Розв’язання вправ та завдань до підручника «АЛГЕБРА» A. Г. Мерзляка 7 клас - 2015 рік

1. ВСТУП ДО АЛГЕБРИ

§ 2. Цілі вирази

п. 16. Квадрат суми та квадрат різниці двох виразів

567. (5а + 3)2 = 25а2 + 30а + 9.

568. Тотожності: 3) (12а - b)2= 144а2 - 24аb + b2.

рівняння коренів не має.

577. (a - b)2 = (b - a)2 — тотожність, бо (a - b)2 = a2 - 2ab + b2; (b - a)2 = b2 - 2ab + a2, a a2 - 2ab + b2 = b2 - 2ab + a2.

584. 1) Якщо m = -4, то 2m(m - 6)2 - m2(2m - 15) = 2m(m2 — 12m + 36) — 2m3 + 15m2 = 2m3 — 24m2 + 72m — 2m3 + 15m2 = -9m2 + 72m = -9 ∙ (-4)2 + 72 ∙ (-4) = -9 ∙ 16 - 288 = -144 - 288 = -432.

2) Якщо х = -3,5, то (2х - 5)2 - 4(x + 1)(x - 7) = 4x2 - 20х + 25 - 4(х2 — 7x + x - 7) = 4х2 — 20x + 25 - 4х2 + 28х - 4х + 28 = 4х + 53 = 4 ∙ (-3,5) + 53 = -14 + 53 = 39.

588. х см — шукана сторона, S = х2 см2. (х + 5) см — сторона після збільшення. S = (х + 5)2 см2. За умовою (х + 5)2 - х2 = 95; х2 + 10х + 25 - х2 = 95; 10x = 95 - 25; 10х = 70; х = 70 : 10; х= 7 (см) — сторона квадрата.

589. a см — сторона даного квадрата. S = а2 см2. (а - 8) см — сторона нового квадрата. S = (a - 8)2 CM2. За умовою a2 - (a - 8)2 = 352; a2 - a2 + 16a - 64 = 352; 16a = 352 + 64; 16a = 416; a = 416 : 16; a = 26 (CM) — сторона даного квадрата.

590. Нехай х, х + 1, х + 2 — шукані числа, тоді 2(х + 2)2 - 79 = х2 + (х + 1)2;

2(х2 + 4х + 4) - 79 = x2 + x2 + 2х + 1; 2х2 + 8х + 8 - 79 = 2x2 + 2х + 1; 2x2 + 8х - 2x2 — 2x = 1 + 79 - 8; 6x = 72; x = 72 : 6; х = 12.

Тоді 12, 13, 14 — шукані числа.

591. Нехай х, х + 1, х + 2, х + 3 — шукані числа, тоді (х + 1)2 + (х + 3)2 - 82 = x2 + (х + 2)2; x2 + 2x + 1 + х2 + 6x + 9 - 82 = x2 + x2 + 4x + 4; 2x2 + 8х - 72 = 2x2 + 4х + 4; 2x2 + 8х — 2x2 - 4х = 72 + 4; 4х = 76; х = 76 : 4; х = 19.

Отже, 19, 20, 21, 22 — шукані числа.

593. 1) (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) — тотожність; a2 + 2ab + b2 + a2 - 2ab + b2 = 2(a2 + b2); 2a2 + 2b2 = 2a2 + 2b2 — правильна рівність.

2) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab — тотожність; a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2 = 4ab; 4ab = 4ab —правильна рівність.

3) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab — тотожність; a2 + b2 = a2 + 2ab + b2 - 2ab; a2 + b2 = a2 + b2 — правильна рівність.

4) (a2 + b2)(c2 + d2) = (ac + db)2 + (ad - bc)2 — тотожність;

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + 2acbd + b2d2 + a2d2 - 2adbc + b2c2;

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + bd2 + a2d2 + b2c2 — правильна рівність.

594. 1) a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab — тотожність; a2 + b2 = a2 - 2ab + b2 + 2ab; a2 + b2 = a2 + b2 — правильна рівність.

2) (a - b)2 + (ab + 1)2 = (a2 + 1)(b2 + 1) — тотожність;

a2 - 2ab + b2 + a2b2 + 2ab + 1 = a2b2 + a2 + b2 + 1;

a2 + b2 + a2b2 + 1 = a2b2 + a2 + b2 + 1 — правильна рівність.

595. 1) (x - 3)2+ (x + 3)2- 2(x - 6)(x + 6) = x2 - 6x + 9 + x2 + 6x + 9 - 2(x2 - 36) = 2x2 + 18 - 2x2 + 72 = 90. Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

2) (4х3 + 5)2 + (2х3 - 1)2 - 4(5х3 + 4)(х3 + 1) = 16х6 + 40х3 + 25 + 4х6 - 4х3 + 1 - 4(5х6 + 5х3 + 4х3 + 4) = 20х6 + 36х3 + 26 - 20х6 - 20х3 - 16х3 - 16 = 10.

Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

Отже, значення виразу не залежить від значення змінної х.

Отже, значення виразу залежить від значення змінної х.

597. 2n + 1 — непарне число. (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 — непарне число, бо 4n2 + 4n = 4(n2 + n) — парне при будь-якому значенні n, тоді 4n2 + 4n + 1 більше, ніж 4n2 + 4n, на 1, тому непарне.

601. 1) Знайдемо площу квадрата як суму чотирьох чотирикутників: двох квадратів і двох прямокутників.

S = (а + b)2 або S = а2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Отже, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

2) a2 = (a - b)2 + b2 + (a - b) ∙ b + (a - b) ∙ b; a2 = (a - b)2 + b2 + ab - b2 + ab - b2; a2 = (a - b)2 + 2ab - b2; a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 або (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

602. 2n + 1 — непарне число. (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. Оскільки n і n + 1 — послідовні натуральні числа, то одне з них парне і ділиться на 2. Тому 4n(n + 1) ділиться націло на 8, тоді остача від ділення числа (4n(n + 1) + 1) на 8 дорівнює 1.

603. 4n, 4n + 1, 4n + 2, 4n + 3 — чотири послідовних натуральних числа. 4n кратне 4, тому квадрат цього числа ділиться націло на 4.

(4n + 1)2 = 16n2 + 8n + 1= 4(4n2 + 2n) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.

(4n + 2)2 = 16n2 + 16n + 4 = 4(4n2 + 4n + 1). Остача від ділення на 4 дорівнює 0.

(4n + 3)2 = 16n2 + 24n + 9 = 16n2 + 24n + 8 + 1 = 4(4n2 + 6n + 2) + 1. Остача від ділення на 4 дорівнює 1.

Отже, остача від ділення квадрата натурального числа на 4 дорівнює 0 або 1.

604. х2 + (х + 1)2 - 2х(х + 1) = х2 + х2 + 2х + 1 - 2х2 - 2х = 1. Отже, різниця не залежить від вибору чисел.

605. 16n + 4 — дане натуральне число. (16n + 4)2 = 256n2 + 128n + 16 = 16(16n2 + 8 + 1); ділиться наділо на 16, бо 16 ділиться на 16.

606. 25n + 5 — дане число. (25n + 5)2 = 625n2 + 250n + 25 = 25(25n2 + 10n + 1) — кратне 25, бо 25 кратне 25.

607. 9n + 5 — дане натуральне число. (9n + 5)2 = 81n2 + 90n + 25 = 81n2 + 90n + 18 + 7 = 9(9n2 + 10n + 2) + 7. Остача від ділення квадрата даного числа на 9 дорівнює 7.

608. 11n + 6 — дане число.

Його квадрат (11n + 6)2 = 121n2 + 132n + 36 = 121n2 + 132n + 33 + 3 = 11(11n2 + 12n + 3) + 3.

Остача від ділення квадрата числа на 11 дорівнює 3.

При а = 1 рівняння має вигляд 0 ∙ х = -1 і не має коренів.

Якщо 6а + 1 = 0, тобто 6а = -1; а = -1/6, рівняння має вигляд і не має коренів.

613. (2n + 1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 + 2n + 1)2 — тотожність;

4n2 + 4n + 1 + 4n4 + 8n3 + 4n2 = 4n4 + 4n2 + 1 + 8n3 + 4n2 + 4n;

8n2 + 4n4 + 8n3 + 4n + 1 = 4n4 + 8n2 + 8n3 + 4n + 1 — рівність правильна.

рівність правильна.

615. Нехай x - 2, x - 1, x, x + 1, x + 2 — послідовні натуральні числа (х > 2).

Тоді (х - 2)2 + (х - 1)2 + х2 + (х + 1)2 + (х + 2)2 = х2 - 4х + 4 + х2 - 2х + 1 + х2 + х2 + 2х + 1 + х2 + 4х + 4 = 5х2 + 10 = 5(х2 + 2).

Щоб це число можна було подати у вигляді квадрата натурального числа, необхідно, щоб х2 + 2 було кратне 5.

Але х2 + 2 може закінчуватися цифрами: 3, 6, 7, 8, 1, тому не може бути кратним 5.

Отже, число 5(х2 + 2) не можна подати у вигляді квадрата натурального числа.

616. 1) 3600 ∙ 0,25 = 900 т цукру одержимо з 3600 т буряків;

2) 900 : 0,18 = 5000 т цукрової тростини необхідно для того, щоб отримати 900 т цукру.

617. Нехай апельсинів було х ящиків, тоді бананів (80 - х) ящиків. Апельсинів привезли 10 кг, а бананів 8(80 - х) кг.

Тоді 10 + 8(80 - х) = 740; 10х + 640 - 8х = 740; 2х = 740 - 640; 2x = 100; х = 100 : 2; х = 50 ящиків апельсинів привезли до магазину; 80 - 50 = 30 ящиків бананів привезли до магазину.

50 ∙ 10 = 500 кг апельсинів привезли до магазину;

30 - 8 = 240 кг бананів привезли до магазину.

618. — ймовірність витягнути білу кульку з першої коробки.

— ймовірність витягнути білу кульку з другої коробки.

— ймовірність витягнути білу кульку з третьої коробки.

— ймовірність витягнути білу кульку з четвертої коробки.

Отже, ймовірність навмання витягнути білу кульку для всіх коробок однакова.

619. 1) Найменше значення виразу х2 дорівнює 0 при х = 0.

2) Найменше значення виразу х2- 16 дорівнює -16 при х = 0.

3) Найменше значення виразу (х + 4)2 + 20 дорівнює 20 при х = -4.

620. 1) Найбільше значення виразу -х2 дорівнює 0 при х =0.

2) Найбільше значення виразу -х2 + 4 дорівнює 4 при х = 0.

3) Найбільше значення виразу 12 - (х - 1)2 дорівнює 12 при х = 1.

621. 1) (х - 1)2 + (х + 1)2 = -10. Ця рівність не виконується при жодному значенні х.

2) (х - 1)2 + (х + 1)2 = 0; таких значених немає, при яких виконується ця рівність.

3) (х2 - 1)2 + (х + 1)2 = 0; рівність виконується при х = -1.

622. 1) (х + 2)2 + (у - 6)2 = -1; таких значень х і у немає, при яких виконується рівність.

2) (х + 2)2 + (у - 6)2 = 0. Ця рівність виконується при х = -2 і у = 6.





Перша публікація: 01/01/2015

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.