Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Інтеграл і його застосування
Інтеграл

Нехай — неперервна функція, невід’ємна на відрізку . Розіб’ємо відрізок на n рівних частин точками ,

де .

Утворимо добутки , і так далі й знайдемо їх суму

.

Знайдемо .

Ця границя називається інтегралом функції від a до b.

Позначення: , де a — нижня межа інтегрування, b — верхня межа; функція — підінтегральна функція, вираз — підінтегральний вираз, x — змінна інтегрування.

Отже, .

Криволінійна трапеція — це фігура, обмежена графіком неперервної і невід’ємної на відрізку функції , відрізком і прямими і .

Площа такої криволінійної трапеції дорівнює .

Формула Ньютона — Лейбніца

, де — функція, неперервна на відрізку , а — довільна первісна для на . Цю формулу можна записати у вигляді .

Властивості інтеграла

1. .

2. , де k Є R.

3. , де .

4. , де p Є R, k Є R.

Обчислення площ плоских фігур за допомогою інтеграла

Нехай є яка-небудь фігура, обмежена графіком функцій і . Якщо обидві функції і неперервні на відрізку , причому , , а для всіх , , то площа такої фігури дорівнюватиме .