Математика 6 клас - О.С. Істер

Розділ 3 Відношення і пропорції

§25. Ймовірність випадкової події

Ми часто говоримо: «це можливо», «це неможливо», «це малоймовірно», «це досить імовірно», «це обов’язково відбудеться», «цього ніколи не буде». Усі ці твердження найчастіше вживають, коли мова йде про можливість здійснення певних подій.

Про події «після 9 грудня настане 10 грудня» і «після нагрівання води до 100 °С вона кипітиме» можна сказати, що вони відбудуться закономірно. Події «при підкиданні грального кубика випаде 6 очок», «при підкиданні монети випаде герб», «у поштову скриньку прийде 2 листи» можуть відбутися, а можуть і не відбутися. Такі події називають випадковими.

- Випадкова подія — подія, яка за одних і тих самих умов може відбутися, а може не відбутися.

Приклад. У ящику знаходяться лише 5 білих і 5 чорних кульок. З нього навмання виймають одну кульку. Які з подій А, В, С, D при цьому можуть відбутися:

А - вийнято білу кульку; В - вийнято чорну кульку;

С - вийнято зелену кульку; D - вийнято кульку?

Оскільки з ящика можна вийняти лише те, що в ньому знаходиться, то вийняти білу або чорну кульку можна, а зелену - ні. Можна також стверджувати, що будь-який предмет, який навмання виймають з ящика, буде кулькою, бо там, крім кульок, нічого немає. Отже, у вище наведеному прикладі події А і В можуть відбутися, подія С не може відбутися, а подія D обов’язково відбудеться.

- Подію, яка за даних умов обов’язково відбудеться, називають вірогідною.

Подію, яка за даних умов не може відбутися, називають неможливою.

У розглянутому прикладі: подія D — вірогідна, а подія С — неможлива.

Якщо всі кульки в розглянутому прикладі однакові, то ймовірність вийняти будь-яку з них така сама, як і ймовірність вийняти іншу. Такі ситуації будемо розглядати й надалі.

Оскільки в ящику однакова кількість білих і чорних кульок, то маємо рівні шанси навмання витягнути білу або чорну кульку. Ніяких інших кульок у ящику немає, тому якщо витягувати кульки велику кількість разів, після кожного з яких повертати кульку в ящик, то можна сказати, що приблизно в половині випадків буде витягнуто білу кульку і в половині випадків — чорну.

Число 0,5 (половина) — це ймовірність випадкової події «вийнято білу кульку». Ймовірність події А позначають Р(А) або р(А) (перша буква французького слова probabilite, що перекладається як можливість, ймовірність). Отже, можна записати: Р(А) = 0,5 або р(А) = 0,5 (читають: «ймовірність події А дорівнює 0,5»). Якщо у задачі розглядають лише одну подію, то її ймовірність можна позначати Р або р.

Цю ймовірність можна одержати, якщо кількість білих кульок, тобто 5, поділити на кількість усіх кульок, тобто 10. Маємо  = 5 :10 = 0,5. Можна сформулювати означення ймовірності:

- ймовірністю випадкової події А називають відношення кількості випадків, що сприяють появі події А, до кількості всіх рівноможливих випадків.

Це можна записати формулою так: 

де m — кількість випадків, що сприяють появі події А, а n — кількість всіх можливих випадків.

Розглянуте означення ще прийнято називати класичним означенням ймовірності.

Іноді ймовірність виражають у відсотках, тоді у наведеному прикладі Р(А) = 50 %.

Задача 1. У лотереї 100 білетів, з них 7 — виграшні. Знайди ймовірність виграшу (подія А); програшу (подія B) при купівлі одного білета.

Розв’язання. 1) 

2) Невиграшних білетів: 100 - 7 = 93. Тому ймовірність програшу 

Задача 2. З коробки, у якій знаходяться тільки 6 червоних олівців, навмання витягують олівець. Знайди ймовірність таких подій:

А — витягнуто червоний олівець;

В — витягнуто синій олівець.

Розв’язання. Подія А є вірогідною в даних умовах, оскільки в коробці лише червоні олівці. Знайдемо її ймовірність:

Подія В в даних умовах неможлива, оскільки в коробці немає синіх олівців (їх кількість дорівнює нуль). Знайдемо ймовірність події В: 

Приходимо до висновку, що ймовірність вірогідної події дорівнює 1, а ймовірність неможливої події дорівнює 0.

 Яку подію називають випадковою? Наведи приклад випадкової події. Яку подію називають вірогідною, яку — неможливою? Як знайти ймовірність випадкової події? Чому дорівнює ймовірність вірогідної події; неможливої події"?

636. Серед таких подій назви випадкові:

1) «при підкиданні грального кубика випаде 5 очок»;

2) «при температурі, нижчій від 0 °С, вода замерзне»;

3) «купивши лотерейний білет, виграють 5 грн»;

4) «ім’я навмання вибраного шестикласника починається з літери А»;

5) «після 31 грудня настане 1 січня».

637. (Усно) Які з таких подій — випадкові, вірогідні, неможливі:

1) «виграєте партію в теніс»;

2) «слон навчиться розмовляти»;

3) «потяг Київ—Львів запізниться»;

4) «поява кількості очок, що в сумі менша від 13, при одночасному підкиданні двох гральних кубиків»;

5) «при натисканні кнопки дзвінка він не спрацює»;

6) «після понеділка настане вівторок»;

7) «після вівторка настане понеділок»;

8) «людина, яку ви зустрінете сьогодні, народилася 29 вересня»?

638. Які з таких подій — випадкові, вірогідні, неможливі:

1) «два попадання при трьох пострілах»;

2) «навмання вибране трицифрове число менше від 1000»;

3) «завтра буде дощ»;

4) «сьогодні 30 лютого»;

5) «навмання взята з полиці книжка — «Математика, 6»;

6) «при підкиданні монети випаде герб або цифра»?

639. В одному ящику знаходиться 1 біла кулька і 9 чорних, а в другому — 5 білих і 5 чорних. З якого ящика більш імовірно навмання витягнути білу кульку; чорну кульку?

640. В одному пакеті 20 цукерок, з яких 3 шоколадні, а в другому — 50 цукерок, з яких 25 шоколадних. З якого пакета слід навмання взяти цукерку, якщо ви хочете, щоб вона була шоколадною?

 641. Малюк і Карлсон домовилися: якщо стрілка вертушки (мал. 10) зупиниться на білому полі, торт з’їдає Карлсон, якщо на зафарбованому — Малюк. У кого більше шансів поласувати тортом?

Мал. 10

642. Чи є ймовірності подій рівними:

1) подія А — з двадцяти п’яти білетів з номерами від 1 до 25 витягнуто білет № 1 і подія В — з двадцяти п’яти білетів з номерами від 1 до 25 витягнуто білет № 13?

2) подія С — при підкиданні грального кубика випаде парна кількість очок і подія D — при підкиданні грального кубика випаде непарна кількість очок?

3) подія М - виграти у лотерею, купивши один квиток, у якій зі ста білетів — 5 виграшних, і подія N — не виграти в лотерею, купивши один квиток, у якій зі ста білетів — 5 виграшних?

643. Чи рівні ймовірності подій:

1) подія А — при підкиданні монети випаде герб і подія В - при підкиданні монети випаде цифра?

2) подія С — витягнути білу кульку з ящика, у якому 7 білих і 3 чорні кульки, і подія D — витягнути чорну кульку з ящика, у якому 7 білих і 3 чорні кульки?

3) подія М — у майбутньому ти станеш космонавтом і подія N — у майбутньому ти не станеш космонавтом?

644. У кожній зі скринь (мал. 11) є по одній золотій монеті. З якої скрині навмання треба витягнути монету, щоб можливість взяти саме золоту була найбільшою?

Мал. 11

645. У кожній зі скляних кульок (мал. 12) є по одному виграшному лотерейному білету. З якої кульки треба навмання взяти білет, щоб можливість виграти була найбільшою?

Мал. 12

646. На запитання вікторини було отримано 120 правильних відповідей, у тому числі і твоя. Для визначення єдиного переможця ведучий навмання витягує картку. Яка ймовірність того, що саме ти отримаєш приз?

647. У збірнику завдань ДПА з математики запропоновано 25 варіантів. Сергій не розв’язав лише один варіант. Яка ймовірність того, що саме цей варіант йому дістанеться під час державної підсумкової атестації?

648. З класу, у якому навчаються 25 учнів, навмання вибирають одного. Яка ймовірність того, що це буде хлопець, якщо хлопців у класі 12?

649. У ящику — 1000 деталей, з яких 3 браковані. Яка ймовірність того, що навмання витягнута деталь бракована; не бракована?

650. На складі — 1000 калькуляторів, з яких 7 бракованих. Яка ймовірність того, що навмання вибраний калькулятор є бракованим; є якісним?

651. У лотереї 25 виграшних білетів і 175 білетів без виграшу. Яка ймовірність виграти в цю лотерею, придбавши лише один білет?

652. У ящику 15 зелених і 25 червоних кульок. Яка ймовірність події:

1)     А — навмання витягнута з ящика кулька є зеленою;

2)     В — навмання витягнута з ящика кулька є червоною?

653. Учень має 7 монет (мал. 13). Він навмання бере монету. Яка ймовірність події:

1)     А — взято монету номіналом 5 коп.;

2)     В — взято монету номіналом, меншим від 25 коп.;

3)     С — взято монету номіналом, більшим за 25 коп.?

Мал. 13

654. У гаманці дядечка Скруджа вісім купюр: по одній номіналом 1 грн, 2 грн, 5 грн, 10 грн, 20 грн, 50 грн, 100 грн, 200 грн. Він навмання виймає одну купюру. Яка ймовірність події:

1)    А — вийнято купюру номіналом 200 грн;

2)    В — вийнято купюру номіналом, меншим від 10 грн;

3)    С — вийнято купюру номіналом, більшим за 10 грн;

4)    D — вийнято купюру з парним числом гривень?

655.     Наведи по два приклади випадкових, вірогідних, неможливих подій.

656. Троє друзів прийшли в гості і повісили свої капелюхи на вішалку. Коли вони розходилися по домівках, то кожний взяв один капелюх навмання. Які з таких подій випадкові, неможливі, вірогідні:

1)    А   — кожен взяв свій капелюх;

2)    В   — кожен вийшов з капелюхом;

3)    С   — всі одягли чужі капелюхи;

4)    D   — двоє одягли чужі капелюхи, а один — свій;

5)    Е   — один одягнув чужий капелюх, а двоє — свої?

657. Марія запропонувала Петру такі правила гри: «При підкиданні грального кубика виграє Марія, якщо кількість очок, які випали, є дільником числа 6, і виграє Петро, якщо кількість очок, які випали, не є дільником числа 6». У кого більше шансів на виграш?

658. Складено таблицю суми очок, що випала на двох гральних кубиках при їх одночасному підкиданні. Знайди ймовірність події:

1)    А  — сума очок на кубиках дорівнюватиме 4;

2)    В  — сума очок на кубиках дорівнюватиме 11;

3)    С  — сума очок на кубиках буде меншою від 4;

4)    D  — сума очок на кубиках буде найбільшою з усіх можливих.

Розв’язання. 1) Оскільки кількість усіх можливих випадків 36 (n = 36), а кількість випадків, при яких сума очок дорівнює 4, всього 3 (m = 3), то 

659. Використовуючи таблицю до № 658, знайди ймовірність події:

1)     А  — сума очок на кубиках  дорівнюватиме 5;

2)     В  — сума очок на кубиках буде більшою за 9;

3)      С  — сума очок на кубиках буде непарним числом.

660. У   кошику лежать 18 червоних, 8 зелених і 4 жовтих яблука. Навмання вибирають одне яблуко. Знайди ймовірність події:

1)     А — яблуко зелене;

2)     В — яблуко жовте;

3)      С — яблуко червоне або зелене;

4)      D — яблуко не червоне.

661. У класі 9 учнів — брюнети, 14 — шатени, 7 — блондини. Навмання вибирається один учень. Знайди ймовірність події:

1)     А — вибраний учень — шатен;

2)     В — вибраний учень — блондин або шатен;

3)      С — вибраний учень — не блондин;

4)      D — вибраний учень — рудий.

662. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність події:

1)     А — з’явиться число, що є дільником числа 8;

2)      В — з’явиться не менше ніж 5 очок;

3)      С — з’явиться не більше як 5 очок;

 4)    D — з’явиться число, що буде квадратом натурального числа?

663.  Задача Даламбера. Яка ймовірність того, що при двох послідовних підкиданнях монети хоча б один раз випаде герб?

664. З натуральних чисел від 1 до 30 учень навмання називає одне. Яка ймовірність того, що це число є дільником числа 30?

665.  Яка ймовірність того, що навмання вибране натуральне число від 1 до 12, буде дільником числа 12 або простим числом?

666. Ти виграєш, якщо навмання взята з коробки кулька — біла. Яку з коробок вигідніше вибрати для гри, щоб імовірність виграшу була більшою: першу — у якій 12 білих кульок і 36 чорних; другу — у якій 8 білих кульок і 12 жовтих; третю — у якій порівну білих, чорних та жовтих кульок; четверту — у якій 7 білих кульок, 4 жовті і 3 чорні?

667. Одночасно підкидають три монети. Знайди ймовірність події:

1) А — тільки на двох монетах випаде герб;

2) В — на трьох монетах випаде герб;

3) С — тільки на одній монеті випаде герб;

4) D — не випаде жодного герба.

668. Знайди невідомий член пропорції:

1) х : 8 = 3 : 12; 

669. За 1,4 кг цукерок заплатили 23,1 грн. Скільки потрібно заплатити за 1,6 кг таких цукерок?

670. Накресли розгорнутий кут АВС і проведи промінь ВМ так, щоб градусні міри кутів АВМ і МВС відносились як 11 : 7.

671. Намалюйте замкнену ламану лінію із шести ланок, таку, що кожну свою ланку вона перетинає один раз. Чи існує така ламана із семи ланок?

Завдання для перевірки знань № 4 (§ 20 — § 25)

1.  Перевір, користуючись означенням, чи можна з відношень 8 : 4 і 12 : 6 скласти пропорцію.

2. Перевір, користуючись основною властивістю пропорції, чи можна з відношень  скласти пропорцію.

3. За кілька однакових блокнотів заплатили 16 грн. Скільки треба заплатити за такі самі блокноти, якщо їх буде:

1) у 3 рази більше;       2) у 2 рази менше?

4. Знайди відношення: 1) 120 до 80; 2)   250 м до 1 км.

5. 10 л гасу мають масу 8,1 кг. Яку масу  мають 25 л гасу?

6.  Відстань між двома містами на карті, масштаб якої 1 : 8 000 000, дорівнює 2,5 см. Обчисли відстань між цими містами на місцевості.

7. Периметр трикутника дорівнює 150 дм, а довжини сторін його відносяться як 7 : 8 : 10. Знайди довжини сторін трикутника.

8. У ящику 7 білих, 10 чорних і 3 зелені кульки. Навмання виймають одну кульку. Знайди ймовірність події:

1)     А — витягнута кулька — зелена;

2)     В — витягнута кулька — не чорна.

9. Розв’яжи рівняння 

Додаткові вправи

10. Відстань між двома селищами на одній карті дорівнює 10 см, а на іншій - 4 см. Масштаб першої карти 1 : 50 000. Знайди масштаб другої карти.

11. Яка ймовірність того, що навмання вибране натуральне число від 1 до 18 буде дільником числа 18 або простим числом?

12. Знайди числа а, b і с, якщо відомо, що а : b = 2 : 3,  а сума чисел b і с дорівнює 26.