Розв’язання усіх вправ і завдань до підручника «МАТЕМАТИКА. 6 клас» Мерзляка А. Г. - 2016 рік

§ 1. ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

2. Ознаки подільності на 10, на 5 і на 2

40.

41. 1) 34, 860,648, 8216, 1020, 246370;

2) 435, 860,5465, 2405,1020,246370;

3) 860,1020, 246370.

42. 1) 395, 943,2625, 7121; 2) 760, 1270; 3) 395,2625.

43. 1) Твердження правильне. Наприклад, числа 8 і 10 парні, сума цих чисел 8 + 10 = 18 — число парне;

2) твердження неправильне. Наприклад, числа 3 і 5 непарні, сума цих чисел 3 + 5 = 8 — число парне;

3) твердження правильне. Наприклад, число 3 — непарне, 8 — число парне, сума 3 + 8 = 11 — число непарне;

4) твердження неправильне. Наприклад, сума чисел 5 + 7 = 12 — число парне, але числа 5 і 7 непарні;

5) твердження правильне. Наприклад, числа 8 і 6 — парні і їх добуток 8 ∙ 6 = 48 — число парне;

6) твердження правильне. Наприклад, числа 3 і 5 — непарні і їх добуток 3 ∙ 5 = 15 — число непарне;

7) твердження неправильне. Наприклад, число 5 — непарне, 6 — число парне, а їх добуток 5 ∙ 6 = 30 — число парне.

44. 1) 275,277, 279, 281, 283, 285, 287, 289;

2) 2727, 2729, 2731, 2733, 2735.

45. 1) 136,138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158;

2) 490, 492, 494, 496, 498, 500.

46. 1) 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70;

2) 3725, 3730, 3735, 3740, 3745, 3750.

47. 1) 280, 290, 300, 310; 2) 1470, 1480, 1490, 1500.

48. 3075, 3570, 3705, 3750, 5370, 5730, 7035, 7305, 7350, 7530.

49. 1) 0, 2, 4, 6, 8; 2) 0, 5; 3) 0.

50. 1) 9876; 2) 98765; 3) 987650.

51. 1) 100, 200, 300, 400, 500, 600. Якщо запис натурального числа закінчується двома цифрами 0, то воно ділиться на 100;

2) 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200. Якщо запис натурального числа закінчується двома цифрами, які утворюють одне з чисел 25, 50, 75 або двома нулями, то воно ділиться націло на 25.

52. Якщо х = 97, то х - 32 = 97 - 32 = 65 — ділиться націло на 5.

53. Якщо у = 103, то 327 + у = 327 + 103 = 430 — ділиться націло на 10.

54. Число, записане лише за допомогою одиниць, є непарним числам. Воно не може ділитися націло на число, записане лише за допомогою двійок, оскільки це парне число.

55. 1) Може (наприклад, 222 ділиться на 111);

2) ні, не може. Число записане з допомогою тільки п’ятірок, ділиться на 5, а число, записане лише за допомогою цифр 2, на 5 не ділиться.

56. 1) Сума двох натуральних чисел є непарним числом, тому одне з цих чисел — парне, а інше — непарне. Добутком парного та непарного чисел є число парне;

2) добуток цих чисел необов’язково буде парним числом. Наприклад, сума чисел 3 і 5 є парним числом, а добуток 3 ∙ 5 = 15 — непарне число.

57. 1) Сума парних доданків є парним числом, а сума трьох непарних доданків є непарним числом, тому сума вказаних семи натуральних доданків є непарним числом;

2) сума чотирьох непарних доданків є парним числом і сума парних доданків є парним числом, тому сума вказаних семи натуральних доданків є парним числом.

Відповідь. 1) Непарним; 2) парним.

58. Число 1000 є парним, тому серед дев’яти доданків є хоча б одне парне число. Тоді добуток цих дев’яти натуральних доданків буде парним числом.

Відповідь. Так.

59. Якщо яблука розкласти на 5 купок, кожна з яких містить непарну кількість яблук, то загальна кількість яблук повинна бути непарним числом. Тому 50 яблук неможливо розкласти на 5 купок, які містять непарну кількість яблук.

Відповідь. Не можна.

60. З двох послідовних натуральних чисел одне непарне, а інше — парне. Тоді площа (добуток цих чисел) повинна виражатися парним числом, але 12345 — непарне число. Тому такого прямокутника не існує.

Відповідь. Не існує.

61. 1) 2n — парне число;

2) 2n + 1 — непарне число;

3) n(n + 1) — парне число, бо серед чисел n і n + 1 одне парне, а інше — непарне;

4) (2n - 1) (2n + 3) — непарне, бо числа 2n - 1 і 2n + 3 — непарні;

5) (2n + 5) (4n - 2) (2n + 7) — парне, бо число 4n - 2 — парне.

Відповідь. 1) Парне; 2) непарне; 3) парне; 4) непарне; 5) парне.

62. Іван Іванович у вересні заступав на чергування по непарних числах, а Петро Петрович — по парних, тому 18 вересня заступить на чергування Петро Петрович, 29 вересня — Іван Іванович.

У вересні 30 днів, тому 1 жовтня та 31 жовтня заступить на чергування Іван Іванович, а 30 жовтня — Петро Петрович. 1 листопада заступить на чергування Петро Петрович. У листопаді по непарних числах заступатиме на чергування Петро Петрович, а по парних — Іван Іванович.

У листопаді 30 днів, тому в грудні по непарних числах на чергування знову заступатиме Петро Петрович, а по парних — Іван Іванович. Отже, враховуючи те, що в грудні 31 день, у ніч на Новий Рік на чергування заступить Петро Петрович.

63. Так. Із трьох натуральних чисел завжди можна вибрати два парних або непарних числа, а сума двох парних або непарних чисел є парним числом.

64. 1) Добуток 1 ∙ ... ∙ 4 ∙ 5 ∙ ... ∙ 10 ∙ ... ∙ 14 ∙ 15 ∙ 16 = (2 ∙ 5) ∙ 10 ∙ (4 ∙ 5) ∙ ... закінчується трьома цифрами 0;

2) добуток 1 ∙ ... ∙ 4 ∙ 5 ∙ ... ∙ 10 ∙ ... ∙ 14 ∙ 15 ∙ ... ∙ 20 ∙ ... ∙ 24 ∙ 25 ∙ 26 = (2 ∙ 5) ∙ 10 ∙ 20 ∙ (14 ∙ 15) ∙ (4 ∙ 25) ∙ ... закінчується шістьма цифрами 0.

Відповідь. 1) 3; 2) 6.

65. За умовою задачі, одне із шуканих чисел трицифрове, а інше — двоцифрове. Отримаємо: 100n + 10m + 7 і 10n + m. Звідси (100n + 10m + 7) + (10n + m) = 110n + 11m + 7. Маємо: 110n + 11m + 7 = 700; 110n + 11m = 693; 10n + m = 63. Шукане двоцифрове число дорівнює 63, а трицифрове — 637.

Відповідь. 637 і 63.

66. 1) На місці одиниць шуканого числа може бути одна з цифр 0, 2,4, 6, 8, а на місці десятків — 2, 4, 6, 8. Отже, двохцифрових чисел, для запису яких використовуються лише парні числа, існує 5 ∙ 4 = 20;

2) на місці одиниць шуканого числа може стояти одна з цифр 1, 3, 5, 7, 9 і на місці десятків — 1, 3, 5, 7, 9. Отже, двохцифрових чисел, для запису яких використовуються лише непарні числа, існує 5 ∙ 5 = 25.

67. Значення суми 1 + 2 + 3 + ... +8 + 9 — число непарне. Якщо в сумі знак «+» замінити на знак «-», то значення отриманого виразу залишиться непарним числом. Отже, значення отриманого числового виразу не може дорівнювати 18.

Відповідь. Ні.

68. 1) 14168 : 28 = 506, тому 14168 кратне 28;

2) 1878 : 24 = 78 (ост. 6), тому 1878 не кратне 24:

3) 14892 : 73 = 204, тому 73 є дільником числа 14892;

4) 5172 : 56 = 92 (ост. 20), тому 56 не є дільником числа 5172.

69. Нехай в Україні x біосферних заповідників, тоді природних заповідників — 4x. Рівняння: х + 4х = 20; 5х = 20; x = 20 : 5; x = 4. Тоді 4x = 4 ∙ 4 = 16. Отже, в Україні 4 біосфернихзаповідники і 16 природних заповідників.

Відповідь. 4 біосферних заповідники і 16 природних заповідників.

70. Нехай в Україні х дендрологічних парків, тоді ботанічних парків — х + 10. Рівняння: x + х + 10 = 34; 2х + 10 = 34; 2х = 24; х = 12. Тоді x + 10 = 12 + 10 = 22. Отже, в Україні 12 дендрологічних парків і 22 ботанічних парки.

Відповідь. 12 дендрологічних парків і 22 ботанічних парки.

Відповідь. 1) 65; 2) 1,25.

72. Ні, не можна. Оскільки всі числа в квадратах 2x2 збільшуються на 1, то числа в кутових квадратиках вказують, скільки разів вибирали відповідний квадрат 2x2. Розглянемо перший рядок. У лівій клітинці там міститься число 4, а в правій — число 5. Значення у середній клітинці збільшувалося і в одному, і в другому випадках, тому там мало би бути 4 + 5 = 9, а є 6.