Геометрія - Великий довідник школяра - 2019

Основні властивості найпростіших геометричних фігур
Пряма й обернена теореми

Формулювання теореми складається з двох частин. В одній говориться про те, що дано. Ця частина називається умовою. У другій частині говориться про те, що треба довести. Ця частина називається висновком.

Приклади

1)  Якщо кути суміжні, то їх сума дорівнює 180°.

    

  Умова  Висновок

2)  У прямокутному трикутнику центр описаного кола — середина гіпотенузи.

Умова: трикутник є прямокутним.

    Висновок: центр описаного кола — сере­ди­на гіпотенузи.

3)  Дві прямі, паралельні третій, паралельні одна одній.

Дано (умова): прямі a, b, c; ;.

Довести (висновок): .

Якщо умови й висновок теореми поміняти місцями, отримаємо теорему, яка називається оберненою до даної («прямої») теореми. Такі дві теореми називають взаємооберненими. Кожну з них можна назвати прямою, тоді інша буде оберненою. Інколи із цих двох теорем правильною є тільки одна.

Приклад

Пряма теорема. Якщо кути вертикальні, то вони рівні. (Правильно.)

Обернена теорема. Якщо кути рівні, то вони вертикальні. (Неправильно.)

Бувають випадки, коли правильними є обидві теореми.

Приклад

Пряма теорема. Кути при основі рівнобед­реного трикутника рівні. (Пра­вильно.)

Обернена теорема. Якщо два кути трикутника рівні, то він рівнобедрений. (Правильно.)

У таких випадках використовують словосполучення «тоді й тільки тоді», «необхідно й достатньо».

Приклади

1)  Катет прямокутного трикутника тоді й тільки тоді дорівнює половині гіпотенузи, коли протилежний йому кут дорівнює . (Це твердження містить одночасно пряму й обернену теореми.)

2)  Для того щоб прямі були паралельними, необхідно й достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними.

Треба розуміти, що твердження «для того щоб прямі були паралельними, необхідно, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає властивість паралельних прямих.

Твердження «для того щоб прямі були паралельними, достатньо, щоб внутрішні різносторонні кути були рівними» означає ознаку паралельних прямих.





Перша публікація: 01/01/2019

Останнє оновлення: 31/12/2023

Редакційна та навчальна адаптація: Даний матеріал зведено на основі першоджерела/оригінального тексту. Команда проєкту здійснила редакційне оглядове опрацювання, виправлення технічних неточностей, структурування розділів та адаптацію змісту до навчального формату.

Що було опрацьовано:

  • усунення форматних дефектів (OCR-помилки, розриви структури, дефектні символи);
  • редакційне упорядкування змісту;
  • уніфікація термінів відповідно до академічних джерел;
  • перевірка відповідності фактичних тверджень тексту першоджерела.

Усі згадки про автора, рік видання та походження первинного тексту збережено відповідно до джерела.