Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Функції та графіки
Властивості функцій

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції.

Функція називається спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції.

Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, її називають зростаючою (спадною).

Приклади

1. Лінійна функція .

При функція зростаюча (рисунок зліва), при — спадна (рисунок справа).

Щоб краще це зрозуміти, візьміть і простежте, які значення у відповідають і .

2. Функція .

При функція зростаюча (див. рисунок).

При функція спадна.

3. Обернена пропорційність .

Якщо , функція спадна при і при (рисунок 1); якщо — функція зростаюча при і при (рисунок 2).

Зверніть увагу, що не можна говорити про ці функції, що вони зростають або спадають на всій області визначення.

Дійсно, розглянемо функцію .

Нехай , ;

; ;

Отже, , а , хоча за означенням спадної функції повинна виконуватись умова .

Функція називається парною, якщо:

1)  область її визначення симетрична відносно 0, тобто ;

2)  .

Протилежним значенням аргументу відповідає одне й те саме значення функції.

Графік парної функції є симетричним відносно осі y.

Приклади парних функцій

1. ;

    1) — симетрична відносно 0.

    2) . Функція парна.

2. ;

    1) — симетрична відносно 0.

    2) .

     Функція парна.

Функція називається непарною, якщо:

1)  область її визначення симетрична відносно 0;

2)  .

Протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції.

Графік непарної функції є симетричним відносно початку координат.

Приклади непарних функцій

1. ;

  1) — симетрична відносно 0.

  2) . Функція непарна.

2. .

Щоб знайти , розв’яжемо рівняння

.

; ; ; .

Отже, в входять усі дійсні числа, крім чисел 0; 2; –2.

— симетрична відносно 0.

. Фун­кція непарна.

Зверніть увагу: функція може бути ні парною, ні непарною.