Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 1 Подільність натуральних чисел

§7. Найменше спільне кратне

Розглянемо задачу.

Задача. Яка найменша ціла кількість метрів тканини має бути в сувої, щоб її можна було всю розрізати без остачі по 4 м або по 6 м?

Розв’язання. Число метрів у сувої повинно ділитися і на 4, і на 6, тобто повинно бути кратним і числу 4, і числу 6.

Запишемо числа, кратні числу   …, і числа, кратні числу 

Спільними кратними (їх підкреслено) чисел 4 і 6 будуть числа 12, 24, 36, …, найменше з яких 12. Це число називають найменшим спільним кратним чисел 4 і 6. Отже, найменша кількість метрів тканини, що має бути у сувої, дорівнює 12 м. Тоді її можна розрізати по 4 м на 3 частини (12 : 4 = 3) або по 6 м на 2 частини (12 : 6 = 2).

- Найменшим спільним кратним кількох натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Найменше спільне кратне двох чисел а і b позначають НСК (а; b). Отже, можна записати НСК (4; 6) = 12.

У розглянутій задачі ми знайшли найменше спільне кратне невеликих чисел 4 і 6, виписавши поспіль кілька кратних цих чисел. Для великих чисел цей спосіб є громіздким, тому найменше спільне кратне знаходять інакше.

Приклад 1. Знайти НСК (30; 36).

Розв’язання. Розкладемо дані числа на прості множники 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 і 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3. Найменше спільне кратне має ділитися і на 30, і на 36. Тому воно повинно містити всі прості множники і першого, і другого чисел.

Розглянемо розклад одного із цих чисел, наприклад 30 =2 ∙ 3 ∙ 5, і з’ясуємо, яких простих множників другого числа в цьому розкладі немає. Такими множниками будуть 2 і 3. Справді, в розкладі 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 є один множник 2 і один множник 3, а в розкладі 36 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 два множники 2 і два множники 3. Отже, щоб знайти НСК (30; 36), треба розклад 30 = 2 ∙ 3 ∙ 5 доповнити множниками 2 і 3, яких не вистачає. Маємо:

- Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел, достатньо:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких не вистачає в розкладі першого;

3) обчислити добуток знайдених множників.

За цим самим правилом можна знайти найменше спільне кратне трьох і більше чисел. Тоді розклад одного із цих чисел на прості множники треба доповнити тими простими множниками інших чисел, яких не вистачає в його розкладі, та обчислити добуток знайдених множників.

Приклад 2. Знайти НСК (42; 66; 90).

Розв’язання. 42 = 2 ∙ 3 ∙ 7; 66 = 2 ∙ 3 ∙ 11; 90 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5.

Якщо одне з даних чисел ділиться на всі інші, то це число і є їх найменшим спільним кратним.

Приклад 3. Знайти НСК (6; 9; 36).

Розв’язання. Оскільки число 36 ділиться як на 6, так і на 9, то НСК (6; 9; 36) = 36.

Найменшим спільним кратним двох взаємно простих чисел буде добуток цих чисел.

Наприклад, НСК (5; 8) = 5 ∙ 8 = 40.

 Яке число називають найменшим спільним кратним чисел а і b? Як знайти найменше спільне кратне двох чисел? Число m ділиться на число п. Чому дорівнює НСК (m; n)?

120.  (Усно) Чи є:

1) число 56 спільним кратним чисел 2 і 7;

2) число 48 спільним кратним чисел 5 і 6?

121.  Назви кілька спільних кратних чисел:

1) 5 і 2;       2) 4 і 8; 3) 3 і 7.

122.  Знайди найменше спільне кратне чисел а і b, якщо:

1)     a = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11 і b = 2 ∙ 3 ∙ 7;

2)     a = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 і b = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5.

123.  Знайди найменше спільне кратне чисел m і n, якщо:

1)     m = 3 ∙ 5 ∙ 7 і n = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 13;

2)     m = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 11 і n = 3 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11.

124. Доведи, що дані числа є взаємно простими, та знайди їх найменше спільне кратне:

1) 7 і 9;                2) 8 і 39;           3) 25 і 42.

125.  Знайди найменше спільне кратне чисел:

1)     15 і  18;       2) 16 і 24;

3)     48 і  72;       4) 350 і 420;

5) 12, 18 і 36;      6) 280, 360 і 840.

126.  Знайди найменше спільне кратне чисел:

1)     12 і  10;       2) 16 і 21;

3)     110  і 160;   4) 540 і 306;

5) 15, 25 і 75;      6) 270, 324 і 540.

127.  Знайди найменше спільне кратне знаменників дробів:

128. Знайди найменше спільне кратне знаменників дробів:

129. Довжина кроку батька 75 см, довжина кроку сина 50 см. Яку найменшу однакову відстань вони мають пройти, щоб кількість кроків кожного довірнювала цілому числу?

130. Від пункту А вздовж дороги встановлено стовпи через кожні 40 м. Ці стовпи вирішили замінити іншими і встановили їх на відстані 55 м один від одного. Знайди відстань від пункту А до найближчого стовпа, який буде встановлено на місці старого.

131. Бабуся має трьох онуків. Сергій відвідує бабусю кожні 4 дні, Іван — кожні 5 днів, Петро — кожні 6 днів. Хлопці зустрілися у бабусі 1 січня невисокосного року. Якого числа вони зустрінуться у бабусі наступного разу?

132. Три теплоходи здійснюють регулярні рейси з Одеси. Один з них повертається через 10 діб, другий — через 12 діб, третій — через 18 діб. Теплоходи зустрілися в одеському порту в понеділок. Через скільки діб і в який день тижня вони зустрінуться в цьому порту знову?

133. Одну жінку запитали, скільки курчат вона привезла на базар. Вона відповіла, що їх більше ніж 115, але менше ніж 145 і при цьому їх можна розділити по 4, по 6 і по 10. Скільки курчат привезла жінка на базар?

134.  Розв’яжи рівняння:

1) (х - 37,15) ∙ 5,1 = 245,82;

2) (37,5 + х) : 1,2 = 43,5.

135.      Зустрілися шестеро друзів і потисли один одному руки. Скільки всього було здійснено рукостискань?

136. Можна довести, що для будь-яких натуральних чисел а і b виконується рівність

НСД (a; b) ∙ НСК (а; b) = а ∙ b.

Перевір виконання цієї рівності для таких пар чисел:

1) а = 18; b = 12; 2) а = 15; b = 17; 3) а = 9; b = 27.

Завдання для перевірки знань № 1 (§ 1 — § 7)

1. Чи правильно, що:

1) 4 є дільником числа 20;      2) 14 є кратним числу 3?

2. Які із чисел 135, 290, 72, 112, 75 діляться:

1) на 9; 2) на 5?

3. Знайди найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне чисел а і b, якщо: а = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 і b = 2 ∙ 3 ∙ 7.

4. Розклади на прості множники числа:

1) 36;     2) 150.

5. Знайди найбільший спільний дільник чисел 77 і 132.

6. Знайди найменше спільне кратне чисел 63 і 72.

7. Чи є числа 3234 і 3575 взаємно простими?

8. У числі 12 37* заміни зірочку цифрою так, щоб утворене число було кратним числу: 1) 2; 2) 3.

Знайди всі розв’язки.

9. Екскурсанти можуть розміститися в човнах по 12 або по 16 у кожному. В обох випадках вільних місць не залишиться. Скільки було екскурсантів, якщо їх більше ніж 53, але менше за 100?

Додаткові вправи

10. Знайди найбільше п’ятицифрове число, яке буде кратним числу 49.

11. Заміни зірочки цифрами так, щоб множення було виконано правильно:

1)     * * ∙ * = 483;

2)     * * ∙ * * = 385.