Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними

§43. Множення раціональних чисел

Розглянемо суму -5 + (-5) + (-5) + (-5). Ця сума дорівнює числу -20. З іншого боку, -5 + (-5) + (-5) + (-5) = (-5) ∙ 4. Від’ємний множник, що стоїть на першому місці, записувати в дужках не обов’язково; можна писати так: -5 ∙ 4. Отже, -5 ∙ 4 = -20. Числа -5 і 4 мають протилежні знаки, їх добуток є числом від’ємним, а модуль їх добутку (числа -20) дорівнює добутку модулів множників (чисел -5 і 4).

Справді, |-5| ∙ |4| = |-20|.

Маємо правило множення двох чисел з різними знаками:

- добутком двох чисел з різними знаками є число від’ємне, модуль якого дорівнює добутку модулів множників.

Приклад 1. -1,8 ∙ 0,3 =

Порівнюючи добутки 5 ∙ 4 = 20 і -5 ∙ 4 = -20, приходимо до висновку: при зміні знака одного з множників знак добутку змінюється, а його модуль залишається таким самим.

Якщо ж змінити знаки обох множників, то добуток змінить знак двічі і в результаті знак добутку не зміниться:

5 ∙ 4 = 20; -5 ∙ 4 = -20; -5 ∙ (-4) = - (-20) = 20.

Отже, добутком двох від’ємних чисел є число додатне. Маємо правило множення двох від’ємних чисел:

- добутком двох від’ємних чисел є число додатне, модуль якого дорівнює добутку модулів множників.

Приклад 2. 

Якщо число a — додатне, від’ємне або нуль, то a ∙ 0 = 0.

Отже,

- якщо хоча б один із множників дорівнює нулю, то й добуток дорівнює нулю. Навпаки: якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад 3. 

Приклад 4. Розв’язати рівняння (x + 7)(x - 6) = 0. Розв’язання. Оскільки добуток (x + 7)(x - 6) = 0, то х + 7 = 0 або x - 6 = 0. Тому маємо x = -7 або x = 6.

Відповідь. -7; 6.

А ще раніше…

У XVIII ст. видатний вчений, математик і механік Леонард Ейлер пояснив правило множення від’ємних чисел приблизно так. Зрозуміло, що -5 ∙ 4 = -20. Тому добуток -5 ∙ (-4) не може дорівнювати -20, але цей добуток якось повинен бути пов’язаний із числом 20. Залишається одна можливість: -5 ∙ (-4) = 20.

Сформулюй правило множення двох чисел з різними знаками. Сформулюй правило множення двох від’ємних чисел. Чому дорівнює добуток чисел, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю?

1157. (Усно) Який знак має добуток:

1) -2 ∙ 3; 2) 7  ∙ 8, 1; 3) -4 ∙ (-5); 4) 13 ∙ (-9,8)?

1158. (Усно) Знайди добуток:

1) 4 ∙ 6;           2) -5 ∙ 6;    3) -7 ∙ (-3);

4) 0 ∙ (-12);   5) 7 ∙ (-8);    6) -193 ∙ 0.

1159. Виконай множення:

1) 13 ∙ 19;   2) -13 ∙ 19; 3) -13 ∙ (-19);  4) 13 ∙ (-19).

1160. Знайди добуток:

1) 18 ∙ 35;   2) -18 ∙ 35; 3) -18 ∙ (-35);  4) 18 ∙ (-35).

1161. Знайди добуток:

1) 42 ∙ (-3);    2) -27 ∙ 13;

3) -5,7 ∙ (-2,4);     4) 8,05 ∙ (-4,2).

1162. Виконай множення:

1) 52 ∙ (-5);          2)     -37 ∙ 12;

3) -4,9 ∙ (-5,6);     4) 4,01 ∙ (-3,2).

1163. (Усно) Обчисли:

1164. Обчисли значення виразу -16у, якщо у = 2,5; -3,4; -2,5; 3,4.

1165. За даними таблиці знайди добуток:

1166. За даними таблиці знайди добуток:

1167. Обчисли:

1168. Обчисли:

1169. (Усно) Який знак має добуток xy, якщо:

1) x > 0, у < 0;     2) x < 0, у < 0; 3) x > 0, у > 0;

4) x < 0, у > 0;     5) x = 0, у > 0; 6) x < 0, у = 0?

1170. Не виконуючи множення, порівняй:

1) -4,5 ∙ 9 і 0;     2) -9,2 ∙ (-4,5) і 0; 3) 0 ∙ (-27) і 0;

4) 7,2 ∙ 5,2 і 0; 5) -25 ∙ 37 і 42;      6) -29 ∙ (-37) і -4.

1171. Який знак >, < або = треба поставити замість *, щоб отримати правильну нерівність або рівність:

1) -2,9 ∙ (-3,7) * 0;       2) 0 ∙ (-1,89) * 0;

3) 4,45 ∙ 5,32 * 0;       4) -5,9 ∙ 3,7 * 0;

5) -13 ∙ (-28) * -15;     6) -3,7 ∙ 5,2 * 5,7?

1172. Знайди значення добутку:

1173. Знайди добуток:

1174. (Усно) Обчисли:

1) 5,42 ∙ (-10);        2) -0,1 ∙ (-3,72);

3) -1,2 ∙ (-100);      4) 32,7 ∙ (-0,01).

1175. Знайди значення виразу:

1) (-2,1)2;   2) (-4)3;

 4) (-0,1)3;     5) (-1)2;     6) (-1)3.

1176. Обчисли:

1) x2, якщо 

2) у3, якщо у = -0,2; 

1177. Знайди значення виразу:

 2) 0,7 -у3, якщо у = -1; 0,2.

1178. Знайди значення виразу:

 2) n3 - 1,2, якщо n = - 3; -0,6.

1179. (Усно) Яким числом — додатним, від’ємним або нулем — є добуток трьох чисел, якщо:

1) два з них — додатні, а   одне — від’ємне;

2) два з них — від’ємні, а одне — додатне;

3) три з них — від’ємні;

4) два з них — від’ємні, а одне —  нуль?

1180. Порівняй:

1) -3,8 ∙ 4,5 і -17;          2) -3,8 ∙ (-2,6) і 10;

3) -3,6 ∙ 0,45 і -1,62.

1181. Знайди значення виразу:

1) -2 ∙ (-4,2 + 5,9); 2) (-0,42 - 0,15) ∙ 6,2;

3) (4,7 - 9,6) ∙ (-3,1)  -  4,09;

4) 4,02 ∙ (-3,5) - (-0,5) ∙ (-0,4).

1182. Знайди значення виразу:

1) -5 ∙ (4,7 - 4,9); 2) (-0,4 - 0,8) ∙ 1,5;

3) (2,7 - 2,9) ∙ (-4,5)  -  3,02;  4) -2,8 ∙ 5 -  4 ∙ (-0,7).

у 1183. Порівняй, не виконуючи обчислень:

1) (-2,4)2 і 0; 2) 0 і (-3,7)3; 3) (-4,7)4 і -3,2;

4)      1,2 і (-2,1)3; 5) (-57)2 і (-57)5; 6)  -3,12 і (-3,1)2.

1184. Порівняй, не виконуючи обчислень:

1) (-1,7)3 і 0; 2) 0 і (-1,8)2; 3) -4,9 і (-1,2)4;

4) (-1,8)3 і 2,9;      5) (-47)5 і (-47)2; 6)  (-2,9)3 і -2,93.

1185. Виконай дії:

1186. Виконай дії:

1187. Добери корінь рівняння:

1) -5 ∙ x = -35;      2) -7  x = 42; 3) 4 ∙ x = -3,6.

1188. Добери корінь рівняння:

1) x ∙ (-6) = 30;     2) -8 ∙ x = -40; 3) 5 ∙ x = -4,5.

1189. Розв’яжи рівняння:

 2) x(x - 3) = 0;

3) (х - 7)(x + 18) = 0;   4) |x - 1|(x + 2) = 0.

1190. Знайди корені рівняння:

1) -5(x - 8) = 0;             2) (x + 2)x = 0;

3) (x + 5)(x - 7) = 0;     4) (x - 8)|x + 3| = 0.

1191. Про числа x, у і z відомо, що ху > 0, xz < 0. Чи може добуток уz дорівнювати: 1) -7; 2) 0; 3) 7?

1192.   Якого найбільшого значення може набувати вираз 13 - (а + 6)2 і при якому значенні а це відбувається?

1193. З однієї станції у протилежних напрямах одночасно вирушили два потяги. Перший рухався зі швидкістю  км/год, а другий —  км/год. Знайди відстань між потягами через 2,5 год.

1194. При яких значеннях x дріб  дорівнює 2?

1195. З квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, вирізали круг найбільшої площі. Знайди площу цього круга і довжину його кола. На скільки площа квадрата більша за площу круга?

1196. Знайдіть третю від кінця цифру у добутку всіх натуральних чисел від 1 до 10.