Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» О. С. Істера 7 клас - 2015 рік

Розділ 1

§ 16

521. 1) а² - b² = (а - b)(а - b), не тотожність;

2) m² — n² = (m + n)(m - n), тотожність;

3) р² + q² = (р + q)(p + q), не тотожність;

4) 3² - x² = (3 - x)(3 + x), тотожність.

530. x² - у².

1) Якщо х = 55, у = 45, то (х - у)(х + у) = (55 - 45)(55 + 45) = 10 ∙ 100 = 1000;

2) якщо х = 2,01; у = 1,99, то (х - у)(х + у) = (2,01 - 1,99)(2,01 + 1,99) = 0,02 ∙ 4 = 0,08.

531. 1) х²- 16 = 0; (х - 4)(х + 4) = 0; х - 4 = 0; х = 4 або х + 4 = 0; х = -4.

Відповідь: 4; -4.

або 1/3 + х = 0; x = -1/3.

Відповідь: 1/3; -1/3.

Відповідь: 0,5; -0,5.

4) 4x² - 9 = 0; (2х - 3)(2х + 3) = 0; 2х - 3 = 0; 2х = 3; х = 1,5; або 2х + 3 = 0; 2х = -3; х = -1,5.

Відповідь: 1,5; -1,5.

532. 1) х² - 36 = 0; (х - 6)(х + 6) = 0; x - 6 = 0; x = 6 або х + 6 = 0; х = -6.

Відповідь: 6; -6.

y = 1/4; або y = -1/4.

Відповідь: 1/4; -1/4.

Відповідь: 0,7; -0,7.

4) 64у² - 49 = 0; (8у - 7)(8y + 7) = 0;

8y - 7 = 0; 8y = 7; у = 7/8; або 8у + 7 = 0; 8y = -7; у = -7/8.

Відповідь: 7/8; -7/8.

Відповідь: 6; -4.

2) 49 - (2x + 5)² = 0; (7 - (2x + 5))(7 + (2x + 5)) = 0; (2 - 2x)(12 + 2x) = 0; 2 - 2x = 0; -2x = -2; x = 1 або 12 + 2x = 0; 2x = -12; x = -6.

Відповідь: 1; -6.

3) (5х + 3)² = 64; (5х + 3)² - 64 = 0; (5х + 3 - 8)(5х + 3 + 8) = 0; (5х - 5)(5х + 11) - 0;

5х - 5 = 0; 5х = 5; х = 1 або 5х + 11 = 0; 5х = -11; х = -11/5.

Відповідь: 1; -11/5.

4) (0,1х - 0,5)² = 0,36; (0,1х - 0,5 - 0,6)(0,1х - 0,5 + 0,6) = 0; (0,1х - 1,1)(0,1х + 0,1) = 0;

0,1х - 1,1 = 0; 0,1х = 1,1; х = 11 або 0,1х + 0,1 - 0; 0,1х = -0,1; х = -1.

Відповідь: 11; -1.

539. 1) (х + 2)² - 36 = 0; (х + 2 - 6)(х + 2 + 6) = 0; (х - 4)(х + 8) = 0;

х - 4 = 0; х = 4 або х + 8 = 0; х = -8.

Відповідь: 4; -8.

2) (5х - 4)² - 81 = 0; (5х - 4 - 9)(5х - 4 + 9) = 0; (5х - 13)(5х + 5) = 0;

5х - 13 = 0; 5х = 13; х = 13/5 або 5х + 5 = 0; 5х = -5; х = -1.

Відповідь: 13/5; -1.

3) (2х + 7)² - 49 = 0; (2х + 7 - 7)(2х + 7 + 7) = 0; 2х(2х + 14) = 0;

2х = 0; х = 0 або 2х + 14 = 0; 2х = -14; х = -7.

Відповідь: 0; -7.

4) (0,2х - 0,5)² = 0,09; (0,2х - 0,5 - 0,3)(0,2х - 0,5 + 0,3) = 0; (0,2х - 0,8)(0,2х - 0,2) = 0;

0,2х = 0,8; х = 4 або 0,2х = 0,2; х = 1.

Відповідь: 4; 1.

541. (n + 7)² - n² = (n + 7 - n)(n + 7 + n) = 7 ∙ (2n + 7) ділиться на 7.

544. 1) (3x - 4)² - (5х - 8)² = 0; ((3х - 4) - (5х - 8))((3х - 4) + (5х - 8)) = 0; (3х - 4 - 5х + 8)(3х - 4 + 5х - 8) = 0; (4 - 2х)(8х - 12) = 0;

4 - 2х = 0; -2х = -4; х = 2 або 8х - 12 = 0; 8х = 12; x = 12/8; x = 1,5.

Відповідь: 2; 1,5.

2) х⁴ - 81 = 0; (х²)² - 9² = 0; (х² - 9)(х² + 9) = 0; (х - 3)(х + 3)(х² + 9) = 0; х - 3 = 0; х = 3 або х + 3 = 0; х = -3; х² + 9 > 0.

Відповідь: 3; -3.

3) 16х⁴ — 1 = 0; (4х² - 1)(4х² + 1) = 0; (2х - 1)(2х + 1)(4х² + 1) = 0;

2х - 1 = 0; х = 1/2; або 2х + 1 = 0; х = -1/2; 4х² + 1 > 0.

Відповідь: 1/2; -1/2.

4) 81х² + 4 = 0; 81x² + 4 > 0; рівняння не має коренів.

545. n, n + 1 — два послідовні числа;

(n + 1)² - n² — різниця квадратів двох послідовних чисел;

n + (n + 1) — сума цих чисел.

(n + 1)² - n² = n² + 2n + 1 - n² = 2n + 1; n + (n + 1) = 2n + 1, що й треба довести.

548. Використаємо зважену крупу як гирьку.

549. Неповний квадрат суми: 1), 3), 5), 6).

1) х² + ху + у²; 3) х² - ху - у²; 5) х² - ху + у²; 6) х² + 4ху + у².

550. 1) m³ + n³ = (m² + n²)(m + n) — не є тотожність;

2) m³ - n³ = (m - n)(m² + mn + n²) — тотожність;

3) х³ + у³ = (х + у)(х² - ху + у²) — тотожність;

4) с³ - d³ = (с - d)(c² + 2cd + d²) — не є тотожність.

551. 1) а³ - b³ = (а² - b²)(а - b), ні;

2) с³ + d³ = (с + d)(c² - cd + d²) — є тотожність;

3) р³ + q³ = (р + q)(p² - pq + q²) — тотожність;

4) х³ + m^a = (х + m)(х² - 2хm + m²), ні.

557. 1) (4p - 1)(16p² + 4p + 1) = 64p³ - 1.

Якщо р = -0,25, то

2) (2a + b)(4а² - 2ab + b²) = 8a³ + b³.

Якщо a = -1/2, b = 2, то

558. 1) (3x + 1)(9x² - 3х + 1) = 27х³ + 1.

Якщо х = 2/3, то

2) (х - 2у)(х² + 2хy + 4у²) = х³ - 8у³.

Якщо х = -2, у = 0,5, то (-2)³ - 8 ∙ 0,5³ = -8 - 8 ∙ 0,125 = -8 - 1 = -9.

Якщо а = -2, то (-2)³ + 1 = -8 + 1 = -7.

Якщо х = -2015, то -100у³ = -100 ∙ (0,1)³ = -100 ∙ 0,001 = -0,1.

Відповідь: 8.

Відповідь: -1/5.

Відповідь: 1/2.

Відповідь: -2.

Відповідь: -1/3.

Відповідь: 2.

570. 415³ + 85³ = (415 + 85) ∙ (415² - 415 ∙ 85 + 85²) = 500 ∙ (415² - 415 ∙ 85 + 85²). Останні дві цифри значення виразу є нулями, бо один із множників 500.

571. 115³ - 15³ = (115 - 15) ∙ (115² + 115 ∙ 15 + 15²) = 100 ∙ (115² + 115 ∙ 15 + 15²) ділиться на 100.

ділиться на 11.

574.

Нехай х зошитів взяли з другої упаковки, а їх зошитів взяли з першої упаковки.

Рівняння: 90 - 2х = 5(30 - х); 90 - 2х = 150 - 5х; -2х + 5х = 150 - 90; 3х = 60; х = 60 : 3; х = 20.

30 - 20 — 10 зошитів залишилося в другій упаковці, а 90 - 40 = 50 зошитів залишилося в першій упаковці.

Відповідь: 10 і 50.

575. Нехай жінка винесла на продаж х курей. Перший покупець придбав у неї курей. Після цього залишилося (курей). Другий покупець купив (курей). Після цього залишилося (курей). Третій покупець купив (курей).

Рівняння:

Відповідь: 7 курей.

576. 1) (а + b)² = а² + аb + b² — ні;

2) а² - b² = (а - b)(а + b) — тотожність;

3) (а - b)² = а² - 2аb + b² — тотожність;

4) а³ + b³ = (а + b)(а² - аb + b²) — тотожність;

5) а³ - b³ = (а - b)(а² + 2аb + b²) — ні;

6) а² - b² = (а - b)² — ні.

577. 1) (m - n)² = m² - mn + n² — ні;

2) х³ + у³ = (х + у)(х² - 2хy + у²) — ні;

3) р² - q² = (р - q)(p + q) — тотожність;

4) (с + d)² = с² + 2cd + d² — тотожність;

5) m³ - n³ = (m - n)(m² + mn + n²) — ТОТОЖНІСТЬ;

6) а² - b² = (а + b)(а + b) — ні.

583. 1) 3х² - 27 = 0; 3(х² - 9) = 0;

3(х - 3)(х + 3) = 0;

x - 3 = 0; X = 3 або x + 3 = 0; x = -3.

Відповідь: 3; -3.

2) 5 - 20x² = 0; 5(1 - 4x²) = 0; 5(1 - 2x)(1 + 2x) = 0;

1 - 2x = 0; -2x = -1; x = 1/2;

або 1 + 2x = 0; 2x = -1; x = -1/2.

Відповідь: 1/2; -1/2.

584. 1) 8 - 2x² = 0; 2(4 - x²) = 0;

2(2 - x)(2 + x) = 0;

2 - x = 0; x = 2; або 2 + x = 0; x = -2.

Відповідь: 2; -2.

2) 75x² - 3 = 0; 3(25x² - 1) = 0;

3(5x - 1)(5x + 1) = 0;

5x - 1 = 0; 5x = 1; x = 1/5;

або 5x + 1 = 0; 5x = -1; x = -1/5.

Відповідь: 1/5; -1/5.

Якщо х = 29, у = -28, то 2 ∙ (29 - 28)² = 2 ∙ 1 = 2.

588. 1) 5х² - 5у² = 5(х - у)(х + у).

Якщо х = 49, у = 51, то

Відповідь: 0; 1; -1.

2) 112y - 7у³ = 0; 7y(16 - у²) = 0; 7у(4 - y)(4 + у) = 0;

7y = 0; у = 0 або 4 - y = 0; y = 4 або 4 + y = 0; у = -4.

Відповідь: 0; 4; -4.

3) 64х³ + x = 0; х(64х² + 1) = 0; х = 0; 64х² + 1 > 0.

Відповідь: 0.

4) у³ + 4у² + 4у = 0; у(у² + 4у + 4) = 0; у(у + 2)² = 0; y = 0 або (y + 2)² = 0; у + 2 = 0; у = -2.

Відповідь: 0; -2.

594. 1) у - у³ = 0; у(1 - y²) = 0;

y(1 - y)(1 + у) = 0;

y = 0 або 1 - у = 0; у = 1 або 1 + у = 0; у = -1.

Відповідь: 0; 1; —Г.

2) 5х³ — 180x = 0; 5х(х² - 36) =0;

5х(x - 6)(х + 6) = 0;

х = 0 або х - 6 = 0;

х = 6 або х + 6 = 0; х = -6.

Відповідь: 0; 6; -6.

3) 16у³ + у = 0; у(16у² + 1) = 0; у = 0 або 16у² + 1 > 0.

Відповідь: 0.

4) х³ - 2х² + х = 0;

х(х² - 2х + 1) = 0; х(х - 1)² = 0; х = 0 або х - 1 = 0; х = 1.

Відповідь: 0; 1.

Відповідь: 5; -1; -1.

Відповідь: 2; -2.

Відповідь: 1; -1.

x = 3 або х + 3 = 0; х = -3 або x - 1 = 0; x = 1.

Відповідь: 3; -3; 1.

ціле число; (n - 1) ∙ n(n + 1) — послідовність трьох цілих чисел, яка ділиться на 2 і 3, тобто на 6.

Відповідь: -16.

615.

Нехай супермаркет продавав планшети та смартфони ж годин.

Рівняння:

141 — 12x = 3(95 — 10x); 141 — 12x = 285 — 30x;

-12x + 30x = 285 - 141; 18x = 144; x = 144 : 18; x = 8.

Відповідь: 8 годин.

616. Нехай х — відстань від дому до школи. x/12 — швидкість Сашка; x/18 — швидкість Марійки; — різниця їх швидкостей; — відстань між Сашком і Марійкою, якщо Марійка вийде на 3 хвилини раніше.

Через 6 хвилин Сашко наздожене Марійку.

Відповідь: 6 хвилин.