Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» A. П. Єршова 7 клас - 2015 рік

475.

∆ABC — прямокутний; ∠A = 30°; АС = 18 см; ВК — бісектриса, проведена до катета АС; ∠CBK = ∠ABK = ∠CBA : 2 = 60° : 2 = 30°; ∠CBA = 90° - ∠CAB = 90° - 30° = 60°; СК = х, тоді AK = 18 - х.

∆АВК — прямокутний; ∠A = ∠B = 30°; ВК = АК.

∆СВК — прямокутний; СК — катет, що лежить проти кута 30° (∠CBK = 30°), отже, ВК = 2СК = 2х; BK = АК; 2х = 18 - х; 2х + х = 18; 3х = 18; x = 18 : 3; х = 6 см; ВК = 12 см.

Відповідь: 12 см.

476.

∆ABC — прямокутний; ∠C = 90°; ∠BEC = 60°; BE — бісектриса ∠CBA; ∠CBE = ∠EBA; ∠A = 60°; ∠CBE = ∠EBA = 30°; EA = BE, ∆BEA — рівнобедрений; BE = 2CE = 2 x 4 = 8 CM; CE — катет, що лежить проти кута 30°.

BE = EA = 8 CM;

CA = CE + EA = 4 см + 8 см = 12 CM.

Відповідь: 12 см.

477.

∆ABC, BM — медіана; ВМ = ВС; ВН ⊥ АС; ВН — висота трикутника ABC; НС = 2 см.

∆АВС — рівнобедрений, MB = СВ;

ВН — висота, медіана; МН = НС = 2 см; MC = 4 см.

∆ABC; MB — медіана; AM = MC = 4 см; АС = АМ + MC = 4 + 4 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.

478.

∆АВС; BL — бісектриса ∠ABC;

∠ABL = ∠CBL; ВН ⊥ АС;

ВН — висота; СВН = 20°.

∆LBC — рівнобедрений, BL = ВС;

∠LBH = ∠HBC = 20°; ∠LBC = 40°;

∠ABL = ∠LBC = 40°;

∠ABC = ∠ABL + ∠LBC = 40° + 40° = 80°.

Відповідь: 80°.

479. a)

∠D < ∠E < ∠F; ∠F — найбільший кут ∆DEF; DF — найбільша сторона ∆DEF.

б)

MK > NK > MN. MN — найменша сторона ∆MNK; ∠K — найменший кут ∆MNK.

480.

Найменший відрізок ВК — висота.

481. а) 13 + 6 < 20, ні, не можуть сторони трикутника дорівнювати 13 см, 20 см, 6 см;

б) ні, не може;

в) 2 ; 3 ; 5, не можуть;

г) ні, не може.

482. Прямий або тупий кути у трикутнику найбільші, тому проти них не може лежати найменша сторона.

483. AB = 5 см.

484.

∆АВС; ∠C = 100°.

а) AB — найбільша сторона; б) виконується; в) ∠B — найменший кут.

485.

BD — медіана; |AB - AD| < BD <АВ + AD; |ВС - DC| < BD < BC + DC.

486. AB = 3,3 CM;

BC = 3,333 CM;

AC = 3,316 CM.

Найменший кут лежить проти сторони AB.

487.

∆АВС; АС < ВС; ∠A < ∠B; найменший кут — ∠C.

488. Гіпотенуза ВС.

489. а) 14 см; б) 10 см; в) 3 см або 4 см.

490. а) Не може бути.

б)

Р_∆ABC = 7 см + 7 см + 2 CM; Р_∆ABC = 16 CM.

491.

ВС < АВ + АС; ВС < АВ + АК + КС; ∆АВК; ВК < АВ + АК ⇒ ВК < АВ.

492.

ВС > АВ - АС; АВ > ВС - АС; АС > АВ - ВС; ВС > 2АВ — АВ - 2АС - АС; ВС > АВ - 3АС; ВС > АВ - АС;

ВС + АВ + АС > 2АВ - 2АС.

493.

АС = 2,6 см; ВС = 9,7 см; AB = 12,3 см. AB = АС + ВС. Точки лежать на одній прямій.

494. а) AB = 7,5 см; ВС = 8,3 см; АС = 11, 5 см. АС = AB + ВС;

11,5 ≠ 7,5 + 8,3; точки А, В і С не лежать на одній прямій.

б) AB = 16,3 см; ВС = 0,8 см; АС = 15,5 см; АС = АВ + ВС;

15,5 ≠ 16,3 + 0,8; точка В не лежить між точками А і С. AB = АС + ВС;

16,3 = 15,5 + 0,8.

Точка С лежить між точками A і В.

495. У рівнобедреному трикутнику ABC: AB > ВС; ∠B > ∠A; основа — ВС.

496. ∆ABC; ∠A = ∠С; АС < AB, найменший кут трикутника ∆АВС — кут В.

497.

∆АВС — рівнобедрений, AB = ВС; ∠A = ∠C.

Нехай АС = х, тоді AB = ВС = х + 3.

Рівняння: х + x + 3 + х + 3 = 18; 3х + 6 = 18; 3х = 18 - 6; 3х = 12; х = 4; АС = 4 см; AB = ВС = 4 + 3 = 7 см.

Або AB = ВС = х, тоді АС = х + 3.

Рівняння: х + х + х + 3 = 18; 3х + 3 = 18; 3х = 18 - 3; 3х = 15; х = 15 : 3 = 5; AB = ВС = 5 см; АС = 8 см.

Відповідь: 4 см, 7 см, 7 см або 5 см, 5 см, 8 см.

498.

АВ = ВС; АС = 10 м;

АВ = ВС = (70 - 10): 2 = 60 : 2 = 30 (м).

Відповідь: 10 м, 30 м, 30 м.

499.

|АВ - ВС| < АС < АВ + ВС;

1,2 - 0,4 < АС < 1,2 + 0,4;

0,8 < АС < 1,6; АС = 1 м.

500.

ВМ — медіана ∆АВС; AM = MC;

P_∆ABC = AB + ВС + AM + MC;

Із ∆АВМ: BM < AB + AM.

Із ∆MBC: BM < BC + MC;

2BM < AB + AM + BC + MC;

BM < 1/2(AB + AM + BC + MC);

BM < 1/2P_∆ABC

501.

502.

∆ABC — прямокутний; CD — бісектриса; ∠BCD = ∠ACD; ∠CDA — тупий кут; ∠CDB — суміжний ∠CDA, отже, ∠CDB — гострий кут.

Найменша сторона ∆АВС — сторона ВС.

Відповідь: ВС.

503.

∆ABC — прямокутний; ∠C = 90°; CD — висота; AD < BD. Якщо AD < BD, то АС < ВС, отже, найменший ∠B, тому що він лежить проти АС, яка менше ВС.

Відповідь: ∠B.

504.

∆АВС: AB < АС + ВС; ∆ABD: AD < АВ + BD. Висота тупокутного трикутника, проведена з вершини гострого кута, лежить поза трикутником.

505.

Відповідь: b > а.

506.

а) а - b < с < а + b;

б) 2а < Р < 2(а + b).

507.

∆ABC; ВМ — медіана; AM = MC;

що і треба було довести.

508.

ВМ — висота; ∠ABM; ВМ < АВ + AM; ∆ВМС; ВМ < ВС + МС.

АК — висота; 2ВМ < АВ + ВС + АС. (1)

З ∆АВК: АК < АВ + ВК; з ∆АКС: АК < АС + КС; 2АК < АВ + ВС + АС. (2)

CF — висота; з ∆FBC: FC < ВС + FB; з ∆AFC: FC < АС + AF; 2FC < ВС + АС + АВ. (3)

Додамо (1) + (2) + (3):

509. а) ОА = а;

б) OB = ОА = а;

в) ОА = ОС = OB = OD = а;

г) ОА = а.

510. ОА = ОС; OB = OD.

1) ∆AOD = ∆ВОС; 2) ∆DOC = ∆BОА; 3) ∆АDС = ∆СВА; 4) ∆DAB = ∆BCD.

Задача для підготовки до контрольної роботи № 3

1.

∠1 = 36°; ∠2 = x, ∠3 = 4х; ∠2 і ∠3 — суміжні кути;

х + 4х = 180°; 5х = 180°; х = 180°: 5; х = 36°; ∠2 = 36°; ∠3 = 144°.

∠2 = ∠1 = 36° (відповідні кути), отже, a || b.

2.

∠1 : ∠2 = 25 : 11. а || b, с — січна.

Нехай ∠1 = 25х; ∠2 = 11х; 25х + 11х = 180°; 36x = 180°; x = 5°; ∠1 = 11 x 5° = 55°; ∠2 = 25 x 5° = 125°.

Відповідь: 55°, 125°.

3. Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 35°; ∠C = x + 35° - 25°.

Рівняння: х + х + 35° + х + 35° - 25° = 180°; 3х = 180° - 70° + 25°; 3х = 135°; х = 45°; ∠A = 45°; ∠B = 80°; ∠C = 55°.

Відповідь: 45°, 80°, 55°.

4.

АК — бісектриса ∠A ∆ABC; ∠1 = ∠2; CM — бісектриса ∠BCA; ∠3 = ∠4; ∠AOC = 100°.

∆АОС; ∠2 + ∠4 = 180° - 100° = 80°.

∆ABC; ∠A + ∠C = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 160°; ∠B = 180° - (∠A + ∠C) = 180° - 160° = 20°.

Відповідь: 20°.

5.

∆ABD = ∆DCA — прямокутні трикутники;

1) ∠B = ∠C = 90°;

2) AD — спільна сторона;

3) AB = CD з рівності ∆ABO = ∆DCO (AO = OD; ∠B = ∠C = 90°; ∠BOA = ∠COD (вертикальні кути)).

∆ABD = ∆DCA за катетом і гіпотенузою.

6.

∆АВС; ∠C = 90°; ∠ADB = 120°; ∠ABC = 60°; AD = 16 см.

∆CBD; ∠CDB = 60° — суміжний куту ∠BDA = 120°; ∠CBD = 30°; CD — катет, що лежить проти кута 30°; CD = х, BD = 2х.

∆BDA — рівнобедрений, ∠DBA = ∠DAB = 30°; DA = DB = 16 см; CD = 1/2BD = 1/2 ∙ 16 = 8 (CM).

Відповідь: 8 см.

511. а)

AB = A₁B₁; ∠A = ∠A₁ = 85°; ∠B = 40°; ∠C₁ = 55°.

∠B + ∠C = 180° - 40 — ∠A = 180° - 40° - 85° = 55°;

∠B₁ + ∠C₁ = 180° - 55° - ∠A₁ = 180° - 55° - 85° = 40°;

∠B = ∠B₁ = 40°; ∠C = ∠C₁ = 55°.

∆ABC = ∆A₁B₁C₁ за стороною і двома прилеглими кутами.

б) AB = A₁B₁; BC = B₁C₁; ∠B = 30°; ∠A₁ = 72°; ∠C₁ = 78°.

∆А₁В₁С₁: ∠C₁ = 180° - (∠A₁ + ∠C₁) = 180° - (72° + 78°) = 180° - 150° = 30°.

Трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними.

512.

∆МАС = ∆CNB = ∆АВР = ∆ВАС за трьома сторонами. Три трикутники.

513.

514.

AB = MN; ∠A = ∠M; ∠B ≠ ∠N;

∆ABC не може дорівнювати ∆MNK.

516.

Кути ∆MNP; 20°, 30°, 130°.

517. Бісектриси двох кутів трикутника не можуть бути перпендикулярними.

518. Дві висоти трикутника не можуть точкою перетину ділитись навпіл.

519.

∆ABC; AB = BC; ∠A = ∠A₁; ∆А₁В₁С₁; A₁B₁ = B₁C₁.

Проведемо висоти BK ⊥ АС; В₁K₁ ⊥ А₁С₁; ВК і В₁К₁ — медіани і бісектриси в ∆ABC і ∆А₁В₁С₁. ∆АВК = ∆А₁В₁K₁ (за гіпотенузою і гострим кутом).

Аналогічно, ∆ВСК = ∆В₁С₁K₁.

З рівності трикутників маємо: AB = А₁В₁; BC = B₁C₁; ∠B = ∠B₁.

∆АВС = ∆А₁В₁С₁.

520.

∆ABC = ∆BCD = ∆DCE — рівносторонні, у них усі сторони і кути рівні.

а) AE || BD, CD — січна; ∠BDC + ∠DCA = 60° + 120° = 180°.

∠BDC і ∠DCA — внутрішні односторонні кути.

б) ∆ABD = ∆EDB; BD — спільна сторона; AB = DE; ∠B = ∠D.

B) ∆ABE = ∆EDA; AB = DE; AE — спільна сторона; ∠A = ∠D.

Кути ∆ABE; 60°, 90°, 30°.

521.

∆ABC = AAB₁C; AB = AB₁; BC = B₁C; AC — спільна основа; BD ⊥ AC; B₁D ⊥ AC; D — спільна основа перпендикулярів.

522.

CD ⊥ AB; AO = OB; Доведемо, що ∆ACD = ∆BCD; ∆АОС = ∆COD — прямокутні; AO = BO; CO — спільна сторона; отже, AC = BC; ∆AOD = ∆BOD — прямокутні; AO = BO; DO — спільна сторона. З рівності трикутників: AD = BD; отже, ∆ACD = ∆BCD (за трьома Сторонами).

1) AC = BC;

2) AD = BD;

3) CD — спільна сторона.

523.

a || b; пряма с перетинає пряму а, якщо пряма с не перетинає пряму b, то через точку проходить дві прямі паралельні прямій b, що неможливо.

524.

АМ = ВК = m; AM ⊥ а; ВК ⊥ a; ∠M + ∠A = 180°; ∠M і ∠A — внутрішні односторонні кути; AB || а.