Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 17. Перетворення многочлена на квадрат суми або різниці двох виразів

624. а² - 18а + 81 = (а - 9)².

625. Тотожністю є рівність 2) а² + 8аb + 16b² = (а + 4b)².

628. 1) Якщо у = -4, то у² - 8у + 16 = (у - 4)² = (-4 - 4)² = 64.

2) Якщо с = -10, то с² + 24с + 144 = (с + 12)² = (-10 + 12)² = 2² = 4.

3) Якщо х = 3, у = 5,5, то 25х² - 20ху + 4у² = (5х — 2y)² = (5 ∙ 3 - 2 ∙ 5,5)² = (15 - 11)² = 4² = 16.

4) Якщо

то

629. 1) Якщо b = 6, то b² — 30b + 225 = (b - 15)² = (6 - 15)² = (-9)² = 81.

2) Якщо а = 0,8, b = -3, то 100а² + 60ab + 9b² = (10а + 3b)²= (10 ∙ 0,8 + 3 ∙ (-3))² = (8 - 9)² = (-1)² = 1.

4) 25m² -15mn + 9n² — неможливо подати у вигляді квадрата двочлена;

5) 81с² — 54b²с + 9b² — неможливо подати у вигляді квадрата двочлена;

— неможливо подати у вигляді квадрата двочлена;

— неможливо подати у вигляді квадрата двочлена;

— неможливо подати у вигляді квадрата двочлена;

Треба додати число -5.

Треба додати число -4.

642. (a - 2)(a - 3)(a + 3)(a + 2) + a² = (a² - 6)² — тотожність;

рівність правильна.

643. 1) (a - 1)²+ 2(a - 1) + 1 = a² — тотожність;

a² - 2a + 1 + 2a - 2 + 1 = a²; a² = a² — правильна рівність.

2) (a + b) - 2(a + b)(a - b) + (a - b)² = 4b² — тотожність;

(a + b - (a - b))² = 4b²; (a + b - a + b)² = 4b²; (2b)² = 4b²; 4b² = 4b² — правильна рівність.

3) (a - 8)² - 2(a - 8)(3 - a) + (a - 3)² = 25 — тотожність;

(a - 8)² - 2(a - 8)(a - 3) + (a - 3)² = 25;

(a - 8 - (a - 3))² = 25; (a - 8 - a + 3)² = 25; (-5)² = 25; 25 = 25 — правильна рівність.

4) (xⁿ - 2)² - 2(xⁿ - 2)(xⁿ + 2) + (xⁿ + 2)² = 16 — тотожність;

(xⁿ - 2 - (xⁿ + 2))² = 16; (xⁿ - 2 — xⁿ - 2)² = 16; (-4)²= 16; 16 = 16 — правильна рівність.

644. 1) (3х + 8)² - 2(3x + 8)(3x - 8) + (3x + 8)² = (3x + 8 - 3x + 8)² = 16² = 256. Значення виразу не залежить від значення змінної х.

2) (4х - 7)² + (4х - 11)² + 2(4х - 7)(11 - 4х) = (4х - 7 + 11 - 4х)² = 4² = 16. Значення виразу не залежить від значення змінної х.

645. 1) х² - 14х + 52 = 0; х² - 14х + 49 + 3 = 0; (х - 7)² + 3 = 0; (х - 7)² = -3; рівняння коренів не має.

2) 4х² - 2х + 1 = 0; 3х² + х² - 2х + 1 = 0; 3х² + (х - 1)² = 0; (х - 1)² = -3х²; рівняння коренів не має.

646. 1) х² - 6х + 10 = (х² - 6х + 9) + 1 = (х - 3)² + 1.

Вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х. Найменше значення виразу дорівнює 1 при х = 3.

2) 16х² + 24х + 25 = 16х² + 24х + 9 + 16 = (4х + 3)² + 16.

Вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х. Найменше значення виразу дорівнює 16 при х = -3/4.

3) х² + х + 1 = х² + 2 ∙ 0,5х + 0,25 + 0,75 = (х + 0,5)² + 0,75.

Вираз набуває додатних значень при всіх значеннях х. Найменше значення виразу дорівнює 0,75 при х = -0,5.

647. 1) х² - 24х + 144 = (х - 12)². Від’ємних значень вираз набувати не може.

2) 4х² + 20х + 28 = (2х)² + 2 ∙ 2х ∙ 5 + 5² + 3 = (2х + 5)² + 3. Вираз не може набувати від’ємних значень.

648. 1) -х² + 4х - 12 = -(х² - 4х + 12) = -(х² - 4х + 4 + 8) = -(х - 2)² - 8.

Набуває лише від’ємних значень при всіх значеннях х.

Найбільшого значення -8 вираз набуває при х = 2.

2) 22х - 121х² - 2 = -((11х)² - 2 ∙ 11х ∙ 1 + 1 + 1) = -(11х - 1)² - 1.

Вираз набуває лише від’ємних значень при всіх значеннях х. Найбільше значення виразу дорівнює -1 при х = 1/11.

3) -56 - 36х² - 84х = -(36х² + 84х + 49 + 7) = -(36х² + 2 ∙ 6х ∙ 7 + 49 + 7) = - ((6х + 7)² + 7) = -(6х + 7)²- 7.

Вираз набуває лише від’ємних значень при всіх значеннях х.

Найбільше значення виразу дорівнює -7 при х = -7/6.

649. 1) -x² + 20х -100 = -(х² - 20х + 100) = -(х - 10)². Вираз не може набувати додатних значень.

2) -х² - 10 - 4х = -(х² + 4х + 10) = -((х² + 4х + 4) + 6) = -(х + 2)² - 6. Вираз не може набувати додатних значень.

650. 1) -х² - 16х + 36 = -(х² + 16х - 36) = -(х² + 16х + 64 - 100) = -((х + 8)² - 100) = -(х + 8)² + 100. Найбільше значення виразу дорівнює 100 при х = -8.

2) 2 - 16х² + 24х = -(16х² - 24х - 2) = -((4х)² - 2 ∙ 4х ∙ 3 + 9 - 11) = -(4х - 3)² + 11. Найбільше значення виразу дорівнює 11 при х = 3/4.

651. 1) х² - 28х + 200 = х² - 2 ∙ 14 ∙ х + 196 + 4 = (х - 14)² + 4. Найбільше значення виразу дорівнює 4 при х = 14.

2) 9х² + 30х - 25 = (3х)² + 2 ∙ 3х ∙ 5 + 25 - 50 = (3х + 5)² - 50. Найменше значення виразу дорівнює -50 при х = -5/3.

Значення даного многочлена дорівнює нулю при х = -4, у = 5.

Значення даного виразу дорівнює нулю при у = 1, x = -6у = -6 ∙ 1 = -6.

Значення многочлена дорівнює нулю при x = -1, у = 0,5.

Таких значень x і у не існує, при яких значення виразу дорівнює нулю.

тоді а + b = 8.

тоді а + b = -10.

662. Нехай x — один із доданків, тоді (24 - x) — другий доданок.

x ∙ (24 - x) = -х² + 24x - 144 + 144 = 144 - (х² - 24х + 144) = 144 - (x - 12)². Добуток буде найбільший при х = 12, тому 12 — перший доданок; 24 - х = 24 - 12 = 12 —другий доданок. 24 = 12+ 12.

663. x см — одна сторона; (10 - х) см — друга сторона.

Найбільшу площу прямокутник матиме при х = 5.

Отже, сторони прямокутника 5 см і 5 см.

тоді a/2 + b = 2, звідси а + 2b = 4.

звідси а - b = 0, а = 6; а - с = 0, а = с; b - с = 0, b = с, звідси а = b = с. Тоді а + b - 2с = а + а - 2а = 0.

666. Нехай довжина шляху х км, тоді першого дня турист проїхав 0,4x км, другого — 2/3(x - 0,4х) км.

За умовою 0,4х + 2/3 ∙ 0,6х + 20 = x; 0,4х + 0,4x - х = -20; -0,2x = -20; х = 100 (км) — довжина шляху.

667. Нехай х га — площа 1 ділянки, тоді (100 - х) га — площа 2 ділянки. З 1 ділянки зібрали 90х т зеленої маси, а з 2 ділянки 80(100 - х) т. За умовою 90x - 80(100 - x) = 2200; 90х - 8000 + 80x = 2200; 170x = 2200 + 8000; 170x = 10 200; х = 10 200 : 170; x = 60 га — площа 1 ділянки.

100 - 60 = 40 га — площа 2 ділянки.

670. НСК(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7) = 420 (днів).