КУРС ЗАГАЛЬНОЇ АСТРОНОМІЇ - С. М. АНДРІЄВСЬКИЙ 2007

Частина I

ОСНОВИ СФЕРИЧНОЇ ТА ПРАКТИЧНОЇ АСТРОНОМІЇ

Розділ 1

НЕБЕСНА СФЕРА. СИСТЕМИ НЕБЕСНИХ КООРДИНАТ

1.9. Елементи сферичної геометрії

Проведення астрономічних спостережень і подальший аналіз отриманих результатів дуже часто вимагають переходу від одної зі згаданих вище систем небесних координат до іншої. Усі потрібні для цього формули отримано шляхом розв'язування сферичних трикутників.

Сферичний трикутник — це фігура на сфері, утворена дугами трьох великих кіл (рис. 1.16). Тому в сферичній тригонометрії дуги АВ, ВС, АС вимірюють у градусах. Для виведення потрібних співвідношень до сторін АВ і АС у точці А проводимо дотичні до їх перетину з продовженням радіусів сфери ОВ і ОС у точках D і Е. Прийнявши радіус сфери за одиницю, отримуємо, що

Рис. 1.16. Сферичний трикутник

Нагадаємо, що, як і в плоскій тригонометрії, кути трикутника позначають літерами А, В, С, а протилежні їм сторони — a, b, c. Далі приймається, що сторони b і с трикутника АВС менші від 90°. Для визначення (і подальшого виключення) відрізка DE двічі (з розгляду трикутників ADE і DOE) використовують теорему про квадрат сторони, що лежить проти гострого кута. З урахуванням теореми Піфагора після нескладних перетворень отримуємо три співвідношення:

формулу косинуса сторони

формулу синусів

формулу п'яти елементів

За допомогою колової перестановки (заміни a → b, b → c, c → а і відповідно A → B, B → C, C → A) такі ж вирази отримуємо і для двох інших сторін та відповідних їм кутів.

Наведені тут формули істотно спрощуються, якщо один з кутів дорівнює 90°.