Розв’язання вправ та завдань до підручника «Математика» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§34. Комбінації геометричних фігур

1107.

а)

Навколо кулі описана правильна чотирикутна призма.

б)

Навколо кулі описана правильна трикутна призма.

1108.

а)

Навколо кулі описана правильна чотирикутна піраміда PABCD.

б)

Навколо кулі описана правильна трикутна піраміда SABC,

O₁ — центр вписаного кола в основу.

1109.

а)

В конус вписана правильна трикутна піраміда.

б)

В конус вписана правильна чотирикутна піраміда.

в)

В конус вписана правильна шестикутна піраміда.

1110.

а)

б)

1111.

а)

б)

Якщо прямокутний трикутник вписаний у коло, то гіпотенуза його —

це діаметр кола. Призма пряма, її бічні ребра перпендикулярні до основи.

1112

1113.

Ребро куба 10 см.

AA ₁ = AB = AD = 10 см.

Радіус сфери, вписаної в куб,

R = 5, S_сф = 4πR² =4π × 25 = 100π, S_сф = 100π.

1114.

Див. рис. з № 1113.

Радіус сфери, описаної навколо куба, дорівнює

де В₁D — діагональ куба, тоді

Радіус сфери, вписаної в куб, дорівнює

1115.

S_б.к. = πRl , R = АО , l = АР.

ABCD — квадрат, його сторона а, діагональ

радіус кола, описаного навколо квадрата,

R = OD = ОА.

∠POD = 90°, ∠ODP = α,

1116.

РО ┴ ABC,

РО = Н,

ОК ┴ BC,

∠РКО = 60°.

КО = r — радіус кола, вписаного в трикутник ABC.

СВ = 10 м, СА = 24 м, ∠АСВ = 90°;

BA = 26 м.

Для прямокутного трикутника радіус вписаного кола

а = ВС, b = АС , с = АВ;

а = 10, b = 24, с = 26;

r = 4 м.

Твірна конуса l = РK , ΔОKР: ∠Ο = 90° , ∠ΡΚΟ = 60° ,

KО = r = 4, РК = l = 8 м;

S_п.к. = π × 4 × 8 + π ×· 4² = 48π (м²).

1117.

S _б.ц.= 2 πRH.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна чотирикутна призма,

в її основі квадрат, ребро перпендикулярне до основи.

Сторона основи a, AB = AD,

ΔΒ₁ΒD: ∠B ₁DB = 45° , ∠B ₁BD = 90° → BD = BB₁

1118.

R — радіус кола, описаного навколо правильного трикутника.

1119.

ΔABC: AB = BC = АС = а,

S _б.ц. = HP _ΔABC = H × 3a; 3аH =27; аН = 9,

1120.

ABCD — паралелограм, в нього можна вписати коло, тому ABCD — ромб.

AB = BC = CD = AD = a.

АС = 8 см,

BD = 6 см,

ΔAOD: AO ┴ OD в ромбі.

∠O = 90°, AD²=AO² + OD² = 4² + 3² = 5² ; AD = 5, a = 5;

OT ┴ AD, OT = R — ?

4 × 3 = ΟT × 5,

Η = 2R = AA₁,

S_п.пар. = 146 см².

1121.

S _б.пр. = 6aΗ, a = A₁A ₂ H = А₁A₁² = 12 см,

A₂'Α₅ = 2R = 20 (см), A₂A₅= 2A₁A₆ = 2a.

ΔΑ₂Α₂'Α₅: ∠A₂ = 90^ο,

Α₂'A₅ = 20 см, Α₂Α₅ = 2a.

(A₂Α₂' =( Α₂'A₅)² =(Α₁Α₅)

12² = 20² — 4a², 4α² - 20² -12² = 16², 40a² = 16 × 16, a = 8 см;

S_б.пр. = 6aH = 6 × 8 ×12 = 576(см²), S_б.пр = 576 см².

1122.

S_сф. = 4πR.

За умовою даний прямокутний паралелепіпед,

в оcнові його лежить прямокутник ABCD,

паралелепіпед — прямий, АА₁ = Н , АА₁ ┴ АBС .

ΔABD: ∠A = 90°, АВ = 3 дм, BD = 5дм.

ΔВВ₁D: ∠Β = 90°, BD = 6 дм, ВВ₁ = АА₁ = 5 дм;

B₁D = 2R, R — радіус сфери;

S_сф. = 50π дм².

1123.

а)б)в)

РАВС — конус, радіус основи — r. S_б.п. = Q ,

а) В конус вписана правильна трикутна піраміда, АР —?

б) В конус вписана правильна чотирикутна піраміда, l = АР —?

АС = 2r,

в) В конус вписана правильна шестикутна піраміда, І = АD —?

1124.

ΔΑΟΟ₁: ∠O₁ = 90°,

1125.

a) ABCD — квадрат, точки F, L, Μ, Ν — точки дотику, ОF = r — ?

ΑΒ = a, ΔAFO: ∠AFO=90°, ∠OAF = 45°,

б) ABCD — квадрат, AB = a, AO = R;

ΔAAOB: ∠AOB = 90°,

∠BAO = 45°, AO = OB, 20А² = AB² = a²;

1126.

ΔAO₁OM: ∠O = 90°, OO₁ = R;

1127.

Осьовий переріз піраміди — це ΔАРС, РО₁ ┴ ABC,

∠АО₁Р = 90° , ∠РАО₁ = а. АО = r , АО — бісектриса ∠PAO₁.

ΔΑΟΟ₁: ∠О₁ = 90°, ОА = r ,

ΔΑΡΟ₁: ∠О₁ = 90°, ∠A = a,