Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 6. Властивості степеня з натуральним показником

223. 1) а⁴ ∙ а³ = а¹² — неправильно, бо а⁴ ∙ a³ = a⁴⁺³ = а⁷; 2) а ∙ а = 2а — неправильно, бо а ∙ а = а²; 3) (а³)² = а⁹ — неправильно, бо (а³)² = a^3∙2 = a⁶; 4) 3² ∙ 5² =15⁴ — неправильно, бо 3² ∙ 5² = (3 ∙ 5)² = 15²; 5) 2² ∙ 7³ = 14⁵ — неправильно, бо 2² ∙ 7³ = 2² ∙ 7² ∙ 7 = (2 ∙ 7)² ∙ 7 = 14² ∙ 7; 6) (2а)⁴ = 8а⁴ — неправильно, бо (2а)⁴ = 2⁴ ∙ а⁴ = 16а⁴; 7) 3 ∙ 4³ = 12³ — неправильно, бо 3 ∙ 4³ = 3 ∙ 4 ∙ 4² = 12 ∙ 16; 8) а⁷b⁷ = (аb)¹⁴ — неправильно, бо а⁷b⁷ = (аb)⁷; 9) а³b² = (аb)⁶ — неправильно, бо а³b² = а ∙ а²b² = а ∙ (ab)².

229. Нехай а — сторона квадрата. Тоді його площа а². Якщо сторону збільшити в n разів, то сторона квадрата буде дорівнювати an, а площа an ∙ аn = а² ∙ n², тобто збільшиться в n² разів.

230. а — ребро куба, тоді V = а³, mа — ребро куба після збільшення, тоді V = m³а³. Об’єм збільшиться в m³ разів.

247. 625 + 625 + ... + 625 = 5¹⁰¹; 5⁴ + 5⁴ + ... + 5⁴ = 5¹⁰¹; 5⁴ + 5⁴ + ... 5⁴ = n ∙ 5⁴; 5¹⁰¹ = 5⁹⁷ ∙ 5⁴. Оскільки n ∙ 5⁴ = 5⁹⁷ ∙ 5⁴, то n = 5⁹⁷.

248. 1) 4¹⁰⁰ закінчується цифрою 6, бо 100 — парне число:

4¹ = 4; 4² = 16; 4³ = 64; 4⁴ = 256;...

4²ⁿ закінчується цифрою 6; 4^2n-1 закінчується цифрою 4.

2) 3⁴ⁿ закінчується цифрою 1.

3¹ = 3; 3² = 9; 3³ = 27; 3⁴ = 81; ...

Якщо показник кратний 4, то значення степеня закінчується 1.

II спосіб: 3⁴ⁿ = (3⁴)ⁿ = 81ⁿ закінчується цифрою 1 при будь-якому n.

3) 4ⁿ. Якщо n — непарне, то 4ⁿ закінчується цифрою 4. Якщо n — парне, то 4ⁿ закінчується цифрою 6.

4) 3ⁿ закінчується цифрою

3, якщо n = 1 + 4k; 9, якщо n = 2 + 4k;

7, якщо n = 3 + 4k; 1, якщо n = 4k, де k є N.

249. 1) 9²ⁿ закінчується цифрою 1, бо 2n — парне число при будь-якому n є N.

2) 7⁴ⁿ = (7²)²ⁿ = (49)²ⁿ закінчується цифрою 1.

3) 7²ⁿ = (7²)ⁿ = (49)ⁿ закінчується цифрою 9, якщо n — непарне, цифрою 1, якщо n — парне.

250. 1) 17⁸ + 19 ділиться на 10, бо 17⁸ закінчується цифрою 1, тоді сума 17⁸ + 19 закінчується цифрою 0, отже, ділиться на 10.

2) 64⁶⁴ - 1 ділиться націло на 5, бо 64⁶⁴ закінчується цифрою 6, якщо показник — парний, а 64 — парне число. Тоді 64⁶⁴- 1 закінчується цифрою 5, отже, ділиться на 5.

3) 3⁴ⁿ + 14 ділиться націло на 5, бо 3⁴ⁿ = (3⁴)ⁿ = 81ⁿ закінчується цифрою 1, тоді 3⁴ⁿ + 14 закінчується цифрою 5. Отже, ділиться на 5.

251. 1) 4⁴⁰ - 1 ділиться націло на 5, бо 4⁴⁰ закінчується цифрою 6 (оскільки 40 — парне), тоді 4⁴⁰ — 1 закінчується цифрою 5. Отже, ділиться на 5.

2) 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴ ділиться націло на 5, бо 2004¹⁷¹ закінчується цифрою 4 (171 — непарне); 171²⁰⁰⁴ закінчується цифрою 1. Тоді сума 2004¹⁷¹ + 171²⁰⁰⁴ закінчується цифрою 5. Отже, ділиться на 5.

252. 48²⁵ < 344¹⁷; 6²⁵ ∙ 8²⁵ < 8⁷ ∙ 43¹⁷; 6²⁵ ∙ 8⁸ ∙ 8¹⁷ < 8¹⁷ ∙ 43¹⁷, тоді 6²⁵ ∙ 8⁸ < 43¹⁷.

Замінили 43¹⁷ на 42¹⁷; якщо 6²⁵ ∙ 8⁸ < 42¹⁷, то 6²⁵ ∙ 8⁸ < 43¹⁷ і подавно.

6¹⁷ ∙ 6⁸ ∙ 8⁸ < 42¹⁷; 6¹⁷ ∙ 6^а ∙ 8⁸ < 6¹⁷ ∙ 7¹⁷, тоді 6⁸ ∙ 8⁸ < 7¹⁷; 48⁸ < 7¹⁶ ∙ 7; 48⁸ < (7²)⁸ ∙ 7; 48⁸ < 49⁸ ∙ 7 — правильно, тому 48²⁵ < 344¹⁷.

Вправи для повторення

253. Нехай у кума Степана х качок, тоді х + х + 1 + 3(х + х + 1) = 100; 2х + 1 + 3(2х + 1) = 100; 2х + 1 + 6х + 3 = 100; 8х + 4 = 100; 8х = 100 - 4; 8х = 96; х = 96 : 8; х = 12 качок у кума Степана.

254. Нехай кімнату було пофарбовано за х год. Тоді І маляр виконав за 1 год 1/6 частину роботи, за х год x/6 частину роботи. II маляр працював (х - 2) год і виконав частину роботи. Разом вони виконали всю роботу.

Отже,

5х - 6 = 12; 5х = 18; х = 18 : 5; х = 3,6 год — використано для пофарбування кімнати.

Відповідь: 3,6 год.

255. Нехай відстань дорівнює х км, тоді на шлях за течією річки витрачено год, а на шлях проти течії річки год. Оскільки 2 год з 4 год туристи відпочивали, то в дорозі вони були 2 год.

Тому

5x = 48; х = 48 : 5; х = 9,6 (км) — відстань, пройдена туристами від пристані.

Відповідь: 9,6 км.

256. 1) 2,5 - 3х = 3(х - 2,5) - 2; 2,5 - 3х = 3х - 7,5 - 2; -3х - 3х = -7,5 - 2,5 - 2; -6х = -12; х = -12 : (-6); х = 2;

2) 17(2 - 3х) - 5(х + 12) = 8(1 - 7х) - 34; 34 - 51х - 5х - 60 = 8 - 56х - 34; -51х - 5х + 56x = 60 - 34 - 34 + 8; 0x = 0; будь-яке число є розв’язком рівняння.

257. Нехай дане число тоді

Дане число 1001(100a + 10b + с) ділиться на 7, 11 і 13, бо 1001 ділиться на 7, на 11 і на 13.

259. Якщо то