Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Завдання 22

1.

Обчислимо площу поверхні Землі: S= 4πR² = 4π · 6375².

Площа суші складає

Відповідь: π × 6375².

2.

Знайдемо об’єм кавуна радіуса 10 см:

На одного їдока приходиться

Знайдемо об’єм кавуна-радіусом 20 см:

На одного їдока приходиться

Відповідь: у вісьмох.

3.

Оскільки передбачається, що каша у двох котлах однакова,

то в другому казані відношення води і крупи буде таке саме, як і в першому.

Відповідь: тим же.

4.

Знайдемо площу поверхні м’яча радіусом 10 см. S = 4π × 100.

Для виготовлення м’яча потрібно матеріалу: 400π × 1,1 = 440π (см²).

Відповідь: 440π см².

5.

Нехай O₁B — радіус сигмента, О₁В = 3 см,

CO₁ — висота, ОВ = ОС = R.

З ΔО₁ВО: OВ² = О₁В² + О₁О²;

Отже, об’єм землі для клумби V дорівнює:

Відповідь:

6.

Нехай діаметр Землі дорівює D, радіус землі дорівнює R.

2R = D, d — діаметр Місяця, r — радіус Місяця;

Об’єм Землі:

Об’єм Місяця:

Відповідь: 64 : 1.

7.

Нехай В — діаметр Землі, d — діаметр Марса, R — радіус Землі,

г — радіус Марса.

Площа поверхні Марса у 4 рази менша поверхні Землі.

8.

Знайдемо поверхню кулі радіусом R. S = 4πR².

Знайдемо поверхню кулі радіусом

Відповідь: 100 куль.

9.

Нехай r — радіус маленької кульки, R — радіус великої кулі. R = 5r.

Об’єм однієї кульки Об’єм великої кулі V₁ : V = 125.

Отже, для виготовлення великої кулі треба переплавити 125 маленьких кульок.

10.

3V = 4πr³;

Відповідь:

11.

1) S = 4πR² = 4π × 16 = 64π (см²);

2) 3V = 4πR³; 12 000 = 4πR³;

3) S = 4πR²; 4πR² = 64π;

Відповідь: 1) 64π см²; 2)

3) 4 см;

12.

Нехай V₁ — об’єм першої частини кулі, V₂— об’єм другої частини кулі.

V₁ = 720π см³, V₂ = 252π см³.

Об’єм V кулі дорівнює: V= V₁ + V₂ = 720π + 252π = 972π (см³).

3V = 4πR³; 3 · 972π = 4 πR ³; R³ = 729; R = 9.

S = 4 πR ² = 4π × 81 = 324π (см ²).

Відповідь: 324π см².

13.

1) Нехай сфера задана рівнянням х² + у² + z² = 3, отже,

S = 4πr² = 4π × 3 = 12π.

2) Нехай сфера задана рівнянням (х - 1)² + (у + 1)² + (z - 2)² = 16,

отже, R = 4. S = 4πг² = 4π × 16 = 64π.

3) х² + 2х + у² + z² = 0; x ² + 2x + 1 + у² + z²= 1; (х + 2)² + у² + z = 1.

S = 4πr² = 4π.

4) x ² - 2х + у² + 2у + z²— 4z = 3; x² - 2х + 1 + у² + 2у + 1 + z² — 4z + 4 = 9;

(x - 1)² + (у + 1)² + (z - 2)² = 9; R = 3. S = 4πг² = 4π × 9 = 36π.

14.

Якщо циліндр, описаний навколо кулі, то цей циліндр рівнобокий.

Нехай R — радіус кулі, тоді радіус циліндра дорівнює R, а висота циліндра 2R.

S_{циліндра} = 2 πR × 2R + 2 πR ² = 6 πR²; V_{циліндра} = πR ² × 2R = 2 πR ³

S_кулі = 4 πR²:

Твердження доведено.

15.

Нехай V₁— об’єм першого циліндра, V₂ — об’єм другого;

R₁Н₁ — виміри першого циліндра; R₂, Н₂ — виміри другого циліндра.

V₁ = V₂

Твердження доведено.

16.

Нехай SO = KM, АВ = AS.

З ΔSAO:

Отже, S_кулі = S_конуса

17.

Нехай S — площа поверхні кулі, S₁— площа поверхні другої кулі,

S = 43 см². S = 4πR²; 43 = 4πR²;

Знайдемо радіус другої кулі:

Відповідь: 387 см².

18.

Нехай S₁— площа поверхні кулі, S₂ — площа поверхні другої кулі,

S₁ = 393 см².

Відповідь: 131 см².

19.

Нехай S₁ — площа перерізу. S₁ = π × O₁A²; 15 = π × Ο₁A²;

З ΔО₁АО:

Відповідь: 180 см².

20.

Нехай ∠ОАО₁ = 45°, ОА — радіус кулі. Проведемо OO₁ ┴ О₁А.

S = 4π × ОА²; 4π × ОА² = 125; ΔО₁АО — прямокутний,

∠Ο₁ΑΟ = ∠ΑΟΟ₁ = 45°.

Відповідь:

21.

Нехай Ο₁Β = 60 cм, OB = 75 cм.

3 ΔΟ₁ΒΟ:

AO ₁ = OB - O₁O = 75 - 45 = 30 (cм).

Отже, об’єм кульового сектора дорівнює:

Відповідь: 112 500 см³.

22.

Нехай об’єм кулі S = 36π см².

Якщо площина проходить через центр кулі, то вона ділить кулю на дві рівні півкулі.

Площа поверхні кожної з утворених частин складається з площі поверхні півкулі і січної площини, яка проходить через діаметр кулі.

S = 4 πR ²; 36π = 4 πR²;

Площа січної площини S₁ = π × R² = 9π (см²).

Площа півкулі

Відповідь: 26π см².

23.

Нехай ∠ASO = α, АО = R, SO₁ = r.

З ΔSAO: SO= АО × ctg∠ASO = R × ctg α. ОО₁ = SO - SO₁ = R ctg α - r.

З ΔΑΟ₁Ο: AO₁² = ОО₁² + AO; r² = (R ctg α - r)² + R²;

r² = R² ctg²α - 2Rrctg α + r² + R²; 2Rr ctg α = R² ctg²α + R²; 2Rr ctg α = R²(ctg ² α + 1).