Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Функції
Приклади функцій і їх графіків

Лінійна функція

Лінійною називається функція, яку можна задати формулою , де х — аргумент, а k і b — дані числа.

Графік лінійної функції — пряма. k називається кутовим коефіцієнтом прямої, яка є графіком лінійної функції. Кожна пряма на координатній площині, яка не є перпендикулярною до осі абсцис,— графік деякої лінійної функції.

Через дві точки можна провести одну й тільки одну пряму, тому для побудови графіка лінійної функції досить знати координати двох його точок (дуже добре, якщо це будуть точки перетину графіка з осями). Точка перетину графіка з віссю абсцис має ординату 0, а точка перетину графіка з віссю ординат має абсцису 0.

Приклад

Побудуйте графік функції .

, ; , , , .

Побудуємо графік (див. рисунок).

Якщо в лінійній функції , то графік функції перетинає вісь абсцис;

якщо , , то графік функції — пряма, паралельна осі абсцис;

якщо , , графік функції збігається з віссю абсцис.

Графіки двох лінійних функцій перетинаються, якщо їх кутові коефіцієнти різні, і паралельні, якщо їх кутові коефіцієнти ­однакові.

Можна знайти координати точки перетину прямих, не виконуючи побудови графіків функцій. Так, якщо прямі задані рівняннями і , то досить розв’язати систему рівнянь:

Лінійну функцію, що задається формулою , де , називають прямою пропор­ційністю.

Графік прямої пропорційності — пряма, що проходить через початок координат. Якщо , графік лежить у I і III координатних чвертях, а якщо — то у II і IV координатних чвертях.

Приклади

1)  , , .

2)  , , .

Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і (див. рисунок).

Обернена пропорційність

Функцію, задану формулою , де х — незалежна змінна, — дане число, називають оберненою пропорційністю.

Область визначення функції — множина всіх чисел, крім 0.

Графік функції — гіпербола, симетрична відносно початку координат. Коли , вітки такої гіперболи розміщені в I і III координатних кутах, коли — у II і IV.

Як приклад побудуємо графік функції . Заповнимо таблицю (значення x зада­ємо, y — обчислюємо за формулою :

Нанесемо отримані точки на координатну площину. Сполучивши ці точки плавною лінією, отримаємо графік (див. рисунок):

Зверніть увагу на поводження графіка поблизу осей координат. Графік до них нескінченно наближається, але не перетинає. Дійсно, не входить до області визначення, отже точки перетину з віссю Oy немає. ні при якому значенні х, значить, якщо , точки перетину з віссю Ox немає.

Функція

Заповнимо таблицю (значення x задаємо, y — обчислюємо за формулою y = x2).

Нанесемо знайдені точки на координатну площину. Сполучивши ці точки, отримаємо графік функції (див. рисунок нижче).

Область визначення цієї функції — множина всіх дійсних чисел.

. Графік проходить через початок координат .

при всіх значеннях х. Усі точки графіка розташовані не нижче осі Оx.

Протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції, тобто графік симетричний відносно осі ординат.

Функція

Область визначення — множина всіх невід’ємних дійсних чисел.

Графік — одна вітка параболи, яка роз­ташована в I координатному куті (див. рисунок).