Геометрія - Великий довідник школяра - 2019

Декартові координати та вектори в просторі
Вектори в просторі

Усі основні означення векторів у просторі залишаються такими самими, як означення векторів на площині (див. розділ «Геометрія. 8 клас»).

Координатами вектора , де , , називають числа, , .

Вектори рівні тоді, й тільки тоді, коли вони мають відповідно рівні координати. Це дає підставу позначити вектор його координатами , або просто .

.

Дії над векторами в просторі позначають так само, як і на площині:

.

Діють і геометричні правила: правило трикутника, правило паралелограма, правило многокутника.

Так само доводиться, що , а напрям вектора збігається з напрямом , якщо , і протилежний напряму , якщо .

Зберігається поняття колінеарних векторів і його необхідна й достатня умова.

Скалярним добутком векторів і називається число .

Має місце теорема, за якою скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх абсолютних величин і косинуса кута між векторами:

.

Для того щоб два вектори були перпендикулярними, необхідно й достатньо, щоб їх скалярний добуток дорівнював нулю.

Кожний вектор у просторі можна єдиним способом розкласти за трьома координатними векторами , і (див. рисунок).