Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Степенева функція
Узагальнення поняття степеня

Основнi означення

1. Якщо n Є N, , то , де a — довільне число.

2. , де а — довільне число.

3. для . не має змісту.

4. , n Є N, .

5. , n Є N, m Є Z, .

Властивості степеня з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. Якщо , то для ; для .

7. Якщо , то для ; для .

Поняття степеня з ірраціональним показником

Нехай a — будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1, — будь-яке ірраціональне число.

Розглянемо три випадки.

1. , .

Наприклад, ; . Степінь означає таке число, яке більше від усякого степеня , але менше від усякого степеня , де — будь-яке раціональне наближення числа , взяте з недостачею, а — будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.

2. , .

Наприклад, . Тоді під степенем розуміють число, яке менше від будь-якого степеня , але більше від будь-якого степеня .

3. a — довільне число, крім 1, .

Наприклад, , . Тоді вважають .

Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.

Степенева функція

Функцію , де x — змінна, а p — стале дійсне число, називають степеневою функцією.

Властивості степеневої функції залежать від значення p.

1. p Є N. Тоді ; ;

Якщо p — непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p — парне, для всіх значень x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо, функція зростає.

2. p Є Z; . Тоді .

Графік складається з двох віток; .

Якщо p — непарне, то для всіх значень знак функції збігається зі знаком аргументу.

Функція непарна, спадна на кожному з проміжків і .

Якщо p — парне, для всіх x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо , функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:

Показникова функція

Функція , де і , називається показниковою (з основою а).

Властивості показникової функції

:

1. .   1. .

2. .   2. .

3. Функція не є ні парною, ні непарною.

4. Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.

5. Функція зростає   5. Функція спа на R.    дає на R.

6. Якщо , то .

7. Якщо , то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому (Тобто рівняння завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо , , .)

На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції при ; на рисунку 1 — при .

Рис. 1

Рис. 2