Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» О. С. Істер 7 клас - 2015 рік

Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників

§ 13. Перша та друга ознаки рівності трикутників

301. На рис. 227 трикутники рівні за першою ознакою (за двома сторонами і кутом між ними).

На рис. 228 трикутники рівні за другою ознакою (за стороною і прилеглими двома кутами).

302. У ∆ABC і ∆CDA спільний елемент — сторона AВ.

У ∆KML і ∆KNP спільний елемент — кут ∠K.

303. За умовою ВС = CD, ∠ACB = ∠ACD, АС — спільна сторона. Отже, ∆ABC = ∆ADC за двома сторонами і кутом між ними.

304. За умовою AB = ВС. Оскільки ВК ⊥ АС, то ∠ABK = ∠CBK = 90°, КВ — спільна сторона. Отже, ∆АВК = ∆СВК за двома сторонами і кутом між ними.

305. Оскільки PL ⊥ MN, то ∠PKM = ∠LKN = 90°. За умовою МК = KN, ∠M = ∠N. Отже, ∆MKP = ∆NKP за стороною і прилеглими до неї кутами.

306. За умовою KB = КС, ∠ABK = ∠DCK. ∠AKB = ∠DKC — як вертикальні кути. Отже, ∆АВК = ∆DCK за стороною і прилеглими до неї кутами.

307. За умовою АВ = СН, ∠ABC = ∠BCD. СВ — спільна сторона. Отже, ∆ABC = ∆DCB за двома сторонами і кутом між ними.

308. Скільки ОС — бісектриса кута АОВ, то ∠AOC = ∠NOC. За умовою ∠OCM = ∠OCN, ОС — спільна сторона. Отже, ∆ОМС = ∆ONC за стороною і прилеглими до неї кутами.

309. За умовою ВО — бісектриса кута ABC, ВК — бісектриса ∠ABC. Отже, ∠MBO = ∠NBO. За умовою MN ⊥ ВК, отже, ∠MOB = ∠NOB = 90°, ВО — спільна сторона. ∆ВМО = ∆BNO за стороною і двома прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. Отже, MO = NO.

310.

Розглянемо ∆ВОС і ∆DOC: ОС = ОА, OB = OD, ∠BOC = ∠DOA, як вертикальні кути. Отже, ∆ВОС = ∆DOC за двома сторонами і кутом між ними. Отже, ВС = AD, оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні.

Розглянемо ∆ВОА і ДDOC: АО = ОС, OB = OD, ∠BOA = ∠DOC — як вертикальні кути. Отже, ∆BOA = ∆DOC за двома сторонами і кутом між ними. Отже, AB = CD, оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні.

311. За умовою АВ = CD, ∠BAC = ∠DCA. АС — спільна сторона. Отже, ∆ABC = ∆CDA за двома сторонами і кутом між ними.

312. За умовою ∠LMK = ∠PKM і ∠LKM = ∠PMK. МК — спільна сторона. Отже, ∆MKL = ∆КМР за стороною і прилеглими кутами.

313. Оскільки за умовою ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, A₁С₁ = АС, ∠C₁ = ∠C. Тоді ∆ALC = ∆A₁L₁C₁ за стороною і двома прилеглими кутами.

314. Оскільки за умовою ∆ABC = ∆A₁B₁C₁, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, AB = А₁В₁, ∠ВАМ = ∠B₁A₁M₁. Отже, ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ за двома сторонами і кутом між ними.

315. Ні. Трикутники рівні, якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють двом сторонам і куту між ними другого трикутника.

316. Не можна стверджувати, що коли сторона і два кути одного трикутника дорівнюють стороні і двом кутам другого трикутника, то трикутники рівні.

На рис. в ∆ABC AB = 2 CM, ∠CAB = 30°, ∠CBA = 60°, а в ∆ACD: AB = 2 CM, ∠BAD = 60°, ∠ADB = 30°. Проте ∆ABC ≠ ∆ABD.

317.

Оскільки ∆ABK = ∆CBL, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, ∠A = ∠C, AB = CB, AK = CL. AL = AK + KL, CK = CL + KL, отже, KL — спільний відрізок для AL і CK і AL = CK. Тоді ∆ABL = ∆CBK за двома сторонами і кутом між ними.

318.

Оскільки ∆АКС = ∆ALC, то у них відповідні сторони і кути рівні. Отже, КС = LC, ∠KCA = ∠LCA. Оскільки ∠KCA = ∠LCA, то рівні і суміжні з ними кути ∠KCB = ∠LCB. СВ — спільна сторона трикутників ВКС і BLC. Отже, ∆ВКС = ∆BLC за двома сторонами і кутом між ними.

319.

Оскільки AB — бісектриса кута А, то ∠MAB = ∠NAB, AB — спільна сторона трикутників AMВ і ANВ. AB — спільна сторона. Отже, ∆AMВ = ∆ANВ за стороною і прилеглими кутами. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. Отже, AM = AN.

Розглянемо ∆АМР і ∆ANP. АР — спільна сторона. ∆АМР = ∆ANP за двома сторонами і кутом між ними (∠MAP = ∠NAP, AM = AN). У рівних трикутників відповідні кути рівні, отже, ∠MPA = ∠NPA.Оскільки ці кути суміжні і рівні, то маємо ∠MPA + ∠NPA =180°, ∠MPA = ∠NPA = 90°. Тож MN ⊥ AB.

320. 13 см + 4 дм = 1,3 дм + 4 дм = 5,3 дм — друга сторона трикутника. 4 дм: 2 = 2 дм — третя сторона трикутника. Р_∆ = 4 + 5,3 + 2 = 11,3 (дм).

Відповідь: 11,3 дм.

321.

Якщо ці три кути 1, 3, 5, то ∠1 + ∠3 + ∠5 = 270°, то всі ці кути по 90°, тоді і решта кутів по 90°. Звідси a ⊥ с, b ⊥ с. Якщо ці три кути 1, 2, 3, тоді ∠1 + ∠2 = 180° (як суміжні), звідси ∠3 = 90°. Отже, і інші кути по 90°. Звідси a ⊥ с, b ⊥ с.

322. Можна скласти прямокутник 101 x 50. Кожна сторона прямокутника буде складатися з двох прямокутників 1 x 1 і 1 x 100; 1 x 2 і 1 x 99; 1 x 50 і 1 x 51.