 2; а) якщо а ≠ 0, то рівняння має 1 корінь: x = 2/a; б) якщо а = 0, то рівняння не має коренів.

2) а ∙ х = 0; а) якщо а ≠ 0, то рівняння має один розв’язок; x = 0/a = 0; б) якщо а = 0, то 0 ∙ x = 0; рівняння має безліч коренів.

1210. 1) 2х - а = 15; 2x = 15 + а; а — будь-яке число;

2) 7х - а = 2х + 4а - 9; 7х - 2х = 4а + а - 9; 5x = 5а - 9; а — будь-яке число;

3) (а - 3) ∙ х = 7; а) якщо а ≠ 3, то один корінь: б) якщо а = 3, то немає розв’язків;

4) аx = а; x = a/a; a) а ≠ 0, один розв’язок: х = 1; б) а = 0, безліч розв’язків;

5) ах + 1 = х + а; аx - х = а - 1; x(а - 1) = а - 1;

а) якщо а = 1, то безліч коренів; б) якщо а ≠ 1, то розв’язок: х = 1;

6) а(x - 2) = x(а + 3); ах - 2а = ах + 3x; ах - ах - 3х = 2а; -3х = 2а; а — будь-яке число.

Якщо а = -4, то рівняння рівносильні.

|x| = -1 — рівняння не має розв’язків.

Якщо а = -7, то рівняння (а + 7) ∙ x = 18 не має розв’язків.

Відповідь: якщо а = -7, рівняння рівносильні.

1212. Нехай x м/с — швидкість поїзда.

25x = 378 + 7х; 25x — 7x = 378; 18x = 378; x = 378 : 18; x = 21.

Швидкість потяга 21 м/с, довжина 21 ∙ 7 = 147 м.

1213. Нехай х м/с — швидкість потяга, тоді його довжина (9x + 9) м.

Рівняння:

27x = (9x + 9) + 171; 27x = 9x + 9 + 171; 27x — 9x = 171 + 9; 18x = 180; x = 10.

10 м/с — швидкість потяга, 99 м — довжина потяга.

1215. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні. Нехай кут при основі x, тоді кут при вершині 0,25x.

Рівняння:

x + x + 0,25x = 186; 2,25x = 180°; x = 180° : 2,25; x = 80°.

∠1 = ∠2 - 80°; ∠3 = 0,25 ∙ 80° = 20°.

Якщо кут при вершині x, то кути при основі 0,25x.

Рівняння:

0,25x + 0,25x + x = 180°; 1,5x = 180°; x = 180° : 1,5; x = 120°.

Кут при вершині 120°, а кути при основі (180° - 120°) : 2 = 30°.

Відповідь: 80°, 80°, 20° або 30°, 30°, 120°.

1216. Нехай було придбано х рулонів, тоді на ремонт першої кімнати пішло рулони, а на ремонт другої кімнати пішло рулони.

Рівняння:

Відповідь: 26 рулонів.

1217.

Рівняння:

Було 100 г цинку і 420 г міді. Маса сплаву 520 г.

1218. Ціна рогалика від ціни вертути складає 25 %.

1219. 1) х² + y⁴ = -1. Рівняння не має розв’язків, х² ≥ 0, у⁴ ≥ 0.

2) |у| + х² = 0; розв’язки: х = 0, у = 0;

3) х² - |у| = 5; рівняння має розв’язок (5; 20);

4) 5х² + у⁸ + |x| = 0; рівняння має розв’язок (0; 0).

1220. ах + by = 43; а і b — цілі числа. Ця пара (5; 10) не може бути розв’язком рівняння.

1221. 1) (х + 1)² + у²= 0; рівняння має один розв’язок; (-1; 0);

2) х² + у² + (у - 2)² = 0; рівняння не має коренів;

3) |х| + (у + 1)² = 0; рівняння має один розв’язок; (0; -1);

4) х((х - 3)² + (у + 4)²) = 0; безліч коренів.

1222. x зошитів по 2 грн і у ручок по 2 грн 50 коп. 2х + 2,5y = 30 грн 5 зошитів, х = 5; 2,5 + 2,5у = 30; 2,5у - 30 = 10; у = 8 — ручок;

10 зошитів, х = 10; 2 ∙ 10 + 2,5y = 30; 20 + 2,5у = 30; 2,5у = 10; у = 4 — ручки.

Відповідь: 5 або 10.

1223. 1) (x + 1)(х - 2у) = 0;

х + 1 = 0; х = -1; або х - 2у = 0; -2у = -х; у = 1/2х;

2) х² - ху = 0; х(х - у) = 0; х = 0; х - у = 0; у = х.

3) (х² - 4)(у² + 4) = 0; х = 2 та х = -2; х² - 4 = 0; у² + 4 > 0;

4) (|х| + 1)(|y| - 3) = 0; |х| + 1 > 0; |у| -3 = 0; |у| = 3; у = 3 або у = -3.

5) |х| + х = у;

а) х ≥ 0; 2х = у; у = 2х;

б) х < 0; -х + х = у; у = 0.

6) х = у|х|. Якщо х ≥ 0, то х = у ∙ х; х - ух = 0; x(1 - у) = 0; х = 0; -у + 1 = 0; у = 1.

Якщо х < 0, то х = -ху; х + ху = 0; x(1 + у) = 0; х = 0 та 1 + у = 0; y = -1.

1224. x² - у² = 26. Розв’язками рівняння не можуть бути цілі числа.

1225. у + х² = 4.

а) х = 0, у = 4. Точка перетину графіка з віссю Оу.

б) у = 0; х²= 4; х₁ = 2; х₂ = -2.

(2; 0) і (-2; 0) — точка перетину графіка з віссю Ох.

1226. 11х + 8y = 104; (8; 2) — розв’язок рівняння; 11 ∙ 8 + 8 ∙ 2 = 88 + 16 = 104.

1227. 1) 3 віссю Ох: х - 3 = 0; (3; 0); 2) з віссю Оу: у + 5 = 0; у = -5; (0; -5).

1228. Ці числа 69 і 64.

Відповідь: 69 і 64.

1229. Олесь народився у 1990 році.

1230. 3х + 4y = 5 і 2х + 8y = а перетинаються в точці (0; у), тобто х = 0.

Якщо х = 0, то 3х + 4у = 5;

3 ∙ 0 + 4y = 5; 4y = 5; у = 5/4;

2 ∙ 0 + 8 ∙ 5/4 = а, звідки 10 = а.

Відповідь: а = 10.

Якщо m = 2, то система не має розв’язків. Якщо m ≠ 2, то система має один розв’язок.

Якщо m = 3, то система має безліч розв’язків. Якщо m ≠ 3, то система не має розв’язків.

Якщо m = 1, то система має безліч коренів. Якщо m ≠ 1, то система має один розв’язок.

(1; -2) є розв’язком перших двох рівнянь.

2) Підставимо розв’язок (1; -2) у третє рівняння: а(1 - 2) = 7; а ∙ (-1) = 7; -а = 7; а = -7.

Відповідь: при а = -7 система має розв’язок.

Відповідь: х = 5, y = 3, z = 0.

Відповідь: х = -1, у = 8, z = -3.

Відповідь: (1; 2), (0,6; 2,4).

Відповідь: (2; 2), (3; 3), (-1; 2), (-1; 7).

Відповідь: (2; 2), (1; -1).

Відповідь: (1; 0), (0,5; -1,5).

Відповідь: (2; 6).

Відповідь: (-4; -8).

3) Відповідь: (1/2; -1/2).

4) |х - у + 5| + х² - 4ху + 4у² = 0; х — у + 5 = 0; х = y - 5;

або х² - 4ху + 4у² = 0; (х - 2у)² = 0; х - 2у = 0; у - 5 - 2у = 0; -у = 5; у = -5; х = -10.

Відповідь: (-10; -5).

5) х² + у² - 4х + 2у + 5 = 0; (х² - 4х + 4) - 4 + (у² + 2у + 1) - 1 + 5 = 0; (х - 2)² + (у + 1)² = 0;

х - 2 = 0; х = 2; у + 1 = 0; у = -1.

Відповідь: (2; -1).

6) х² - 2ху + 2у² + 6у + 9 = 0; (х² - 2ху + у²) + (у² + 6у + 9) = 0; (х - у)² + (у + 3)² = 0;

х = у; у = -3; х = -3.

Відповідь: (-3; -3).

1237. Нехай число с = х, тоді число а = х + 8 а число b = у.

у = 1,1(х + 8) або у = 1,3х;

1,1(х + 8) = 1,3х; 1,1х + 8,8 = 1,3х; 1,3х - 1,1х = 8,8; 0,2х = 8,8; х = 44; у = 57,2.

Число с = 44; число b = 57,2; число а = 52.

Відповідь: 52; 57,2; 44.

1238. х років брату, у років сестрі.

Два роки тому братові (х - 2) років, сестрі (у - 2) років, х - 2 = 2(у - 2). Через 4 роки братові (х + 4) роки, сестрі (у + 4) роки;

Відповідь: брату 10 років, сестрі 6 років.

1239. Нехай число

(х + у) — сума цифр числа.

Відповідь: число 46.

1240. x — цифра сотень, у — цифра десятків, z — цифра одиниць.

Рівняння:

Відповідь: число 742.

1242.

Відповідь: 500 кг піску і 420 кг цементу.

1243. Нехай друга сторона трикутника х см, перша сторона 3х см, третя сторона у см. Периметр трикутника: (х + 3х + у) см.

Друга сторона трикутника 5 см. Перша сторона трикутника 3 ∙ 5 = 15 см. Третя сторона трикутника: 2 ∙ 5 + у = 22; 10 + у = 22; у = 12.

Відповідь: 5 см, 15 см, 12 см.

1244. Нехай довжина прямокутника х см, а ширина прямокутника у см. ху — площа прямокутника; (х + 3)(у + 2) — площа прямокутника, якщо довжина (х + 3) см, а ширина (у + 2) см.

Довжина прямокутника 6,2 см; х = 13 - у; х = 13 - 6,2 = 6,8 (см) — ширина прямокутника. Периметр прямокутника: Р = (а + b) ∙ 2; Р = (6,8 + 6,8) ∙ 2 = 13 ∙ 2 = 26 (см).

Відповідь: 26 см.

1246. Нехай довжина горизонтальної дороги від села до міста х км, а довжина дороги, що йде вгору, у км. x/10 годин витрачено на горизонтальну дорогу, y/3 години витрачено на дорогувгору.

Довжина дороги 2 км + 10 км = 12 (км).

Відповідь: 12 км.

1248. Нехай х км/год — швидкість маршрутного таксі, а у км/год — швидкість автобуса. Вони зустрілись через 12 хвилин і пройшли до зустрічі 12/60x км і 12/60y км.

Коли таксі вирушило в рейс о 8 год 8 хв, воно було в дорозі 9 хвилин, а автобус 17 хвилин. Розв’яжемо систему рівнянь:

швидкість таксі; у = 120 - 75 = 45 км/год — швидкість автобуса.

1249. Нехай х км/год — швидкість кожного автобуса, а у км/год — швидкість велосипедиста.

Швидкість кожного з автобусів — 42 км/год, а швидкість велосипедиста:

Відповідь: 42 км/год, 18 км/год.

1250. x км/год — швидкість туриста; у км/год — швидкість велосипедиста.

16,5 км/год — швидкість велосипедиста; — швидкість туриста.

1251. Нехай х км/ год — швидкість велосипедиста; у км/год — швидкість першого автобуса; 7/12у км/год — швидкість другого автобуса.

Швидкість першого автобуса 72 км/ год; швидкість другого автобуса швидкість велосипедиста 18 км/год.

1252. Нехай швидкість першої точки x м/с, а швидкість другої точки у м/с.

Відповідь: 30 м/с, 20 м/с.