Розв’язання вправ та завдань до підручника «ГЕОМЕТРІЯ» Г. В. Апостолової 11 клас - 2011 рік

Завдання 21

1.

Об’єм Піраміди Хеопса V дорівнює:

2.

Знайдемо відношення довжин висоти і сторони основи на прикладі піраміди Хеопса.

Площа основи піраміди — квадрат з площею 5,3 га. Отже, сторона основи дорівнює приблизно 230,22 м.

Відношення стoрони основи до висоти: що приблизно дорівнює

співвідношенню золотого перерізу.

З.

Нехай висота n-кутної піраміди Н - 10 м.

1. Об’єм правильної трикутної піраміди:

2. Об’єм правильної чотирикутної піраміди:

3. Об’єм правильної шестикутної піраміди:

Відповідь: 1) 2) 3)

4.

Нехай SABC — дана піраміда, SO — висота, SO = Н,

BD ┴ АС, BD = h, BE — медіана, АЕ = ЕС.

Відпoвідь: 1 : 1.

5.

Нехай АВСА₁В₁С₁ — дана призма, АВ = ВС = АС = а, ВВ = H.

Об’єм V призми:

Об’єм V₂піраміди:

Об’єм V₃частини призми без піраміди:

Відповідь: 1 : 5.

6.

ГМТ вершин рівновеликих пірамід із спільною основою є площина паралельна основі.

Відповідь: площина паралельна основі.

7.

Нехай SABCDEF — дана піраміда, SO ┴ (ABCDEF), SO = 1 м.

SL — апофема, ∠LSO = 30°.

З ΔSOL:

Нехай в ΔOLE ОЕ = 2х, EL = х, тоді:

8.

1)

Нехай SABC — задана піраміда, АВ = ВС = СА = а.

Проведемо AD ┴ ВС, за теоремою про три перпендикуляри

отримаємо SD ┴ AD, отже, ∠SDA = 45°.

OD — радіус вписаного кола в ΔABC,

∠SOD — прямокутний, ∠SDA = 45°, отже, ∠OSD = 45°,

Об’єм піраміди V дорівнює:

2)

Нехай SABCD — задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA = а.

Проведемо OK ┴ CD, тоді SK ┴ CD (за теоремою про три перпендикуляри),

отже, ∠SKO = 45°.

3 ΔSOK: оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45^°.

Об’єм піраміди V дорівнює:

3)

Нехай SABCDEF — задана піраміда, АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = a.

Проведемо OK ┴ DE, тоді SK ┴ DE (за теоремою про три перпендикуляри).

З ΔОКЕ:

В ΔSOK SO = OK, оскільки ∠OSK = ∠SKO = 45°,

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь: 1) 2) 3)

9.

Нехай SABC — правильний тетраедр. АВ = ВС = АС = SA = SB = SC = а.

Площа основи ВМ — медіана, бісектриса і висота,

Нехай SO — висота, тоді

З ΔSOB:

Отже, шуканий об’єм:

Відповідь:

10.

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда.

АВ = ВС = CD = DA = SA = SB = SC = SD = a.

3 ΔACD:

3 ΔSOD:

Отже, шуканий об’єм:

Відповідь:

11.

Нехай SABC — правильна трикутна піраміда. SA = SB = SC = l, SO ┴ (ABC).

1)

∠CΒΟ = β. 3 ΔSOB: SO =SB × sin∠SBO=l × sinβ; OB = SB × cos∠SBO= l × cosβ;

OB — радіус описаного кола.

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

2) Проведемо ВК ┴ АС, тоді SK ┴ АС (за теоремою про три перпендикуляри),

∠SKO = а. Позначимо АВ = ВС = АС = а, тоді КО — радіус вписаного кола в ΔABC,

З ΔSKO:

3 ΔSKC: SC² - KC² = SK²;

l²× 12 cos² α = a²(3cos² α + 1);

3)

Нехай SABC — задана піраміда, AB = BC = СА, SA = SB = SC = І,

∠ASC = ∠CSB = ZASB = γ. Проведемо SD ┴ AC. Оскільки трикутник SAC

рівнoбедрений, то SD буде і бісектрисою.

З ΔASD: тоді

Оскільки в основі лежить правильний трикутник, то АО — радіус описаного кола.

З прямокутного ΔSOA:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

4)

Нехай DABC — правильна трикутна піраміда, DО — висота, F — середина АС.

Проведемо СЕ ┴ DB, АЕ ┴ DB, ∠AEC = δ.

Позначимо сторону трикутника ABC через а.

Нехай ∠ZDBC = ∠ZDCF = х. Знайдемо кут х.

З прямокутного трикутника ЕВС: EC = СВ × sin∠EBC = а × sin х.

З прямокутного ΔEFC:

Отже,

З ΔDFC: DF = l × sin∠DCF = l × sin х; FC = l × cos х. Звідси а = 2l cos х.

Тоді

Знайдемо DO:

Отже, шуканий об’єм

Відповідь: 1) 2) 3) 4)

12.

1.1)

Нехай SABCD — задана піраміда, AS = ВС = CD = DA; SA = SB = SC = SD = l,

∠SCA = β.`

3 ΔSOC: OC = SC × cos ∠SCA = l cos β; AC = 2l cos β; SO = SC × sin∠SCA = l sin β.

З ΔABC: AC² = AB² + BC²; 4l cos² β = 2AB²; AB² = 2l² cos²β;

Отже,

1.2)

Нехай SABCD — задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD = l.

Проведемо OK ┴ DC, тоді за теоремою про три перпендикуляри SK ┴ DC,

отже, ∠SKO = α. Нехай сторона квадрата дорівнює а, тоді

З ΔSDK:

1.3)

Нехай SABCD — задана піраміда, АВ = ВС = CD = DA, SA = SB = SC = SD =l,

∠ASB = ∠BSC = ∠CSD = ∠DSA = γ.

Проведемо SK ┴ DC. Трикутник SDC — рівнобедрений,

отже, SK — також є і бісектрисою,

З ΔSKD: АО — радіус описаного кола,

З прямокутного ΔSAO:

Отже,

1.4)

Нехай SO — висота піраміди. ∠BED = δ, Позначимо ∠SCO = х, DC = а.

З ΔOED:

З ΔOЕС: отже,

З ΔSOC: ОС = SC × cos x,

Відповідь: 1.1) 1.2) 1.3)1.4)

12.2.

1)

Нехай SABCDEF — правильна шестикутна піраміда,

SA = SB = SC =SD = SE = SF = l, ∠SAO = ∠SBO = ∠SCO = ∠SDO = ∠SEO = ∠SFO = β.

3 ΔSFO: SO = SF × sin ∠SFO = l × sin β; OF = SE × cos ∠SFO = l × cos β.

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

2) Рисунок з попереднього пункту.

Проведемо OK ┴ DE, тоді SK ┴ DE за теоремою про три перпендикуляри. ∠SKO = α.

Нехай ЕК = а, тоді ОЕ <= 2а.

З ΔΟΚΕ:

З ΔSOK:

З ΔSKE: SE² = SK² + ЕК²:

l² cos² α = 3а² + a² cos²α; l² cos²α = а²(3 + cos²α);

Отже, об’єм піраміди V:

3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠ESD = γ, тоді

(оскільки SK є і медіаною і бісектрисою).

З ΔSKE:

З ΔЕОК:

З ΔSOK:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

4) Нехай SABCDEF — правильна шестикутна піраміда з ребром l.

Проведемо СК ┴ SD, ЕК ┴ SD, тоді ∠CKE = 5.

З ×CDE за теоремою косинусів маємо:

З ΔΚΝΕ:

Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β,

тоді ∠SDN = β.

З ΔKDN:

З ΔSОD.

sin²β + cos²β = 1;

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь: 1) 2) 3)

4)

12.3.

1)

На рисунку зображена частина n-кутної піраміди, ∠SBO = β, SB = l.

З ΔSBO: SO = I sin β; BO = І cos β.

Знайдемо площу основи: S_oсн = n · S_ABCD;

З ΔNOC:

Тоді

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

2) Рисунок з пункту 1.

Проведемо ON ┴ ВС, тоді за теоремою про три перпендикуляри SN ┴ ВС, ∠SNO = α.

З ΔSNO: SO = NO × tg а.

З ASCO: SO² = SC²- CO²;

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

3) Рисунок з пункту 1. Нехай ∠BSC = γ, тоді

З ΔBSN:

З ΔBON:

З ΔSON:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

4) На рисунку зображено частина n-кутної піраміди, ∠AKC = 5 — двогранний кут при бічному ребрі.

Знайдемо об’єм піраміди V.

З ΔBAC за теоремою косинусів маємо:

3 ΔBMC:

Позначимо кут нахилу бічного ребра до площини основи через β, тоді ∠SBM = β.

З ΔСКМ:

З ΔКМВ:

З ΔSBO:

З ΔΒΟΝ:

Отже,

Відповідь·. 1) 2)

3) 4)

13.

Нехай SABC — задана піраміда. ВС = 4 м, АС = 3 м, ∠SBO = 30°.

З ΔABC за теоремою косинусів: АВ² = ВС² + АС² - 2ВС × АС × cos∠BCA;

3 = 4 + 9 — × 3 × 2 × cos α; 12 cos α = 10; cos² α + sin² α = 1;

З ΔABC за теоремою синусів:

3 ΔSOB:

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

Відповідь: 0,5 м³.

14.

Нехай SABCD — задана піраміда, АВ = ВС = CD = AD, ∠BAD = 60°.

Проведемо SK ┴ DC, тоді OA ┴ DC (за теоремою про три перпендикуляри).

Отже, ∠SKO = 60°, ОК — радіус вписаного у ромб кола.

З ASOK:

Проведемо BL ┴ AD. BL = 2R.

З ΔABL:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь: 8 см³.

15.

Нехай SABC — задана піраміда, АВ = ВС; АС = 6 см, ВК = 9 см,

SA = SB = SC = 13 см, О — центр описаного кола, ОВ = R.

ОК = ВК - OB = ВК - R = 9 - R.

З ΔАОК: АО² = АК² + ОК²; R² = 9 + (9 - R)²; R² = 9 + 81 — 18R + R²; 18R = 90;

R = 5; ОВ = 5 (см).

З ΔSOB:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь: 108 см³.

16.

Нехай SABC — задана піраміда, SA = SB = SC, SO ┴ (ABC), SO = 3 см.

Проведемо SD ┴ AC, тоді OD ┴ AC (за теоремою про три перпендикуляри).

Отже, ∠SDO = 30°.

Проведемо SF ┴ ВС, тоді OF ┴ СВ (за теоремою про три перпендикуляри),

отже ∠ SFO = 60°.

З ΔSDO:

З ΔSOF:

ODCF — прямокутник,

З Δ О DC:

З ΔSOC:

Оскільки всі ребра рівні, то

З ΔASD:

3 Δ SFВ:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь: 18 см³.

17.

Нехай SABC — задана піраміда, АС = а, ВС = b, ∠ ACB = 90°, ∠ SCO = φ,

SO ┴ (ABC). З ΔАВС:

Точка О — середина гіпотенузи AO = ОВ. Отже, ОС — медіана ΔABC.

З ΔSOC:

Звідси об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

18.

Нехай в піраміді SABC бічні ребра SA = a, SB = b, SC = с.

Приймемо за основу піраміди одну з бічних граней, наприклад, SAB.

Тоді основою такої піраміди буде прямокутний трикутник SAB,

а висотою — ребро SC.

Об’єм V такої піраміди буде дорівнювати:

Відповідь:

19.

Нехай DABC — заданий тетраедр. АА₁ = 2 см, BB₁ = 3 см, СС₁ = 4 см,

DA = DB = DC = а, A₁D = а - 2; В₁D = а - 3; С₁D = а - 4.

V₁ =A₁D × В₁D × С₁D = (а - 2)(а - 3)(а - 4); V₂ = AD × CD × BD = a × a × a = a³.

V = V₂— V₁ = a³ — (a - 2)(a - 3)(a - 4):

8((a - 2)(a - 3)(a - 4)) = a³ - (a - 2)(a - 3)(a - 4);

8(a³ - 9a² + 26a - 24) = a³ - (a³ - 9a2 + 26a -24);

8a³ - 81a² + 234a - 216 = 0; a = 6.

Відповідь: 6 см.

20.

Нехай SABC — задана піраміда, AB = a; BC = b; AC = c; SA = SB = SC = l.

AO — радіус описаного кола, S — площа ΔABC.

3 ΔSAO:

де

Відповідь: де

21.

Нехай SABCD — задана чотирикутна піраміда, АВ = BC = CD = DA = a,

О — центр вписаної кулі. В точках О₁ і L куля дотикається до основи

і бічної грані відповідно, OO₁ ┴ Ο₁K, OL ┴ SK, OL = ОО₁ = R. S_SDC = S_ABCD;

S_ABCD = AB × AD = а².

За умовою 2а² = а × SK; SK = 2а.

З ΔSO₁K:

ΔSO₁K - ΔSLO. З подібності трикутників маємо:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

22.

Нехай SABCD — задана піраміда, SO ┴ (ABC), AB = BC = CD = DA.

О₁— центр описаної кулі. Проведемо OK ┴ CD, тоді за теоремою

про три перпендикуляри. SK ┴ CD, ∠SKO = α, SO₁ = R, О₁В = R.

Нехай сторона основи дорівнює a.

З ΔSOK:

З ΔABD:

З ΔBO₁O:

4 aR tg α=a² tg²α + 2α²; 4R tg α = a(tg²α + 2);

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

23.

Нехай SABC — задана піраміда, АС = AB; ∠CAB = β; O₁L - ОО₁ = r.

Проведемо SK ┴ СВ, тоді АК ┴ СВ (за теоремою про три перпендикуляри).

ΔO₁LK = ΔO₁OK (O₁L = ΟΟ₁. Ο₁Κ — спільна гіпотенуза).

З ΔO₁OК:

З ΔSOK:

Нехай СВ = а,

З ΔACK:

Для знаходження радіуса вписаного кола в ΔABC скористаємося формулою:

де

Відповідь:

24.

Нехай SABC — задана піраміда, АВ = ВС, ∠ABC = ∠АСВ = α; ∠SAO₁ = β;

AO = OS = R. ∠ASO₁ = 90° - β; ∠SAO = 90° - β; ∠AOO₁ = 2(90° - β) = 180° - 2β.

З ΔΑΟΟ₁: АО₁ = ΑΟ × sin∠ΑΟΟ₁ = R × sin(180° - 2β) = R sin 2β;

ΟΟ₁ = AO × cos∠AOO₁ = R × cos(180° - 2β) = -R cos 2β.

3 ΔΑBC: ΑΒ = 2R sin 2β × sin а.

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

25.

Об’єм зрізаної піраміди у дорівнює:

де h — висота зрізаної піраміди, S₁, S₂ — площі основ.

Відповідь·.

26.

Об’єм зрізаної піраміди дорівнює:

де h висота зрізаної піраміди, S₁, S₂ — площі основ.

21 = 3(4 + а² + 2а); 7 = 4 + а² + 2а; а² + 2а - 3 = 0; а ₁ = -3; а₂ = 1.

а₃ = -3 — не задовольняє умові, отже, сторона верхньої основи a₂ = 1.

Відповідь: 1.

27.

Нехай ABCA₁B₁C₁ — зрізана піраміда, AB = BC = СА= a, А₁B₁ =В₁С₁ = C₁A₁= 0,5а. Бічна грань зрізаної трикутної піраміди рівнобока трапеція. Проведемо A₁L ┴ АС, тоді

З ΔA₁LA:

O₁ і О — центри описаних кіл навколо трикутників А₁B₁C₁ i ABC.

Знайдемо радіуси описаних кіл.

З ΔΒ₁ΒΚ:

Відповідь:

28.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна зрізана піраміда, АС = 8 см, А₁С₁ = 5 см,

∠A₁AC = 45°, АВ = ВС = CD = AD = а; А₁В₁ = В₁C₁ = C₁D₁ = D₁A₁ = a₁.

АК² = AD² + CD²; 64 = 2a²; a² = 32; S₂ = a₂ = 32.

Розглянемо діагональний переріз піраміди — AA₁C₁C.

AA₁C₁C — рівнобока трапеція.

З Δ A₁KA:

Отже,

Відповідь: 32,25 см³.

29.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— правильна зрізана чотирикутна піраміда.

АВ = ВС = CD = DA = 14 см, А₁В₁ = B₁C₁ = C₁D₁ = 10 см, A₁C = 18 см,

S₁ = АВ × ВС = 196 см³; S₂ = A₁B₁ × B₁C₁ = 100 см ².

3 ΔA₁C₁D₁:

3 ΔACD:

Розглянемо діагональний переріз піраміди — AA₁C₁C. AA₁C₁C — рівнобока трапеція. Проведемо A₁K ┴ АС.

3 ΔΑ₁KC:

Отже, об’єм зрізаної піраміди:

Відповідь: 872 см³.

30.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна зрізана чотирикутна піраміда.

∠A₁AK = 60°.

Проведемо Α₁Κ ┴ AD.

3 ΔA₁AK:

Проведемо A₁L ┴ AC.

3 ΔΑ₁C₁D₁:

3 ΔACD:

3 ΔA₁LA:

Відповідь: 42 см ³.

31.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁— правильну зрізана чотирикутна піраміда,

S_ABCD — правильна чотирикутна піраміда.

S_ABCD = 4 см², S_A1B1C1D1 = 1 см, V _{зріз.піраміди} = 21 см³, O₁O = h, SO₁ = h₁.

(A₁B₁C₁D₁) ‖ (ABCD); h₁ = 9.

Отже, висота піраміди SO = SO₁ + ОО₁ = 9 + 9 = 18 (см).

Відповідь: 24 см³.

32.

Нехай SABCDEF — правильна шестикутна піраміда,

SO — висота, SO = Η, AB = BC = CD = DE = EF = FA = a.

Нехай S₁ — площа ABCDEF. Проведемо площину A₁B₁C₁D₁E₁F₁‖ ABCDEF. Отримаємо піраміду SA₁B₁C₁D₁E₁F_1. Нехай S₂ — площа a₁B₁C₁D₁E₁F_1.

3QH²= S₁H³ - S₁h³; S₁h³ = S₁H³ - 3QH²;

Відповідь:

33.

Нехай V₁— об’єм першої піраміди, V₂— об’єм другої піраміди,

ребро першої піраміди 7х, ребро другої піраміди 5х.

V₁ - V₂ = q, V₂ = V₁ - q.

Об’єми подібних многогранників відносяться як кути їхніх

відповідних лінійних розмірів.

125V₁ = 343V₁ - 343q; 218V₁ = 343g;

Відповідь:

34.

Нехай V₁ — об’єм першої піраміди, V₂ об’єм другої піраміди,

mх — ребро першої піраміди, nх — ребро другої піраміди.

V₁ + V₂ = V; V₂= V - V₁.

Об’єми подібних многогранників відносяться як куби їхніх

відповідних лінійних розмірів.

V₁n³ = Vm³ - V₁m³; V₁ (n³ + m³) = Vm³;

Відповідь:

35.

Нехай АВСА₁B₁С₁ — зрізана піраміда, ∠A₁С₁B₁ = 90°, А₁В₁ = n,

∠ACB = 90°, АВ = m.

З ΔA₁B₁C₁:

З ΔABC: АС² + СВ² = AB²; 2АС² = m²;

CD — медіана ΔАВС, С₁D₁ — медіана Δ A₁B₁C₁.

З ΔD₁KD:

Отже, об’єм V зрізаної піраміди:

Відповідь:

36.

Нехай V₁ — об’єм піраміди SABC, V₂ — об’єм піраміди SA₁B₁C_1,

h — висота піраміди SA₁B₁C_1.

V ₁ — V₂ = V₂ - m: V ₁ = V₂m + V₂ = V₂(m + 1).

Відповідь:

39.

Нехай ОА — радіус основи конуса, ОА = 15 см, SA = 25 см.

З ΔSAO:

Об’єм конуса:

Відповідь: 1500 см³.

40.

1)

2)

3)

Відповідь: 1) 2,25π см³; 2) 9 см; 3)

41.

Нехай діаметр основи — d, радіус основи r = 5 см.

H = d = 2 × 5 = 10 см.

Відповідь:

42.

Нехай радіус основи конуса — г, твірна — l, тоді

S_повн. = πr (r + l); πr (r + l) = 45π; r(r +l) = 45.

Довжина кола основи конуса дорівнює С = 2πr, що за умовою

дорівнює довжині дуги сектора розгортки бічної поверхні конуса,

обмеженої дугою 60°.

6 πr = πl; l = 6г; г(г + 6г) = 4; 7r² = 45;

Знайдемо висоту конуса SO з ΔSAO:

Відповідь:

43.

Нехай AO = r — радіус конуса, SA = l — твірна,

Довжина кола основи конуса С = 2πr.

З другого боку

З ΔSOA:

Відповідь: 3 cм³.

44.

Нехай АО = г — радіус основи конуса, SA = l — твірна конуса,

Довжина кола основи конуса дорівнює:

що за умовою задачі дорівнює довжині дуги сектора розгортки

бічної поверхні конуса, обмеженої дугою, міра якої 90°.

3 ΔSAO:

Відповідь: 5 см³.

45.

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано конус,

АВ = ВС = CD = DA = a, OK — радіус основи піраміди,

SO = H.

Об’єм піраміди V дорівнює:

Об’єм конуса V, дорівнює:

Відповідь: 72.

46.

Нехай ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна чотирикутна призма,

АВ = ВС = CD = НА = а, OK — радіус основи конуса, вписаного в призму.

SO — висота конуса, SO = АА₁ = H.

204π = πa² × Н; а² × Н = 204. V_призма = а² × H = 204 (см³).

Відповідь: 204 см³.

47.

Нехай ОА = 27 см, O₁A₁= 18 см, А₁А = 21 см.

Переріз конуса площиною, яка проходить через діаметри основ —

рівнобока трапеція AA₁B₁B. Проведемо АК ┴ АВ.

АК = АО - А₁O₁ = 27-18 = 9 (см).

З ΔΑ₁KΑ:

Об’єм V зрізаної піраміди дорівнює:

Відповідь:

48.

Нехай AB = ВС,

При обертанні рівнобедреного трикутника навколо основи

утворюються два рівновеликі конуси з радіусом основи ОВ

і висотою АО,

Об’єм конуса

Об’єм утвореної фігури V₁ = 2V = 2 × 147 = 294 (см³)

Відповідь: 294 см³.

49.

Нехай в ΔABC: ∠B = 90°, ∠CAB = 30°.

З ΔАОВ:

Відповідь:

50.

Нехай в ΔАВС АВ = ВС = СА = а. Проведемо СК ┴ AB, тоді

Отже, об’єм утвореної фігури V дорівнює:

Відповідь:

51.

Нехай ABCDEF — правильний шестикутник.

АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = а.

Об’єм утвореної фігури складається з об’єму циліндра,

двох об’ємів зрізаного конуса без двох об’ємів конуса.

AD — найбільша діагональ шестикутника, AD = 2а.

З ΔAFD:

V_{циліндра} = π × FD² × AF = π × 3a² × a = 3πa³.

Знайдемо об’єм зрізаного конуса:

Знайдемо об’єм конуса:

Отже, об’єм утвореної фігури:

Відповідь:

52.

Нехай SABC — задана правильна трикутна піраміда, АВ = ВС = СА = а.

О — центр кола — основи конуса, ОК — радіус вписаного кола, SO ┴ (ABC),

З ΔSOK:

За умовою S_бічна = 5S_осн.

9H² = 18а²;

Отже,

Відповідь:

53.

Розглянемо переріз конуса площиною, яка проходить через центр кулі.

KLBA — рівнобока трапеція.

З ΔKAD:

Площина ділить піраміду у відношенні 1:1, отже,

Відповідь:

54.

Нехай О — центр кулі, вписаної в зрізаний конус, ОМ = OF = r, ∠DAM = г.

На рисунку зображено осьовий переріз. ΔAFO = ΔАМО, оскільки FO = МО,

АО — спільна гіпотенуза. Отже,

З ΔАОМ:

З ΔDON, де маємо:

Отже, об’єм зрізаного конуса дорівнює:

Відповідь:

55.

На рисунку зображено осьовий переріз конуса, в який вписано циліндр.

SD = l, ∠SDC = α, DE ‖ SD, AF ‖ SC.

З ΔSDO: DO = SD × cos ∠SDC = І × cos α; SO = SD × sin ∠SDC = l × sin α.

Нехай AO₁ = r, AB = 2r, DE = 2r, оскільки ABED — паралелограм

(AB ‖ DE, AD ‖ BE). DO = DE + EO = 2r + r = 3r; 3r = l × cos α;

3 ΔADE:

Отже, об’єм циліндра V дорівнює:

Об’єм конуcа V дорівнює:

Об’єм V конуса, в основі якого лежить коло з центром у точці O:

Об’єм V₃частини простору, обмеженої січними поверхнями конуса,

циліндра та їх спільною площиною дорівнює:

Відповідь: