Алгебра - Великий довідник школяра - 2019

Степенева функція
Ірраціональні рівняння

Рівняння, в яких невідоме міститься під знаком кореня, називають ірраціональними. Розв’язуючи ірраціональні рівняння, намагаються привести їх до вигляду:

, або , а потім піднести обидві частини рівняння до n-го степеня. Але якщо піднести обидві частини рівняння до парного степеня, можуть з’явитися сторонні корені. Нариклад:

,  ОДЗ: ;

,

,

, .

; — правильно.

Але якщо , маємо ;

, тобто — сторонній корінь.

Доцільно розв’язувати ірраціональні рівняння одним із двох наведених способів.

І спосіб

Виконувати перетворення, не зважаючи на їх рівносильність. Усі одержані корені перевірити. Зверніть увагу: для перевірки корінь треба підставляти тільки в умову, коли рівняння ще не зазнало ніяких перетворень.

При цьому способі розв’язання доцільно записати, при яких значеннях невідомого обидві частини рівняння мають зміст. Іноді в процесі розв’язування отримують сторонні корені, які не задовольняють ОДЗ. Але перевірка коренів за умовами ОДЗ не є достатньою. У наведеному вище прикладі сторонній корінь 1 задовольняє ОДЗ .

II спосіб

Можна розв’язувати ірраціональні рівняння, використовуючи тільки рівносильні переходи. Зручно користуватися такими твердженнями:

1)  

2)  

Приклади

1)  

.

2)  

Розглянемо ще декілька прикладів розв’язування ірраціональних рівнянь.

1. Відокремлювання кореня

2. Ірраціональні рівняння, що зводяться до квадратних

Якщо рівняння містить вирази і , то можна використати, що для тих значень х, при яких .

Отже, введемо нову змінну . Дістанемо .

Приклад

, ОДЗ: .

Нехай , .

,

, не задовольняє умову .

,

; .

Відповідь: 253.

3. Заміна змінної.

Приклад

,

ОДЗ: .

Нехай , .

Тоді .

Отже, ,

,

,

, не задовольняє умову .

,

,

.

Відповідь: 0; –5.

4. Рівняння виду

Скористаємось тотожністю

.

Приклад

.

Піднесемо обидві частини рівняння до третього степеня:

.

Треба знайти такі значення х, для яких . Отже, маємо:

,

,

,

,

,

Цей спосіб розв’язання потребує перевірки.

Перевірка

.

;

— правильно.

.

;

— правильно.

Відповідь: 80; –109.