Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

525.

АВ = CD; AO : OB = CO : OD; ∆СОВ = ∆AOD (за двома сторонами і кутом МІНІ ними). З рівності трикутників маємо: BC = AD. ∆ВСА = ∆DAC.

1) АС — спільна сторона; 2) AB = CD; 3) BC = DA; ∠MCA = ∠MAC; отже, ∠A = ∠C; ∆CMА — рівнобедрений; МС = AM; ВМ = BC + CM; MD = МА + AD; ВМ = MD; ∆BMD — рівнобедрений.

526.

∆ABC; ∠B = α; AK ⊥ BC; AK — висота ∆ABC; CM ⊥ AB; CM — висота ∆ABC; ∠AOC — кут між висотами, або ∠KOC — кут між висотами. ∠AOK = 180° - α або ∠KOC = α.

527.

ВК — висота, BL - бісектриса кута В. ∠ABK = ∠3; ∠KBL = ∠x; ∠LBC = ∠4; ∠3 + ∠x = ∠4; BL — бісектриса; ∆BKL — прямокутний. ∠BLC —зовнішній кут. ∠BLC = 180° - (∠4 + ∠2); x + 90° = 180° - (∠4 + ∠2); x = 90° - (∠4 + ∠2); x = 90° - (∠3 + x + ∠2) = 90° - ∠3 — x - ∠2; 2x = 90° - ∠3 - ∠2;

∆ABK; ∠1 = 90° - ∠3; 2x = 90° - ∠3 - ∠2; 2x = ∠1 - ∠2; x = 1/2(∠1 - ∠2), що і треба довести.

528.

∆АВС; AM — медіана ∆АВС; ВМ = MC; AB = 3 см; ∆ABM — рівнобедрений, ВК ⊥ АМ; ∠ABK = ∠MBK; ВК — бісектриса і висота; ВК ⊥ АМ; AB = ВМ = 3 см; ВМ = MC = 3 см; ВС = 6 см.

Відповідь: 6 см.

529.

AK ⊥ ВС; ∆ABC; ВО = ОМ; АС = 10 см; AM = MC = 5 см; AB = AM = 5 см.

Відповідь: 5 см.

530. Задача має два розв’язки. ∆АВК і ∆МВС — рівнобедрені. AB = 2 + 7 = 9 (см) або AB = 7 - 2 = 5 (см).

531.

∆АВС; AB < ВС < АС; ∠1 = х; ∠2 = 2х; ∠3 = x + 100°; х + 2х + х + 100° = 180°; 4х = 180° - 100°; 4х = 80°; х = 80° : 4; х = 20°. ∠x = 20°; ∠2x = 40°; ∠3 = 120°. ∠B — найбільший кут. ∠B = 120°.

533. а) з відрізків завдовжки 2; 3; 4; 5 можна скласти 3 трикутники: 1) 3; 4; 5; 2) 2; 3; 4; 3)2; 4; 5;

б) з відрізків завдовжки 2; 3; 4; 5; 6; 7 можна скласти 13 трикутників.

534. а) ОА = R;

б) ОА < R;

в) ОА > R.

535. а) одна точка;

б) дві точки.

536.

MN і PK — діаметри; MN = PK = d; OA = R = d/2.

537.

АВ і BC — не можуть бути діаметрами.

538.

OA = 3 CM; CD = 6 CM; CD — діаметр; MN — хорда.

540. Радіус кола 8 см; діаметр 16 CM.

541. R = 5,5 см.

542.

АС і BD — діаметри кола; ∆АОВ = ∆COD; AO = CO; ВО = OD (радіуси кола); ∠АОВ = ∠COD (вертикальні кути); ∆АОВ = ∆COD за першою ознакою рівності трикутників.

AB = 8 CM; АС = 14 см; АО = 7 см; DC = AB; ОС = ОА = 7 см; Р_∆COD = ОС + OD + DC = 7 см + 7 см + 8 см = 22 см.

543.

AO = BO — радіуси кола; ∠АОВ = 60°; AB = 6 см; ∆АОВ — рівносторонній; АО = OB; ∠A = ∠B = (180° - 60°) : 2 = 60°;

∠A = ∠B = ∠О; AO = OB = AB = 5 CM; P_∆AOB = 5 CM.

544.

AB — діаметр; AB = 2 R; AC — хорда, АС = R; ∠ВАС — кут між діаметром і хордою; ∠ОАС = 60°; ∆АОС — рівносторонній. АО = ОС = АС = R.

545.

AB = АС = R; ∠САВ — кут між хордами; ∠САВ = ∠САО + ∠АОВ = 60° + 60° = 120°; ∆АОС = ∆АОВ за трьома сторонами.

Трикутники рівносторонні.

546.

AB = CD; ∆AOB = ∆COD (за трьома сторонами); АО = ОС; AB = CD; OD = OB. ∆АОС = ∆BOD; 1) АО = BO; CO = OB; ∠AOC = ∠BOD.

Трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.

547.

АВ — діаметр кола; АС і СВ — хорди; АС = СВ; ∆АОС = ∆ВОC; АО = OB; ОС — спільна сторона; АС = ВС; отже, ∠AOC = ∠СОВ — це суміжні рівні кути. ∠COB = 90°.

Відповідь: 90°.

548.

∆АОВ = ∆COD за трьома сторонами; АО = OD; CO = OB; AB = CD. OK ⊥ AB; OK — відстань від хорди AB до центра кола О.

ОМ ⊥ CD; ОМ — відстань від хорди АВ до центра кола; ∆АОК = ∆СОМ — прямокутні (за гіпотенузою і гострим кутом). Отже, ОК = ОМ, що і треба довести.

549.

Якщо хорди рівновіддалені від центра кола, то вони рівні.

ОК = ОМ; ∆ОКВ = ∆ОКА, ОА = OB. ∠A = ∠B; AK = KB; ∆OCM = ∆ODM; CM = MD; ∆AOB = ∆COD, AB = CD.

550.

Діаметр є найбільшою хордою кола. AB — довільна хорда; АВ < АО + OB (нерівність трикутника). AB < R + R; AB < d, d — діаметр.

551.

CD ⊥ AB; AM = MB. ∆AOM = ∆ВОМ (прямокутні). ∠AOD = ∠BOD; ∆AOD = ∆BOD (за двома сторонами і кутом між ними); АО = OD = OB = R; OD = R; CD — діаметр.

552.

ОМ = а; АО = 2а; АВ — хорда; ОМ — відстань від хорди до центра кола; ОМ ⊥ AB; ∠AMO = 90°; ∆АОМ — прямокутний; катет ОМ лежить проти гіпотенузи АО і дорівнює її половині. ∠OAM = 30°;∠AOM = 60°; ∠AOB = ∠AOM + ∠BOM = 60° + 60° = 120°.

553.

ОМ — відстань від центра О до хорди AB; ОМ ⊥ AB; ОМ = а; АВ = 2а; ∆АМО = ∆ВМО — прямокутні рівнобедрені трикутники; AM = MO = MB = а; ∠AOM = ∠BOM = 45°; ∠AOВ = ∠AOM + ∠BOM = 45° + 45° = 90°.

554.

АВ і DC — хорди; AB ⊥ DC, М — точка їх перетину; ОМ — відстань від центра кола до точки їх перетину; ОК — відстань від центра кола до хорди AB, К — середина хорди АВ; ОР — відстань від хорди DC по центра OP ⊥ DC; Р — середина DC. РК — відстань між серединами хорд. ∆МОР = ∆КРО — прямокутні (рівні за двома катетами) (ОР — спільна сторона; ОК = МР). Отже, МО = РК.

555.

AB і CD — хорди; MN — діаметр. AK = KB; CP = PD. Доведемо, що ці хорди паралельні. AB || CD.

556.

c || d; a ⊥ c; a ⊥ d; b ⊥ c; b ⊥ d. Якщо c || d і a ⊥ c і d, b ⊥ c і d, TO a || b; AC — відстань між паралельними прямими с і d; АС ⊥ с, АС ⊥ d; BD — відстань між паралельними прямими, BD ⊥ с; BD ⊥d; AC = BD.

∆ABC = ∆DBC — прямокутні; АС = BD, ВС — спільна. З їх рівності: AB = CD. Отже, а і b відтинають від цих прямих рівні відрізки.

557.

∆ABC — тупокутний, AD — висота; AD ⊥ DC; ∠ABC = 130°; ∠ABD — суміжний ∠ABC; ∠ABD = 180° - 130° = 50°; ∠ADB = 90°; AD ⊥ DB; ∠ADB = 90° - 50° = 40°.

Відповідь: 90°; 50°; 40°.

558.

∆ОАВ не може мати тупий кут; ОА ⊥ АВ. ∠ОАВ = 90°.

559. а) одну дотичну; б) жодної дотичної не можна провести.

560.

∆ABC — рівнобедрений; АВ = АС.

561. а)

R₁ = OB = 8 CM; R₂ = CB = 2 CM; d = ОС = 6 см; внутрішній дотик;

б)

R₁ = ВС = 3 см; R₂ = OB = 6 см; d = ОС = 9 см; зовнішній дотик.

562.

AB — хорда; AB — дотична до кола в точці A; BB₁ — дотична до кола в точці В. С — точка перетину дотичних; АС = ВС.

564. а) AB — дотична до кола; ∠АОВ = 20°; ∠ОАВ = 90°; дотична перпендикулярна радіусу проведеному в точку дотику A. ∆АОВ — прямокутний. Отже, ∠ОВА = 90° - 20° = 70°.

Відповідь: 70°.

б)

АВ — дотична до кола; ∠AOB = 45°; АВ = 8 см; ∠OAB = 90°; AO ⊥ АВ.

∆AOB — прямокутний рівнобедрений; ∠ABO = 90° - 45° = 45°; AО = АВ = 8 см.

Відповідь: 8 см.

565.

АВ — дотична до кола; А — точка дотику; ОА — радіус, проведений в точку дотику. ОД ⊥ AB; ОАВ = 90°;

ОA = АВ, ∆ОАВ — рівнобедрений прямокутний; ∠AOB = ∠ABO — 45°.

Відповідь: 45°; 45°.

566.

АС — дотична до кола; AB — хорда; АВ = AО; ∠CAB — кут між дотичною і хордою; ∆АОВ — рівносторонній. AО = OB = АВ; ∠OAB = 60°; ∠OAC = 90°; OA ⊥ AC, радіус проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної. ∠BAC = ∠OAC - ∠OAB = 90° - 60° = 30°; ∠BAC = 30°.

Відповідь: 30°.

567.

АВ — хорда; ∠AOB = 120°; ∆АОВ — рівнобедрений; OB = ОA; отже, ∠OBA = ∠OAB = (180° - 120°) : 2 = 60° : 2 = 30°. ОВ ⊥ ВС; (радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної) ∠MBO = 90°; ∠MBA — кут між хордою АВ і дотичною MC; ∠MBA = ∠MBO - ∠ABO = 90° - 30° = 60°.

Відповідь: 60°.

568.

AB — дотична до кола; OB ⊥ AB; ∠OBA = 90°; АС — дотична до кола; ОС ⊥ АС; ∠OCA = 90°; ∠BOC = 150°.

Проведемо ОA; ОA — бісектриса кута ВАС; ∠BAD = ∠CAO; ∠BOC = ∠COA = 120° : 2 = 60°. З ∆ОВА ∠BAO = 30°. З ∆ОСА ∠OCA = 30°; ∠BAC = 60°.

Відповідь: 60°.

569.

АВ і АС — дотичні до кола, проведені з однієї точки A. ∠BAC = 50°; ∆ОАВ = ∆ОАС — прямокутні. ОA — спільна сторона, ОВ = ОС; OB ⊥ ВА; ОС ⊥ AC, дотичні , проведені до кола, перпендикулярні до радіусів, проведених в точки дотику. ∠BAO = ∠CAO = 50° : 2 = 25°;

∠BOA = ∠COA = 90° - 25° = 65°;

∠BOC = ∠BOA + ∠COA = 65° + 65° = 130°.

Відповідь: 130°.

570. a)

зовнішній дотик; ОА = 14 см ;АС = 11 см; OC = d — відстань між центрами цих кіл. ОС = ОА + АС = 14 + 11 = 25 (см);

б)

внутрішній дотик. ОА = 14 см; АС = 11 см; ОС = d — відстань між центрами кіл. ОС = ОА - АС = 14 см - 11 см = 3 см.

Відповідь: 25 см, 3 см.

571.

АВ — діаметр, АС і BD — прямі, які дотикаються до кола в кінцях його діаметра АВ. АС ⊥ AB; BD ⊥ АВ (за властивістю дотичних), дві прямі АС і BD перпендикулярні третій прямій АВ, паралельні між собою.

Відповідь: АС || BD.

572.

а — дотична до кола в точці С, ОС ⊥ а; АВ — хорда; AK = KB.

∆АОК = ∆ВОК, ОК — спільна сторона, ОА = OB = R. З рівності трикутників: ∠AKO = ∠OKB, це суміжні кути. Отже, ∠AKO = ∠BKO = 90°, тобто ОС ⊥ АВ; а ⊥ ОС; АВ ⊥ ОС. Отже, а || АВ.

573.

∠ADB — нерозгорнутий кут, AD — дотична до кола. BD — дотична до цього кола; OA ⊥ AD; OB ⊥ BD (властивість дотичної).

∆ADO i ∆BDO— прямокутні, OD — спільна сторона; АО = OB — радіуси кола.

∆ADO = ∆BDO за гіпотенузою і катетом. Отже, з їхньої рівності маємо: ∠ADO = ∠BDO, DO — бісектриса ∠ADB.

574.

АВ — хорда; АВ = R = АО = OB; АС і ВС — дотичні, С — точка їх перетину. ∆AOD — рівносторонній; ∠AOB = 60°.

∆АСО = ∆ВСО — прямокутні за гіпотенузою ОС і катетами АО і ОВ. АО ⊥ AC; OB ⊥ ВС (за властивістю дотичних). З їхньої рівності ∠ACO = ∠BCO; СО — бісектриса ∠ACB; ∆АСО;

∠AOC = 1/2∠AOB = 60° : 2 = 30°; ∠ACO = 90° — 30° = 60°.

Аналогічно ∠OCB = 60°; ∠ACB = ∠ACO + ∠DCO = 60° + 60° = 120°.

Відповідь: 120°.