Розв’язання вправ та завдань до підручника «Математика» Г. П. Бевз 11 клас - 2011 рік

§26. Застосування векторів

833.

Дано рівняння сфери: (х - 3)² + (у + 2)² + (z - 5)² = 16.

Рівняння сфери радіуса R iз центром у точці А(а; b; с) має вигляд:

(х - а)² + (у - b)² + (z - с)² = R².

Координата центра сфери а = 3, b = -2, с = 5, R = 4.

А(3; -2; 5), R = 4.

834.

а)

б)

835.

ΔАBС: ∠С = 90°, ∠A = 50°.

∠АВС = 90° - 50° = 40°. ∠АВС = 40°.

а)

α = ∠АВС = 40°,

б)

∠C₂AB = 40° + 90° = 130°,

в)

∠BAC₁ = 50° + 90° = 140°,

836.

1. a)

б)

в)

г) cos180° = -1

837.

ΔABC: AB = ВС = АС = 6. ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

1. a)

б) ∠BAC₁ = 120°,

838.

a)

б)

в)

г)

839.

1. a)

б)

в)

840.

а)

б)

в)

г)

841.

б)

φ = 120°б

в)

φ = 135°,

г)

842.

А(2; 1; 3), В(7; 4; 5), С(4; 2; 1). ΔАВС — прямокутний?

Якщо то

В трикутнику ΔABC ∠ACB = 90°. ΔАВС — прямокутний.

843.

х - ?

а)

Якщо то

х + 9 = 0, х = -9.

б)

- 25 + х² = 0, х² = 25, х₁ = 5, х₂ = -5.

в)

х + 2 +3х - 6 = 0, 4х = 4, х = 1.

г)

(x - 3) × 4 + х × x + 1 × (-3х) = 0;

4х - 12 + х² - 3х = 0; х² + х - 12 = 0;

х₁ = -4, x = 3.

844.

А(0; 2; -1), В( 1; 0; 1), С(-1; 1; 2), D(0; 0; z), z = ?

AD ┴ ВС

0 × (-2) + (-2) × 1 + (z + 1) × 1 = 0, -2 + z + 1 = 0, z = 1.

845.

А(1; 4; 8), В(-4; 0; 3), O(0; 0; 0), φ - ?

846.

а)

б)

847.

а)

Чотирикутник ABCD — паралелограм, тому що ВС ║ AD i ВС = AD.

б)

ВС ║ AD. ABCD — трапеція.

848.

∠ACB = 90°.

ΔABC — прямокутний.

849.

Площина: х + y = z + 3 = 0.

А( 0; 0; 1) не належить цій площині, тому що 0 + 0 + 1 + 3 ≠ 0.

B(-1; 1; -3), -1 + 1 - 3 + 3 = 0, т. В належить площині.

С( 2; 0; -5), 2 + 0 - 5 + 3 = 0, т. С належить площині.

D(0: -3: 3), 0 - 3 + 3 + 3 ≠ 0. т. D не належить площині.

850.

Дано рівняння площини α: х - 2у + 3z - 5 = 0,

Дано рівняння інших площин:

β: 2х - 4у + 6z - 2 = 0, β ║ α

γ: 2х + 4y + 6z + 3 = 0,

δ: -4х + 8у - 12z = 0, δ ║ α.

Перша і третя площини паралельні даній площині.

Дано сферу: (х - 1)² + у² + (z + 3)² = 9.

а) Щоб площина перетинала цю сферу, вона має знаходитися від центра сфери на відстані меншій за 3.

б) Щоб площина дотикалась до сфери, вона має знаходитися від центра сфери на відстані 3.

в) Щоб площина не мала зi сферою спільних точок, вона має знаходитися на відстані, більшій за 3.

Рівняння площини, яка проходить через т. М(х₀; у₀; z₀) i перпендикулярна до вектора має вигляд: А(х - х₀) + В(у - у₀) + C(z - z₀) = 0, де (х; у; z) — координати довільної точки площини.

М(2; -1; 4),

Рівняння площини: 5 × (х - 2) + 0 × (у + 1) + (-3) × ( z - 4) = 0;

5х - 10 + 0 - 3z + 12 = 0; 5х - 3z + 2 = 0.

853.

А(а;b; с). Площина проходить через т. O(0; 0; 0) i перпендикулярна до прямої ОА.

A ϵ α,

α: а × (х - 0) + b × (у - 0) + с × (z - 0) = 0;

α: ах + by + cz = 0.

854.

А(1; 2; -3), В(3;.-2; 5)

а) Площина α, α ┴ АВ, A ϵ α, А(х₀; у₀; z₀)

Рівняння площини:

α: n₁ × (х- х₀) + n₂ × (у — y₀) + n₃ × (z - z₀) = 0;

α: 2 × (х - 1) - 4 × (у - 2) + 8 × (z + 3) = 0;

2х - 4у + 8z - 2 + 8 + 24 = 0; 2х - 4y + 8z + 30 = 0 | : 2$

α: x - 2у + 4z + 15 = 0:

б) В ϵ α, α ┴ АВ,

2 × (х - 3) - 4 × (у + 2) + 8 × (z - 5) = 0 | : 2;

x - 3 - 2у - 4 + 4z - 20 = 0;.

α: х - 2у + 4z - 27 = 0;

в) E(х₁; y₁), Е(2; 0; 1), Е ϵ α

α: 1 × (х - 2) + (-2) × (у - 0) + 4 × (z - 1) = 0;

α: х - 2у + 4z - 6 = 0.

855.

Рівняння сфери iз центром у точці С(х₀; у₀; z₀) paдiyca R має вигляд:

(х - х₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)²= R².

Центр — т. М( 1; -3; 5), R = 4.

Рівняння сфери: (х - 1)² + (у + 3)² + (z - 5)² = 16.

856.

Центр сфери O(-1; 0; 2), т. A(3; 1; 1) лежить на сфері.

Рівняння сфери: (х + 1)² + (у - 0)² + (z - 2)² = R ², R = ?

(3 + 1)² + (1 - 0)² + (1 - 2)²= R²; R ² = 16 + 1 + 1 = 18.

Рівняння сфери: (х + 1)² + у² + (z - 2)² = 18.

857.

Діаметр сфери АВ, де А(2; -3; -5), N(4; 1; -3). R = ?

Сфера проходить через т. A(2; -3; 5), центр в т. М, де AM = МВ.

x_м = 3;

y_м =-1;

z_м = 1;

М(3; -1; 1)

Рівняння сфери: (х - х_м)² + (у - у_м)² + (z - z_м)² = R²;

(х - 3)² + (у + 1)² + (z - 1)² = 21.

Відповідь: рівняння сфери: (х - 3)² + (у + 1)² + (z - 1)² = 21.