Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 5. Степінь з натуральним показником

152. 1) 9⁶; 9 — основа, 6 — показник;

2) 2,4⁷; 2,4 — основа, 7 — показник;

3) 0,3⁵; 0,3 — основа, 5 — показник;

4) (-8)²; -8 — основа, 2 — показник;

5) (-0,6)²; -0,6 — основа, 2 — показник;

6) (-а)¹¹; -а — основа, 11 — показник;

7) 73¹; 73 — основа, 1 — показник;

8) (3р)¹²; 3р — основа, 12 — показник.

157.

158.

159. 2,55 ∙ 10⁴ км² = 2,55 ∙ 10 000 = 25 500 км² — площа Кримського півострова.

160. 1,495 ∙ 10¹¹ = 1,495 ∙ 100 000 000 000 = 149 500 000 000 (м).

161. 1,49 ∙ 10⁸ км² = 1,49 ∙ 100 000 000 км² = 149 000 000 км²;

3,61 ∙ 10⁸ км² = 3,61 ∙ 100 000 000 км² = 361 000 000 км².

162. 1) 8² - 1¹ = 64 - 1 = 63;

2) 0,3 ∙ 2⁴ = 0,3 ∙ 16 = 4,8;

3) (4,2 - 3,8)⁴ ∙ 25² = 0,4⁴ ∙ 25² = 0,0256 ∙ 625 = 16;

4) (6³ : 200 - 0,4²) : 0,2³ = (216 : 200 - 0,16) : 0,008 = (1,08 - 0,16) : 0,008 = 0,92 : 0,008 = 920 : 8 = 115.

163. 1) 4³ + 3⁵ = 4 ∙ 4 ∙ 4 + 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 64 + 243 = 307;

2) 0,6³ - 0,4³ = 0,6 ∙ 0,6 ∙ 0,6 - 0,4 ∙ 0,4 ∙ 0,4 = 0,216 - 0,064 = 0,152;

3) 0,12- 5⁴ = 0,12- 5- 5 -5- 5 = 0,12 -625 = 75.

164. 1) Якщо х = 0,1, то x² - х³ = 0,1² - 0,1³ = 0,01 - 0,001 = 0,009.

2) Якщо а = 0,4, то 15а² = 15 ∙ 0,4² = 15 ∙ 0,16 = 2,4.

3) Якщо х = 0,8, у = 0,6, то (х — y)⁵= (0,8 - 0,6)⁵ = 0,2⁵ = 0,00032.

4) Якщо а = 0,6, b = 0,5, то а²b³ = 0,6² ∙ 0,5³ = 0,36 ∙ 0,125 = 0,045.

5) Якщо х = 5, у = 3, то (х² - у²) : (х - у) = (5² - 3²) : (5 - 3) = (25 - 9) : 2 = 8.

6) Якщо х = 5, у = 3, то (х² - у²) : х - у = (5² - 3²) : 5 - 3 = (25 - 9) : 5 - 3 = 16 : 5 - 3 = 3,2 - 3 = 0,2.

7) Якщо х = 5, у = 3, то х² — у² : (х - у) = 5² - 3² : (5 - 3) = 25 - 9 : 2 = 25 - 4,5 = 20,5.

8) Якщо х = 5, у = 3, то х² - у² : х - у = 5² - 3² : 5 - 3 = 25 - 9 : 5 - 3 = 25 — 1,8 - 3 = 20,2.

165. 1) Якщо с = 2, то 16 - с² = 16 - 2² = 16 — 4 = 12.

2) Якщо х = 0,125, то (16х)⁶ = (16 ∙ 0,125)⁶ = 2⁶ = 64.

3) Якщо а = 10, b = 0,1, то а³b² = 10³ ∙ 0,1² = 1000 ∙ 0,01 = 10.

4) Якщо а = 3, то 4а⁴ - а = 4 ∙ 3⁴ - 3 = 4 ∙ 81 - 3 = 324 - 3 = 321.

170. 1) 3² + 4² = 7² — неправильно, 9 + 16 ≠ 49;

2) 5² + 12² = 13² — правильно, 25 + 144 = 169;

3) 1² + 3² + 5² + 7² + 9² = 13² — неправильно, 1 + 9 + 25 + 49 + 81 ≠ 169; 165 ≠ 169;

4) (1 + 2 + 3)² = 1² + 2³ + 3³ — неправильно, 36 ≠ 1 + 4 + 9.

171. 1² + 2² + 4² + 6² + 8² = 11² — правильна рівність, бо 1 + 4 + 16 + 36 + 64 = 121, 121 = 121.

172. 1) 0,3³; 0,3²; 0,3; 2) -0,4; (-0,4)³; (-0,4)².

173. 1) (-4)⁷ ∙ (-12)⁹ > 0, бо (-4)⁷ < 0 і (-12)⁹ < 0;

2) (-5)⁶ ∙ (-17)¹¹ < 0, бо (-5)⁶ > 0 і (-17)¹¹ < 0;

3) (-14)⁴ ∙ (-25)¹⁴ > 0, бо (-14)⁴ > 0 і (-25)¹⁴ > 0;

4) (-7)⁹ ∙ 0⁶ = 0.

174. 1) (-2)¹⁴ ∙ (-3)¹⁵ ∙ (-4)¹⁶ < 0, бо (-2)¹⁴ > 0 і (-4)¹⁶ > 0, а (-3)¹⁵ < 0;

2) (-5)¹⁷ ∙ (-6)¹⁸ ∙ (-7)¹⁹ > 0, бо (-5)¹⁷ < 0 і (-7)¹⁹ < 0, а (-6)¹⁸ > 0.

175. 16 = 4²; 64 = 4³; 256 = 4⁶; 2) 0,09 = 0,3²; 0,027 = 0,3³; 0,00243 = 0,3⁵.

176. 1) 10 000 = 10⁴; 2) -32 = (-2)⁵; 3) 0,125 = 0,5³; 4) -0,00001 = (-0,1)⁵; 5)

177. 1) (7 - 5)² = 2² = 4; 2) 7² - 5² = 49 - 25 = 24; 3) (4 + 3)³ = 7³ = 343 ; 4) 4³ + 3³ = 64 + 27 = 91.

178. 1) 5³ + 8² = 125 + 64 = 189; 2) (9 - 8)³ = 1³ = 1; 3) 2,5² + 0,25² = 6,25 + 0,0625 = 6,3125; 4) (7,8 + 8,2)² = 16² = 256.

179. 1) 1 км = 1000 м = 10³ м;

2) 1 км = 100 000 см = 10⁵ см;

3) 1 км = 1 000 000 мм = 10⁶ мм.

180. 1) 300 000 км/с = 3 ∙ 10⁵ км/с;

2) 300 000 км/с = 300 000 000 м/с = 3 ∙ 10⁸ м/с.

181. 1) 1 м² = 100 дм² = 10²дм²;

2) 1 м² = 10 000 см² = 10⁴ см²;

3) 1 м² = 1 000 000 мм² = 10⁶ мм².

182. 1) x⁴ = 16, x = 2, x = -2 — корені рівняння, бо 2⁴ = 16 і (-2)⁴ = 16;

2) х⁵ = -243, х = -3 — корінь рівняння, бо (-3)⁵ = -243;

3) х² + х = 2, х = -2 і х = 1 — корені рівняння, бо (-2)² - 2 = 2 і 1² + 1 = 2;

4) х³ + х² = 6х, х = 0, х = -3, х = 2 — корені рівняння, бо 0³ + 0² = 6 ∙ 0; (-3)³ + (-3)² = 6 ∙ (-3) і 2³ + 2² = 6 ∙ 2.

183. 1) (2х - 3)² = 0, 2х - 3 = 0, 2х = 3, х = 1,5;

2) (х + 4)⁴ = 0, х + 4 = 0, х = -4;

3) (6х - 1)⁵ = 0, 6х - 1 = 0, 6х = 1, х = 1/6.

184. 1) х¹⁰ = -1, коренів немає, бо х¹⁰ ≥ 0 при будь-якому х;

2) (х - 5)⁴ = -16, коренів немає, бо (х - 5)⁴ ≥ 0 при будь-якому х.

185. 8 < 3ⁿ < 85. Нерівність є правильною при n = 2, n = 3, n = 4.

8 < 3² < 85, 8 < 9 < 85; 8 < 3³ < 85, 8 < 27 < 85; 8 < 3⁴ < 85, 8 < 81 < 85.

186. 0,07 < 0,4^m < 0,5. Нерівність є правильною при m = 1, 0,07 < 0,4 < 0,5; при m = 2, 0,07 < 0,4² < 0,5; 0,07 < 0,16 < 0,5.

187. х² + (х - 1)² набуває лише додатних значень, бо х² набуває невід’ємних значень, а (х - 1)² набуває лише додатних значень, і нуль при х = 1. Сума двох чисел, одне з яких невід’ємне, друге додатне, завжди додатна.

188. (х + 1)² + |х| набуває лише додатних значень, бо (х + 1)² набуває невід’ємних значень; |х| набуває невід’ємних значень при х = -1 (х + 1)² = 0; |х| = 1; при х = 0 (х + 1)² = 1; |х| = 0.

Сума (х + 1)² + |х| найменшого значення 1 набуває при х = -1 і х = 0.

Сума (х + 1)² + |х| завжди додатна.

189. 1) 2х² + 5х + 2 = 0; при х — додатному 2х² + 5х + 2 > 0, тому додатних чисел серед коренів рівняння немає.

2) х⁴ + 3х³ + 4х² + 3х + 1 = 0; при х — додатному х⁴ + 3х³ + 4х² + 3х + 1 > 0, тому серед коренів додатних чисел немає.

190. 1) х⁴ - 5х³ + 6х² - 7х + 5 = 0.

Якщо х — від’ємне, то х⁴ > 0; -5х³ > 0; 6х² > 0; -7х > 0. Тоді х⁴ - 5х³ + 6х² - 7х + 5 завжди буде набувати додатного значення і не буде дорівнювати 0. Тому серед коренів рівняння не може бути від’ємного числа.

2) x⁸ + x⁴ + 1 = х⁷ + х³ + х.

Якщо х — від’ємне, то x⁸ + x⁴ + 1 — додатне, а х⁷ + х³ + х — від’ємне.

Оскільки додатне і від’ємне числа рівними бути не можуть, то корінь рівняння не може бути від’ємним.

191. 1) х² + у² = 0. Рівність правильна при х =0 і у = 0.

2) (х - 1)⁴ + (у + 2)⁶ = 0. Рівність правильна при х = 1 і у = -2.

192. х⁸ + (у - 3)² = 0; х = 0; у = 3.

193. 1) х² + 7. Вираз набуває найменшого значення 7 при х = 0.

2) (х - 1)⁴ + 16. Вираз набуває найменшого значення 16 при х = 1.

194. 1) 10 - х². Вираз набуває найбільшого значення 10 при х = 0.

2) 24 - (х + 3)⁶. Вираз набуває найбільшого значення 24 при х = -3.

195. 1) 101¹⁰¹ + 103¹⁰³.

101¹⁰¹ закінчується цифрою 1 (непарною); 103¹⁰³ закінчується непарною цифрою; 101¹⁰¹ + 103¹⁰³ закінчується парною цифрою, отже, ділиться на 2.

2) 16⁷ + 15⁸ - 11⁹ ділиться націло на 10, бо 16⁷ закінчується цифрою 6; 15⁸закінчується цифрою 5; 11⁹ закінчується цифрою 1. Тоді 16⁷ + 15⁸ закінчується цифрою 1, а 16⁷ + 15⁸ — 11⁸закінчується цифрою 0.

3) 10¹⁰ - 7 ділиться націло на 3.

Запис 10¹⁰ складається з 1 і десяти нулів, тоді 10¹⁰ - 7 складається з дев’яти дев’яток і трійки, тому сума дев’яти дев’яток і трійки ділиться на 3.

4) 6ⁿ - 1 ділиться націло на 5, бо запис числа 6ⁿ закінчується цифрою 6, а запис 6ⁿ - 1 закінчується цифрою 5.

196. 1) 10¹⁰⁰ + 8 ділиться націло на 9, бо запис числа 10¹⁰⁰ + 8 включає одиницю, вісімку і нулі, тоді сума цифр цього числа ділиться на 9, бо дорівнює 9.

2) 111ⁿ - 6 ділиться націло на 5, бо запис числа 111ⁿ закінчується одиницею, а запис 111ⁿ — 6 закінчується п’ятіркою.

Вправи для повторення

198. 1) 400 : 100 ∙ 15 = 60 кг міді містить сплав;

2) 400 + 25 = 425 кг маса сплаву;

3) 60 + 25 = 85 кг міді в сплаві;

4) міді містить новий сплав.

199. Нехай з другого мішка взяли х кг цукру, тоді з першого мішка взяли 3х кг цукру. В першому мішку залишилося (80 - 3х) кг цукру, а в другому мішку залишилося (60 - х) кг цукру. В другому мішку залишилося у 2 рази більше цукру, ніж у першому.

Тому: (80 - 3х) - 2 = 60 - х; 160 - 6х = 60 - х; -6х + х = 60 - 160; -5х = -100; х = -100 : (-5); х = 20 кг цукру взяли з другого мішка;

20 ∙ 3 = 60 кг цукру взяли з першого мішка.

коренів немає.

201. |a| = b² ∙ (b - с). a — від’ємне, b — додатне, с = 0.