Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Модуль і його властивості

Модуль числа — це відстань від 0 до точки, що відповідає цьому числу на координатній прямій, виміряна в одиничних відрізках.

Отже, для всіх значень a.

Властивості модуля

1. .

2. Якщо , то .

3. Якщо , то

4. Модуль суми скінченного числа дійсних чисел не перевищує суми модулів цих чисел:

.

5. Модуль різниці не менший за різницю модулів цих чисел:

.

6. Модуль добутку скінченного числа співмножників , ..., дорівнює добутку модулів цих співмножників:

.

7. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:

, якщо .

Приклади розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля

1)  

Відповідь: , .

2)

Треба враховувати, що модуль будь-якого числа є числом невід’ємним, отже, корені і 3 є сторонніми.

Відповідь: , .

3)  .

Відповідь: .

4)  

.

Відповідь: .

Складаючи першу сукупність, ми урахували, що модуль будь-якого числа є завжди число невід’ємне. Із цього випливає, що при тих значеннях x, коли права частина є числом недодатним, нерівність завжди виконується.

5)  Дуже корисним у розв’язуванні завдань з модулем є спосіб поділення координатної прямої на такі інтервали, що в них можна визначити знак підмодульного виразу й розкрити знак модуля.

.

Знайдемо, при яких значеннях х підмодульні вирази перетворюються на нуль:

;    ;

.   .

Отже, розіб’ємо числову пряму на три інтервали й будемо розв’язувати рівняння на кожному з них окремо (див. рисунок).

Щоб визначити, який знак має на певному інтервалі кожний із підмодульних виразів, досить підставити в нього замість х довільне число з цього інтервалу.

І. .

Візьмемо, наприклад, , тоді

,

.

Отже, маємо:

     На цьому інтервалі розв’язків не має. .

ІI. .

Беремо , ;

.

III..

Об’єднуємо розв’язки, отримані на всіх трьох інтервалах (I, II і III).

Відповідь: .